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5/2Question n°2On a la relation A =

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Academic year: 2022

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(1)

A202 - Un peu d’algèbre.

Solution Question n°1

On a l’ identité X2Y2 = (XY)2 - 2XY . D’où 2 = 1 – 2XY XY = -1/2

On en déduit immédiatement X3Y3 = (X2Y2).(X+Y) – XY.(X+Y) = 2 +1/2 =

5/2

Question n°2

On a la relation A =X4Y4Z4= (X2Y2Z2)2 - 2(X2Y2X2Z2Y2Z2)

avec X2Y2X2Z2Y2Z2 = (XYXZYZ)2- 2XYZ.(X+Y+Z) et 2(XY+XZ+YZ) =

Z)2

Y

(X -(X2Y2Z2) On en déduit :

XY+XZ+YZ = -1/2 et

2 2 2 2 2

2Y X Z Y Z

X   = 1/4 – 2XYZ

D’où A = 4 –2(1/4 – 2XYZ) = 7/2 + 4XYZ.

Par ailleurs si l’on pose Q = X2YX2ZXY2Y2ZXZ2YZ2,on a X3Y3Z3= (

2 2

2 Y

X  Z )(X+Y+Z) – Q et X3Y3Z3 = (XYZ)3 - 3Q –6XYZ.

Après élimination de Q, les deux dernières équations donnent 6XYZ = (XYZ)3-3(

2 2

2 Y

X  Z )(X+Y+Z)+2(X3Y3Z3) soit XYZ = 1/6 On obtient ainsi A =

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