A. D´ etection des d´ efauts de phase

(1)

Devoir libre de Sciences Physiques n

^◦

3 du 08-11-2021

— Solutions —

Probl` eme n

^o

1 – Optique active : m´ ethode interf´ erom´ etrique

Ecrin PC^´ 1995

1.Le principe deHuygens-Fresneldit que tout élément de surface du diaphragme se comporte comme une source secondaire émettant une onde élémentaire de même fréquence que l’onde re¸cue. L’amplitude émise est donnée par dA=Ks0expjωtexpjϕ(x, y)dS .

2.Cela signifie que b≪LOy o`u LOy repr´esente la longueur de la fente selon l’axe Oy. On pourra donc se contenter dans l’application du principe d’Huygens-Fresnel d’appliquer un raisonnement unidimensionnel selon Ox.

3. L’amplitude A(X) de l’onde issue de la fente et re¸cue en M est donn´ee par l’int´egrale de Fraunhofer.

Consid´erons un point d’abscissexde la fente qui diffracte `a l’infini selon la directionθ, voir la figure 1.

x

b b

b

bx

0

X X

θ θ θ

δ f^′

Figure 1 – Diffraction `a l’infini

La différence de marche étant donnée par δ =xsinθ, on en déduit que l’amplitude élémentaire diffractée est dA =KA0expj^2πx_λ^sin^θdx. Compte tenu du fait qu’on travaille dans les conditions de stigmatisme de Gauss pour la lentille, l’angleθest nécessairement tel que sinθ≃tanθ≃θ. Or, en utilisant le rayon lumineux passant par le centre optique de la lentille, on a θ = ^X_f′. L’amplitude totale diffractée est A=Rb/2

−b/2dA. Apr`es calcul, on trouve : A(X) =KA0bsinc^πbX_λf′ .

4. L’éclairement correspondant est : E(X) =E0sinc²^πbX_λf′ , avec E0 =K²A²b². L’allure de cette courbe est représentée sur la figure 2.

0 X E(X) _b E0

b

b b

λf^′

b 2^λf_b^′

−^λf_b^′

Figure2 – Fonction d’´eclairement

Il est important d’observer que le maximum principal obtenu pourX = 0 se distingue nettement des maxima secondaires puisque son amplitude est 20 fois plus grande que le premier maximum secondaire. La largeur du pic principal de diffraction est double de celle des maxima secondaires.

5.L’éclairement observé sur l’écran (plan (O^′XY)) est représenté sur la figure 3. Il est composé de bandes de lumière dans la directionOyd’intensité diminuant rapidement lorsque|X|augmente.

6.Nous avons choisi dans le calcul de prendre le rayon référence au centre de la fente, dans ces conditions, le déphasage entreA(X) et la vibration produite enM par la lumière qui est passée par le centreO de la fente est nul , comme le montre d’ailleurs le calcul puisque nous avons obtenu une expression réelle pour l’amplitude A(X).

7.Pour le calcul de l’amplitudeA(X) au pointM(X,0) de l’écran, rien ne nous empêche de conserver l’origine des phases enx= 0. Par contre, lors de l’intégration, il faudra faire attention aux bornes puisque maintenant

(2)

X Y

b b b b

0 ^λf^′

b

2λf^′

−^λf_b^′ b

Figure3 – Éclairement observé sur l’écran l’amplitude sera donnée par A =Rx0+b/2

x0−b/2 dA. L’amplitude trouvée sera déphasée par rapport à la précédente selon : A(X) =KA0bsinc^πbX_λf′ expj(^2πx_λf⁰′^X) .

8. Aucun changement n’est observé sur l’écran puisque lorsque l’on prend le module au carré, l’exponentielle de phase va✭✭ disparaˆıtre ✮✮.

9. L’amplitudeA1(X) au point M(X,0) de l’´ecran est la somme des deux expressions calcul´ees avant pour x0= 2b. On a A1(X) =KA0bsinc^πbX_λf′[1 + expj(^4πbX_λf′ )] .

10.L’éclairement est E1(X) = Ê₂⁰^′ sinc²^πbX_λf′[1 + cos(^4πbX_λf′ )] . L’allure de la courbe associée est donnée sur la figure 4.

