F Fo F o on n nc c ct t ti i io o on n ns s s n n nu u um m mé é ér r ri i iq q qu u ue e es s s d d d’ ’ ’u u un n ne e e v v va a ar r ri i ia a ab b bl l le e e r r ré é ée e el l ll l le e e.
I. Généralités.
Définition : une fonction est un procédé qui, à tout élément d’un ensemble A (dit de départ), associe 0 ou 1 élément d’un ensemble B (dit d’arrivée).
si A = IR ou A ⊂ IR, f est une fonction d’une variable réelle.
si B = IR ou B ⊂ IR, f est une fonction numérique.
f est une « fonction numérique d’une variable réelle » si A et B sont IR ou des parties de IR,
Définition : une fonction est une application si tous les éléments de l’ensemble de départ ont une image.
ex : sur IR , x → 1/x est une fonction (0 n’a pas d’inverse)
ex : sur IR*, x → 1/x est une application. (tous les réels non nuls ont un inverse)
Définition : le domaine de définition, est l’ensemble des éléments de l’ensemble de départ qui ont une image par f.
Si f(x) est un quotient, son dénominateur ne doit pas être nul. On résout alors l’équation posée.
Si f(x) est une racine, ce qui est sous le radicale doit être positif pou nul. On résout alors l’inéquation posée.
Définition : dans un repère (O ; i→ ; j→), la représentation graphique (ou courbe représentative) de f, (souvent notée C ou Cf), est l’ensemble des points M(x ; y) tels que x∈Df et y = f(x) « y = f(x) » est l’équation de Cf.
dans des repères différents, la même courbe représente des fonctions différentes.
Egalité de fonctions : deux fonctions sont égales si elles ont même domaine de définition et qu’un réel de ce domaine a la même image par les deux fonctions.
c’est à dire : f = g ⇔ Df = Dg = D et pour tout x de D, f(x) = g(x).
ex : f(x) = x² - 1
x - 1 et g(x) = x + 1.(les ensembles de départ et d’arrivée n’étant pas précisés il s’agit de IR) Df = IR \{1} pour que x − 1 ≠ 0 et Dg = IR donc Df ≠ Dg . On en conclue que f et g ne sont pas égales.
avec f : IR\{1} → IR et g : IR\{1} → IR ,
Df = Dg et f(x) = x² - 1x - 1 = (x - 1)(x + 1)
x - 1 = x + 1 = g(x). Dans ce cas f = g.
fonctions particulières : la fonction identité x → x c’est à dire ∀ x ∈ IR, f(x) = x la fonction nulle : x → 0 c’est à dire ∀ x ∈ IR, f(x) = 0 II. Opérations sur les fonctions
f étant une fonction définie dans Df et g une fonction définie dans Dg,
f + g est la fonction définie par : (f + g)(x) = f(x) + g(x)
Df+g est l ‘ensemble des réels tels que f(x) existe ET g(x) existe.
f ×××× g est la fonction définie par : (f × g) = f(x) × g(x)
Dfg est l ‘ensemble des réels tels que f(x) existe ET g(x) existe.
1
f est la fonction définie par : (1
f )(x) = 1
f(x)
D1/f est l ‘ensemble des réels tels que f(x) existe ET f(x) ≠ 0}
f
g est la fonction définie par : (f
g )(x) = f(x)
g(x)
Df/g est l ‘ensemble des réels tels que f(x) existe ET g(x) existe ET g(x) ≠ 0}
kf (avec k∈ IR) est la fonction définie par : (kf)(x) = k×f(x) Dkf est l’ensemble des réels tels que f(x) existe
Une nouvelle opération : la composition : ex : f(x) = 1
x² + 4 Df = IR car pour tout réel x, x² + 4 ≠ 0.
pour obtenir f(x) à partir de x :
on élève x au carré : on prend l’image de x par « la fonction carrée » PUIS on ajoute 4 : on prend l’image de x² par « la fonction qui ajoute 4 » PUIS on calcule l’inverse : on prend l’image de x² + 4 par « la fonction inverse » x a→ x² b→ x² + 4 c→ 1
x² + 4
x f = coboa → f(x)
f est la composée de a, suivie de b, suivie de c : a est « la fonction carrée » : a(x) = x² avec Da = IR,
b est « la fonction qui ajoute 4 » : b(x) = x + 4 avec Db = IR, c est « la fonction inverse » : c(x) = 1/x avec Dc = IR*
f(x) = c{b[a(x)]} = (coboa)(x)
cas général : x f→f(x) g→ g[f(x)] = (gof)(x) gof →
Pour que (gof)(x) existe il faut que :
on puisse prendre l’image de x par f, donc que x soit dans
D
fon puisse prendre l’image de f(x) par g, donc que f(x) soit dans
D
g La résolution de ces conditions permet d’obtenir le domaine de gof.III. Parité d’une fonction.
