Au milligramme près
Problème A714 de Diophante
Je dispose de 2008 pièces d'or numérotées 1,2,3, … ,2008. Afin de mesurer la qualité de leur fabrication, je compare leurs poids respectifs avec une balance
Roberval en effectuant les pesées de 1 contre 2, de 2 contre 3,... de i contre i+1,..., de 2007 contre 2008 et j'observe que les différences de poids sont toujours inférieures au milligramme.
Montrer que l'on peut partager les 2008 pièces en deux sous-ensembles dont les masses globales diffèrent de moins d'un milligramme.
Source : Colorado mathematical olympiad 2006
Solution
Considérons les poids p1, p2, p3, p4 des quatre premières pièces et retenons seulement les inégalités |p1 - p2| < 1 et |p3 - p4| < 1
Soit a = max(p1,p2) – min(p1,p2) et b = max(p3,p4) – min(p3,p4)..
Evidemment 0 ≤ a < 1 et 0 ≤ b < 1 et |a-b| est inférieur à 1.
Ainsi on a |max(p1,p2) – min(p1,p2) - max(p3,p4) + min(p3,p4| < 1.
Autrement dit, en associant, d’un coté : la pièce la plus lourde de la paire {1,2}
avec la pièce la plus légère de la paire {3,4} et en associant, de l’autre coté : la pièce la plus lourde de la paire {3,4} avec la pièce la plus légère de la paire {1,2}, on obtient deux tas T1 et T2 dont les masses globales q1 = max(p1,p2) + min(p3,p4) et q2 = max(p3,p4) + min(p1,p2) diffèrent de moins d'un milligramme.
En considérant T1 et T2 comme deux grosses pièces avec |q1 - q2| < 1 et les pièces 5 et 6, pour lesquelles |p5 - p6| < 1, on refait le même raisonnement pour obtenir deux tas de trois pièces dont les masses globales diffèrent de moins d'un milligramme.
De proche en proche, on va partager les 2008 pièces en deux tas de 1004 pièces dont les masses globales diffèrent de moins d'un milligramme.