0 X E1(X)

E₀^′

b b

b bb

λf^′

b 2^λf_b^′

−^λf_b^′ −^λf_2b^′

Figure4 – Fonction d’´eclairement pour 2 fentes

11.On voit que l’éclairementE1est le produit de l’éclairement trouvé avant par une fonction d’interférences entre deux ondes cohérentes de la forme 1 + cos(^4πbX_λf′ ). Sur la figure 4, on peut voir, représentée en petits points, l’enveloppe constituée par la fonction de diffraction en sinc²^πbX_λf′.

12.Avec des fentes infiniment minces, l’intensité diffractée donnée par sinc²^πbX_λf_′ serait indépendante deX puisqueb→ ∞. Tous les maximums de lumière de la fonction d’interférences seraient présents dans la figure et donnés par : X=n^λf_2b^′ pourn∈Z.

13.Comme on a pu le voir en comparant les figures 2 et 4, les bandes de lumière sur l’écran seront plus fines et d’intensité plus importante par rapport à ce qu’elle valait dans le cas de la diffraction par une fente.

14.On constate bien d’après la courbe de la figure 4 que trois franges se distinguent des autres. Leur position est X = 0 etX=±^λf_2b^′ . Leur intensité relative correspond à sinc²^π₂, c’est à dire Î_I¹₀ = _π⁴² ≃0,41 .

Nous avons vu que lors d’une translation, l’intensité lumineuse n’était pas modifiée. Les intensités proposées par l’énoncé correspondent bien à ce que l’on vient de trouver. Le déphasage entre les amplitudes a été calculé avant et nous avions trouvé : j(^2πx_λf⁰_′^X). Ici,x0 =vt. On applique ce résultat en X = 0 ce qui fait une phase

nulle et aussi enX =^λf_2b^′, ce qui conduit bien `a ^πvt_b .

(3)

A. D´ etection des d´ efauts de phase

15.P1 est le plan focal objet de la lentille L1, un objet lumineux qui y est situé aura son image rejetée à l’infini. L’image d’un point situé à l’infini sera dans le plan focal image de la lentille L2. Il est donc évident que P1 etP2 sont conjugués . Une construction graphique évidente conduit à constater que le grandissement transversal est−1.

16. L’image deO1 estO2 .

17.Les trois points images de la source correspondent aux trois pics retenus dans la partie pr´ec´edente.

18.Encore une fois, la réponse à cette question a été donnée précédemment lors du calcul du déphasage des amplitudes complexes correspondant aux trois fentes.

19.On utilise toujours les lentilles dans les conditions de Gauss. Le stigmatisme assure l’absence de modi- fication relative de phase. Comme le grandissement est de −1, on aura une mˆeme amplitude pour des points situ´es de part et d’autre de l’axe optique. Ainsi : Wi(X, Y) =W(−x,−y) .

20.Ce résultat est en accord avec les précédents puisque qu’on voit bien apparaˆıtre les déphasages pour les ondes qui sont affectées d’un coefficient sur les amplitudes de _π² ce qui correspond bien à la racine carrée de _π⁴². 21.En l’absence de turbulence, l’étoile étudiée forme une image dans le plan focal objet d’une lentille convergente. Cette image va donc servir d’objet pour la lentille convergente placée devant le dispositif utilisé. Il se forme alors un faisceau de rayons parallèles , c’est-à-dire dans un langage ondulatoire une onde plane . L’amplitude de l’onde qui atteint le planP1 est donc uniforme : W(x, y) =W0.

22.En tenant compte du grandissement de−1 vu avant, on peut donc ´ecrire queW(X, Y) =W(−x,−y) = W0exp [jψ(−x,−y)]. L’amplitude totale s’exprime par superposition des 3 termes :

Wn(X, Y, t) =W0[expjψ(−x,−y) +_π²expjψ(−x+^λf_2b^′,−y) exp−j^πvt_b +²_π(−x−^λf_2b^′,−y) exp(+j^πvt_b ) L’´eclairement est E(X, Y, t) =WnW_n^∗ . On ne d´eveloppera pas plus avant le calcul.

23. Il y a N fentes, l’angle entre les centres de deux fentes successives est ^2π_N. Le rayon est R, c’est donc l’espacement ^2πR_N qui joue le rôle de 2b. La vitesse de défilement est ωgR. Dans le calcul de WnW_n^∗, on voit facilement qu’il y aura des termes de pulsation 0,ω et 2ω venant de expj^πvt_b avec v=ωgRet b= ^πR_N . On en déduit que ω=N ωg .