une fonction f est paire si un réel et son opposé du domaine de définition ont la même image c’est à dire : SI x ∈ Df, ALORS - x ∈ Df ET f(- x) = f(x)
ex : x → x² ; x → |x| ; x → cosx
Conséquence graphique : f est paire ⇔ Cf est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
une fonction f est impaire si un réel et son opposé du domaine de définition ont des images opposées c’est à dire : SI x ∈ Df, ALORS - x ∈ Df ET f(- x) = − f(x)
ex : x → x ; x → x3 ; x → cosx ; x → 1/x
Conséquence graphique : f est impaire ⇔ Cf est symétrique par rapport à l’origine du repère.
conséquence : si une fonction f est paire ou impaire,
il suffit de l’étudier sur Df ∩ IR+ (la « moitié positive » du domaine) puis de faire subir à la portion de courbe obtenue, la symétrie adéquate.
Méthode pour étudier la parité d’une fonction : On cherche Df, le domaine de définition
Si Df n’est pas symétrique par rapport à 0 on conclue que la fonction n’est ni paire, ni impaire.
Si Df est symétrique par rapport à 0 : on calcule f(−x)
si on obtient f(x) on conclue que la fonction est paire si on obtient − f(x) on conclue que la fonction est impaire
sinon la fonction n’est ni paire, ni impaire. (Dans ce cas il suffit de trouver deux réels opposés dont les images ne sont ni égales, ni opposées)
ex : f(x) = 3x + 1 il est évident que Df = IR si x ∈ Df, alors −x ∈ Df
f(1) = 4 et f(−1) = −2 : les images de 1 et −1 ne sont ni égales, ni opposées donc f n’est ni paire, ni impaire f(x) = x+2 f(x) existe à condition que x + 2 ≥ 0 c’est à dire x ≥ −2 donc Df = [−2 ; +∞[
Df n’est pas symétrique par rapport à 0 : 4 ∈ Df mais −4 ∉ Df donc f n’est ni paire, ni impaire
f(x) = 1
x3- 3x f(x) existe à condition que x3 − 3x ≠ 0 or x3 − 3x = 0 ⇔ x (x − 3)(x + 3) donc Df = IR \{− 3 ; 0 ; 3}
si x ∈ Df, alors −x ∈ Df et f(−x) = 1
(-x)3- 3(-x) = 1
- x3+ 3x = 1
- (x3 - 3x) = − f(x) donc f est impaire
IV. Variation d’une fonction. Soit f une fonction définie dans Df et I UN INTERVALLE inclus dans Df.
f est croissante sur I si deux réels a et b de I et leurs images f(a) et f(b) sont rangés dans le même ordre.
c.a.d : a < b ⇒ f(a) ≤ f(b) ( ou a > b ⇒ f(a) ≥ (b))
c.a.d : b – a et f(b) – f(a) ont le même signe ou encore avec a ≠ b, f(b) - f(a) b - a ≥ 0
f est décroissante sur I si deux réels a et b de I et leurs images f(a) et f(b) sont rangés dans des ordres contraires c.a.d : a < b ⇒ f(a) ≥ f(b) ( ou a > b ⇒ f(a) ≤ (b))
c.a.d : b – a et f(b) – f(a) ont des signes contraires ou encore avec a ≠ b, f(b) - f(a) b - a ≤ 0 Remarques : 1 f est STRICTEMENT (ou ) si les inégalités entre f(a) et f(b) sont STRICTES.
2 la situation a = b est sans intérêt car, dans ce cas, f(a) = f(b) et il n’y a pas de comparaison à faire.
3f(b) - f(a)
b - a est « le taux de variation » de f entre a et b.
c’est aussi le coefficient directeur de la droite passant par A(a ; f(a) et B(b ; f(b))
f est monotone sur I si f ne change pas de sens de variation.
étudier les variations d’une fonction c’est trouver les intervalles sur lesquels f est monotone.
(on récapitule les résultats dans un ‘’tableau de variation’’)
méthodes : − Etant donnés deux réels a et b d’un même intervalle I de Df tels que a < b, on compare f(a) et f(b).
− On utilise les résultats concernant la somme de fonctions ou les fonctions composées.
