A714. Au milligramme près
Je dispose de 2008 pièces d'or numérotées 1,2,3, ... , 2008. Afin de mesurer la qualité de leur fabrication, je compare leurs poids respectifs avec une balance Roberval en effectuant les pesées de 1 contre 2, de 2 contre 3, ... de contre 1, ... , de 2007 contre 2008 et j'observe que les différences de poids sont toujours inférieures au milligramme.
Montrer que l'on peut partager les 2008 pièces en deux sous-ensembles dont les masses globales diffèrent de moins d'un milligramme.
Source : Colorado mathematical olympiad 2006
Solution
Proposée par Fabien Gigante
On note le signe de , || la valeur absolue de , 2 le nombre total de pièces, et le poids de la pièce (où 1 2). On a alors | | pour tout 1 , avec 1 mg.
On pose , 1 et ∑. Montrons que ∑ pour tout :
• La propriété est vraie pour 1 car || | | .
• Supposons la propriété vraie au rang 1, soit ∑
. Elle est alors vraie au rang :
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
||
∑
∑
|| On a en particulier |∑ !
| , soit |∑ !
| , ou encore :
∑,#$ ∑,#$ ∑,#$ ∑,#$ Ce qui exhibe une partition des en deux sous-ensembles dont la somme est identique à près.
On peut donc partager les 2008 pièces en deux sous-ensembles dont les masses globales diffèrent de moins d'un milligramme.