24.Il faut d´evelopper le produitWnW_n^∗. . . On trouve deux fois la somme suivante :

2

πexpjωtexp−j[ψ(^λf_2b^′ −x,−y)−ψ(−x,−y)] +²_πexp−jωtexp−j[ψ(^λf_2b^′ −x,−y)−ψ(−x,−y)]

L’énoncé propose de faire un développement limité à l’ordre 1, il consiste à écrire que : ψ(−x+ ^λf_2b^′,−y)− ψ(−x,−y) = ^λf_2b^′^∂ψ_∂x. Ensuite, on obtient un terme de la forme cos [ωt+β(x, y)] avecβ(x, y) = ^λf_2b^′^∂ψ_∂x(−x,−y).

On peut conclure par s=−^λf_2b^′ .

Probl` eme n

^o

2 – ´ Etude d’un r´ efrig´ erateur

Agro - V´eto 2005

A. Pr´ eliminaire

1. Le diagramme de Clapeyron est représenté sur la figure 5. La courbe en pointillés représente la courbe d’ébullition et de rosée. Les deux isothermes d’Andrews forment un palier aux pressionsP1 etP2.

2.La chaleur latente correspond à la différence d’enthalpie entre l’état liquide et l’état vapeur : L1=h1V −h1L= 182,2 kJ·kg⁻¹ . De même : L2=h2V −h2L= 123,6 kJ·kg⁻¹ .

3.On a ∆s=_T^∆h_chgt. On trouve donc ques1V−s1L=^L_T₁¹. Cela donne (en appliquant aux deux temp´eratures) : s1L= 24 J·kg⁻¹·K⁻¹ ets2L= 285 J·kg⁻¹·K⁻¹ . Cela nous permet de compl´eter le tableau.

4. On choisit comme système une masse de fluide qui progresse dans le dispositif, voir la figure 6. Il s’agit d’un système fermé, cela nous permet d’appliquer le premier principe dans sa version traditionnelle. On a

∆ec+ ∆epot+ ∆u=w+q en raisonnant sur des quantités massiques. Ici, on néglige les variations d’énergie cinétique et les variations d’énergie potentielle, on a donc : ∆u=w+q. Il faut distinguer dans le travail celui qui est dû à des parties mobiles dans la machine (comme des pistons, des pâles . . . ) de celui qui est dû aux forces de pression du fluide extérieur au système et qui se situe avant et après ce dernier. En régime permanent,

(4)

v P

bb b b

b b

P1

P2

T2

T1

Liquide et Vapeur Liquide

Vapeur

Figure 5 – Diagramme de Clapeyron Liquide - Vapeur

la partie de fluide qui se trouve en commun entre les deux positions du système ne voit pas son énergie interne changer. On peut écrire queutot−ent =u1+u0 oùu1correspond à la partie de fluide en entrée etu0à la partie invariable. Le même découpage en sortie amèneutot−sort=u2+u0. Ainsi, on peut écrire que ∆u=u2−u1. Si l’on appellev1 le volume de la partie de fluide en entrée et v2 celui de la partie en sortie, le travail des forces de pression se compose des deux termes suivants : went =−R0

v1P1dv et wsort = −Rv2

0 P2dv. Au total, on a wpression=P1v1−P2v2. Ainsi ∆u=w+qdevient ∆u=W^∗+wpression+q. Et commeh=u+P v, on obtient :

∆h=w^∗+q .

T1

P1

v1

T2

P2

v2

Figure6 – Fluide en ´ecoulement permanent

5.L’enthalpie est une fonction additive d’oùh=hliq+hvap. Si l’on appellexla fraction massique en vapeur, (1−x) correspond à la partie liquide. On a donc h = (1−x)hL(T) +xhV(T). Cela conduit à la relation recherchée : h(x, T) =hL(T) +x(hV(T)−hL(T)) .

6.L’entropie ´etant aussi additive, on a automatiquement : s(x, T) =sL(T) +x(sV(T)−sL(T)) .

B. ´ Etude du compresseur

7.La compression étant adiabatique et réversible, elle est donc isentropique. On écrit :sf =si. En sortie, on a de la vapeur saturante à la températureT2, ainsisf =s2V. L’entropie en entrée du compresseur correspond à la formule trouvée à la question précédente :si=s1L+x(s1V−s1L). On trouve finalement : x= ^s_s²₁^V⁻^s¹^L

V−s1L = 92,9% . 8. Pour les mêmes raisons que précédemment, hf = h2V = 387,7 kJ·kg⁻¹ et hi = h1L+x(h1V −h1L) = 347,5 kJ·kg⁻¹.