− On découvrira plus tard une autre méthode …
extrémums : Soit I un intervalle inclus dans Df et a ∈ I
f(a) est le maximum de f sur I signifie que : ∀ x ∈ I, f(x) ≤ f(a) on dit alors que f(a) est un maximum « local » ou « relatif »
ailleurs que sur I, f peut prendre des valeurs plus grandes que f(a) … f(a) est le minimum de f sur I signifie que : ∀ x ∈ I, f(x) ≥ f(a)
on dit alors que f(a) est un minimum « local » ou « relatif »
ailleurs que sur I, f peut prendre des valeurs plus petites que f(a) …
fonction bornée :
f est majorée sur I signifie que : il existe un réel M plus grand que toutes les images par f des réels de I.
c.a.d : ∃ M ∈ IR tel que ∀ x ∈ I, f(x) ≤ M M est alors un majorant de f
ex : la fonction inverse est majorée par 0 sur ]−∞ ; 0[. dém : un réel et son inverse ont le même signe …
f est minorée sur I signifie que : il existe un réel m plus petit que toutes les images par f des réels de I.
c.a.d : ∃ m ∈ IR tel que ∀ x ∈ I, f(x) ≥ m m est alors un minorant de f ex : la fonction x → x² + 4 est minorée par 4 sur IR. dém : ∀ x ∈ IR, x² + 4 ≥ 0 car x² ≥ 0
f est bornée si elle est majorée ET minorée.
ex : la fonction x → cos x est bornée par −1 et 1 car on sait que ∀ x ∈ IR, −1 ≤ cos x ≤ 1 V. Fonctions usuelles.
1. f : x →→→→ a Df = IR f est la fonction constante égale à a Cf est la droite d’équation y = a
2. f : x →→→→ ax + b Df = IR f est une fonction affine
Cf est la droite d’équation y = ax + b f quand a > 0 et f quand a < 0, 3. f : x → x² Df = IR
f est la fonction carrée, f est paire
Cf est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées Cf est la parabole d’équation y = x² f dans ]−∞ ; 0] et f dans [0 ; +∞[.
4. f : x →→→→ 1/x Df = ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[
f est la fonction inverse, f est impaire
Cf est symétrique par rapport à l’origine du repère Cf est une hyperbole
f ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[
fonction racine carrée
fonc tion cube fonction valeur absolue
2 3 4 5 6
-1 -2 -3 -4
2 3 4
-1
-2
-3
-4
0 1
1
x
5. x →→→ x D→ f = [0 ; +∞[ f est la fonction racine carrée. y
variations :
soient a et b deux réels positifs, a et b sont positifs donc rangés dans le même ordre que leurs carrés a et b on en déduit que f est sur [0 ; +∞[
6. x →→→ x→ 3 Df = IR f est la fonction cube, f est impaire variations :
sur [0 ; +∞[, soient a et b deux réels positifs tels que a < b, comparons f(a) et f(b)
f(b) − f(a) = b3 − a3 = (b − a)(a² + ab + b²)
a ≥ 0 et b ≥ 0 donc a² + ab + b² ≥ 0 et a < b donc b − a >0 on en déduit que f(b) − f(a) ≥ 0 et donc que f est sur [0 ; +∞[
sur ]−∞ ; 0], f est sur [0 ; +∞[ et f est impaire donc f est sur ]−∞ ; 0]
7. x →→→ |x| D→ f =IR f est la fonction valeur absolue, f est paire variations : sur ]−∞ ; 0[, f(x) = − x donc f est
sur [0 ; +∞[, f(x) = x donc f est
exemples d’utilisation pour des résolutions d’inéquations:
1 x − 3 < 0 il faut que x ≥ 0 donc l’inéquation existe dans I =]0 ; +∞[
x − 3 < 0 ⇔ x < 3 ⇔ x < 9 car la fonction carrée est dans [0 ; +∞[ donc S = ]−∞ ; 9[
22x + 32 > 3
2 il faut que 2x + 3 ≠ 0 c’est à dire x ≠−3/2 donc l’inéquation existe dans I = IR\{−3/2}
2 2x + 3> 3
2 ⇔ 2x + 32 > 2
3 car les deux membres de l’inégalité sont > 0 et x → 1/x est sur ]0 ; +∞[
⇔ 6x + 9 > 4 ⇔ 6x > −5 ⇔ x > −5/6 donc S = ]−5/6 ; +∞[
VI. Variations de fonctions sommes et composées.
1. f + g.
