A714 : Au milligramme près
Je dispose de 2008 pièces d'or numérotées 1,2,3,...,2008. Afin de mesurer la qualité de leur fabrication, je compare leurs poids respectifs avec une balance Roberval en effectuant les pesées de 1 contre 2, de 2 contre 3,... de i contre i+1,..., de 2007 contre 2008 et j'observe que les différences de poids sont toujours inférieures au milligramme.
Montrer que l'on peut partager les 2008 pièces en deux sous-ensembles dont les masses globales diffèrent de moins d'un milligramme.
Considérons 4 pièces a, b, c, d avec b-1<a<b et c<d<c+1 ; on obtient en additionnant, b+c-1<a+d<b+c+1 ; selon que l’on a b+c<a+d ou a+d<b+c, on a bien les inégalités : b+c<a+d<b+c+1 ou b+c-1<a+d<b+c : l’écart de poids entre a+d et b+c est inférieur à 1.
En considérant comme une seule pièce a+d d’une part, b+c d’autre part, on peut itérer le raisonnement, et prouver que pour tout ensemble de 2n pièces où le poids de chaque pièce de rang impair diffère de moins de moins d’un milligramme de celui de la suivante, il existe une partition en deux sous-ensembles de n pièces dont les poids diffèrent de moins d’un milligramme.
A noter que l’inégalité entre une pièce de rang pair et la suivante n’apporte rien, et en particulier ne permet pas, dans le cas initial de 4 pièces, de savoir laquelle des deux inégalités finales est avérée. Il en résulte que si l’on a prouvé l’existence de la partition, on ne peut la déterminer effectivement : avec des valeurs numériques différentes, on peut aboutir à des partitions différentes, alors que les inégalités données par les balances sont les mêmes.