9.On en d´eduit que : W s^∗=hf−hi= 40,2 kJ·kg⁻¹ .

C. ´ Etude du condenseur

10.Il se produit la condensation totale du gaz en liquide, donc : Qch=−L2=−123,6 kJ·kg⁻¹ . Le fluide arrive dans le condenseur à une température plus élevée que l’air ambiant, il va donc perdre de l’énergie et, ici, se liquéfie. Il est donc normal queQch soit négative.

11.Sur le changement d’état, on a ∆s= ⁻_T^L₂² =−395 J·kg⁻¹·K⁻¹. Pour l’entropie transférée, on sait que stransf = _T^Q^ch

air = −422 J·kg⁻¹·K⁻¹. On obtient : scr= ∆s−stransf = 27 J·kg⁻¹·K⁻¹. On constate que l’entropie cr´e´ee est positive, ce qui est conforme au second principe de la Thermodynamique.

D. ´ Etude du d´ etendeur

12.Le détendeur est parfaitement calorifugé (Q = 0), il ne comporte pas de pièce mobile (W^∗ = 0). On a donc ∆h= 0 en appliquant le premier principe établi précédemment.

13.La conservation de l’enthalpie s’´ecrit h2L=h1L+x^′(h1V −h1L). On trouve : x^′= _h^h₁²^L⁻^h¹^L

V−h1L = 47,2% . 14.Ici,stransf = 0. On a donc ∆s=scr. On a si=s2L= 285 J·kg⁻¹·K⁻¹ etsf =s1L+x^′(s1V −s1L) =

(5)

357 J·kg⁻¹·K⁻¹. On trouve finalement que scr = 72 J·kg⁻¹·K⁻¹.

E. ´ Etude de l’´ evaporateur

15. Dans l’´evaporateur, il n’y a pas de pi`ece mobile donc W^∗ = 0, donc Q = ∆h = hf −hi. Or hi = h1L+x^′(h1V −h1L) = h2L = 264,1 kJ·kg⁻¹ et hf = h1L +x(h1V −h1L) = 347,5 kJ·kg⁻¹. On trouve :

Qf r= 83,4 kJ·kg⁻¹ .

16.La variation d’entropie est ∆s=sf−si avecsi=s1L+x^′(s1V −s1L) etsf =s1L+x(s1V −s1L). On a donc ∆s= (x−x^′)(s1V −s1L) = 323 J·kg⁻¹·K⁻¹. L’entropie transf´er´ee eststransf =^Q_T^{f r}

f r = 317 J·kg⁻¹·K⁻¹. L’entropie cr´e´ee est alors : scr= 6 J·kg⁻¹·K⁻¹.

F. Bilan

17.Le cycle est repr´esent´e sur la figure 7.

v P

bb b b

b b

P1

P2 T2

T1

Liquide et Vapeur Liquide

Vapeur A D

B C

Figure7 – Cycle du r´efrig´erateur

18.L’efficacité est le rapport de la quantité énergétique intéressante sur la quantité énergétique qui doit être payée. On a donc e=^Q_W^{f r}_∗ =^83,4_40,2 = 2,07 .

19.L’efficacité théorique maximale d’un réfrigérateur s’obtient dans le cas où la totalité des transformations sont réversibles. L’application des deux principes de la Thermodynamique donne : W^∗+Qf r+Qch = 0 et

Qf r

Tf r +^Q_T^ch

ch = 0. On a donc e=_T ^T^{f r}

ch−Tf r. On trouve donc e=_T₂^T₋¹_T₁ = 4,69 .

20. L’entropie créée sur un cycle est la somme sur l’ensemble des étapes. Il n’y a pas de création d’entropie lors du passage dans le compresseur. En additionnant les contributions des trois autres étapes, on trouve scr= 105 J·kg⁻¹·K⁻¹. On peut aussi obtenir ce résultat en disant que sur un cycle ∆s= 0 et que l’entropie créée est l’opposée de l’entropie transférée.

21.Les valeurs des températures étaient prévisibles tout d’abord parce que l’échange thermique avec la source chaude est nécessairement vers 20^◦C puisqu’il s’effectue avec l’air de la cuisine. Pour l’autre température, il

était nécessaire d’avoir une température plus basse que celle de la chambre froide (−10^◦C). On peut, dans ces conditions, comprendre le choix de−15^◦C.