si f et g sont sur un intervalle I alors f + g est sur I dém : soient a ∈ I et b ∈ I tels que a < b
f et g sont sur I donc f(a) < f(b) et g(a) < g(b)
en ajoutant membres à membres ces deux inégalités, on obtient f(a) + g(a) < f(b) + g(b) c’est à dire (f + g)(a) < (f + g)(b) ce qui prouve que f + g est
si f et g sont sur un intervalle I alors h = f + g est sur I dém : la même que la précédente …
2. gof.
f est une fonction monotone de l’intervalle I sur l’intervalle J g est une fonction monotone de l’intervalle J sur l’intervalle K
Si f et g ont le même sens de variation, alors gof est croissante Si f et g ont des sens de variation différents, alors gof est décroissante
dém : soient a et b deux réels de I tels que a < b : I f→ J g→ K
a f→ f(a) g→ g(f(a))
b f→ f(b) g→ g(f(b))
11
11 f sur I donc f(a) < f(b) et g sur J donc g(f(a) < g(f(b)) cad gof(a) < gof(b) donc gof sur I 22
22 f sur I donc f(a) > f(b) et g sur J donc g(f(a)) < g(f(b)) cad gof(a) < gof(b) donc gof sur I
3 3 3
3 f sur I donc f(a) < f(b) et g sur J donc g(f(a)) > g(f(b)) cad gof(a) < gof(b) donc gof sur I
4 4 4
4 f sur I donc f(a) > f(b) et g sur J donc g(f(a)) > g(f(b)) cad gof(a) < gof(b) donc gof sur I
2 3 4 - 1
-2 -3 -4
2 3 4
- 1
0 1
1
x y
0 1 1
x y
ex : h(x) = 1/x². Dh = IR* h = gof avec g fonction inverse et f fonction carré.
sur ]−∞ ;0[ : f est de ]−∞ ; 0[ dans ]0 ; +∞[ et g est de ]0 ;+∞[ dans ]0 ;+∞[
donc h = fog est de ]−∞ ; 0[ dans ]0 ; +∞[
sur ]0 ;+∞[ : f est de ]0 ;−∞[ dans ]0 ;+∞[ et g est de ]0 ; +∞[ dans ]0 ;+∞[
donc h = gof est de ]0 ;−∞[ dans ]0 ;+∞[
Cas particuliers :
1. f(x) = g(x) + h(x), avec h fonction constante égale à k.
h, fonction constante peut être considérée comme ou donc g et h varient dans le même sens
f varie comme g et Cf se déduit de Cg par translation de vecteur k j→
ex : f(x) = x² − 3. Df = IR. f varie comme la fonction carrée.
2. f(x) = αααα ×××× g(x) avec α ∈ IR*. f = h o g avec h(x) = α x, h est ou suivant le signe de α
Si α > 0, f varie comme g.
Si α < 0, f varie dans le sens contraire de g.
ex : f(x) = −3/x. Df = IR* f = h o g avec g(x) = 1/x et h(x) = −3x
h est sur IR*− et sur IR*+ donc f varie dans le sens contraire de la fonction inverse.
remarque : la valeur absolue de λ « amplifie ou amorti » les variations Cas particulier : g(x) = −f(x). Dg = Df. f et g varient en sens contraires.
dans (O; i→; j→) orthogonal, Cf et Cg sont symétriques par rapport à l’axe (O ; i→)
3. f(x) = g(x + k) f(x) = (g o h)(x) avec h(x) = x + k. h est de IR dans IR
soit x ∈ [a ; b], h est de [a ; b] dans [a+k ; b+k], si g est sur cet intervalle, f est sur [a ; b].
si g est sur cet intervalle, f est sur [a ; b].
Cf se déduit de Cg par translation de vecteur −k i→ ex : f(x) = x + 2 Df = [−2 ;+∞[
f(x) = (g o h)(x) avec h(x) = x + 2 et g(x) = x.
h est sur [−2 ;+∞[ et prend ses valeurs dans [0 ; +∞[ et g est sur [0 ; +∞[
donc f est sur [−2 ;+∞[
4. f(x) = g(−−−−x) f(x) = (g o h)(x) avec h(x) = − x. h est de IR dans IR
soit x ∈ [a ; b], h est de [a ; b] dans [−b ; −a], si g est sur cet intervalle, f est sur [a ; b].
si g est sur cet intervalle, f est sur [a ; b].
Cf et Cg sont symétriques par rapport à l’axe (O ; j→)
2 3 4
-1 -2
2
-1
0 1
1
x y
