THÉORIE DES FONCTIONS NUMERIQUES SIMPLEMENT PÉRIODIQUES

THÉORIE DES FONCTIONS NUMERIQUES SIMPLEMENT PÉRIODIQUES

PA R ED O U A R D LU C A S, Prof esseur au Lycée Charl ema gne, Pari s.

CE mé moi r e a p our o bj et l ’ ét ude des f onct i ons symét r i ques des r aci nes d’ une équat i on du sec ond de gr é, et son app l i cat i on à l a t héor i e d es no mbr es pr e mi er s. Nous i ndi q uons dès l e co mme nc e ment , l ’ anal o gi e co mpl èt e de ces f onct i ons symét r i ques avec l es f onct i ons c i r cul ai r es et hyper bol i ques ; nous mont r ons ensui t e l a l i ai son qui exi st e ent r e ces f onct i ons symét r i ques et l es t héor i es des dét er mi n ant s, des co mbi nai so ns, des f r act i ons c on t i nues, de l a di vi si bi l i t é, des di vi seur s quadr at i ques, des r adi caux cont i nus, d e l a di vi si on de l a ci r conf ér ence, de l ’ anal yse i n dét er i ni née du second de gr é, des r ési dus quadr at i ques, de l a déco mposi t i on des gr a nds no mbr es en f act e ur s pr e mi er s, et c. Cet t e mét ho de est l e poi nt de dépar t d’une ét ude pl us co mpl ét e, des pr o - pr i ét és des f onct i ons symét r i ques des r aci nes d’ une équat i on al gébr i que, de degr é quel conq ue, à c oef f i ci ent s co mme nsur abl es, dans l eur s r app or t s avec l es t héor i es des f onct i ons el l i pt i ques et abél i ennes, des r ési dus pot ent i el s, et de l ’ anal yse i ndét er mi née des de gr és su pér i eur s.

SECTION I.

Définition des fonctions numériques simplement périodiques.

Dési gnons p ar a et b l es deux r aci nes de l ’ équat i on

( 1) x² = Px – Q ,

dont l es coef f i ci ent s P et Q sont des no mb r es ent i er s, posi t i f s ou négat i f s, et pr e mi er s ent r e eux. On a

a + b = P , ab = Q ;

et , en dési gnant par ér ence a – b é de cet t e di f f ér ence, on a encor e

. 4

2 ,

2 ,

2 Q

P P P b

a= + = − = ∆= −

Cel a posé, nous co nsi dér er ons l es deux f o n ct i ons nu mér i ques U et V déf i ni es par l es é gal i t és

( 2)

b a

b U a

n n

n −

= − , Vn = aⁿ + bⁿ

Ces f onct i ons Un et Vn donnent nai ssance, po ur t out es l es val eur s ent i èr es et posi t i ves de n , à t r oi s sér i es d’ espèces di f f ér ent es, sel on l a nat ur e des r aci - nes a et b de l ’ équat i o n ( 1) . Cet t e éq uat i on p eut avoi r :

1°. Les r aci nes r éel l es et ent i èr es ;

2°. Les r aci nes r éel l es et i nco mmensur abl es ; 3°. Les r aci nes i ma gi nai r e s.

Les f onct i ons numéri q ues de premi ère espèce cor r espondent à t out es l es val eur s e nt i èr es de a et de b , et peu ven t êt r e cal cul ées di r ect e ment , p our t out es l es val eur s ent i èr es et posi t i ves de n , p ar l ’ empl oi des f or mul es ( 2) . Si l ’ on suppose pl us par t i cul i èr ement a = 2 et b = 1, on t r ouve, en f or mant l es val eur s d e Un et de Vn , l es sér i es r écur r ent es

n : 0, 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7 , 8, 9, 10, 11, . . . . . Un : 0 , 1, 3, 7, 15 , 31, 63, 127 , 2 55, 511, 1 023, 2047 , . . . . . Vn : 2, 3, 5, 9, 17, 33, 65, 129, 257 , 513, 1 025, 2049 , . . . . . ét udi ées pour l a pr e mi èr e f oi s par l ’ i l l ust r e FE R M A T. Nous o bser ver ons , dè s mai nt enant , q ue l a sé r i e des Vn est co nt enue, pour l es t r oi s c as que no us consi dér ons, dans l a s ér i e des Un , pui sque l es f or mul es ( 2) no u s donnent l a r el at i on génér al e

( 3) U2 n = UnVn .

Les f onct i ons num éri ques de seconde espèc e cor r espondent à t ou t es l es val eur s i nco m mensur a bl es de a et de b dont l a so mme et l e pr odui t sont co mme nsur abl es. On peut l es cal cul er en f onct i on de l a s o mme P et du di s - cr i mi nant équat i on pr oposée, au mo yen des f or mul es sui vant es. Le dé - vel op pe ment du bi nô m e nous do nne

n n

n n

n n

n n n n P

n P P n

P n

a ...

3 . 2 . 1

) 2 )(

1 (

2 . 1

) 1 (

2 = +1 ⁻¹ + − ^{−2 2}+ − − ^{−3 3}+ + ,

n n

n n

n n

n n n n P

n P P n

P n

b ... ( )

3 . 2 . 1

) 2 )(

1 (

2 . 1

) 1 (

2 = −1 ⁻¹ + − ^{−2 2}− − − ^{−3 3}+ + − ;

et , par soust r act i on et par addi t i on,

( 4)

2^{n – 1}Un = 1

nP^{n – 1} +

3 . 2 . 1

) 2 )(

1 (n− n−

n P^{n – 3}

+

5 . 4 . 3 . 2 . 1

) 4 )(

3 )(

2 )(

1

(n− n− n− n−

n P^{n – 5 2} + . . . . ,

2^{n – 1}Vn = Pⁿ + 2 . 1

) 1 (n−

n P^{n - 2}

4 . 3 . 2 . 1

) 3 )(

2 )(

1

(n− n− n−

n P^{n – 4 2} + . . . .

On obt i ent ai nsi , pour l es pr e mi er s t er mes,

U0 = 0 , U1 = 1 , U2 =P, U³ = P² – Q, U4 = P³ –2 P Q,

V0 = 2, V1 = P, V0 = P² – 2 Q, V3 = P³ – 3P Q V4 = P⁴ – 4 P²Q + 2 Q². Les f onct i ons nu mér i ques de secon de espè ce l es pl us si mpl es c or r espondent aux h ypot hèses

P = 1, Q = – ou à l ’ équat i on

x² = x + 1 ; on a dans ce cas,

a = 2 si n 10 3π =

2 5 1+

, b = – 2 si n 10

π = 2

5 1−

, et , par sui t e, en dési gn ant par un et vn l es f onct i on qui en r ésul t e nt ,

5 2

) 5 1 ( ) 5 1 (

n

n n

un= + − − , _n

n n

vn

2

) 5 1 ( ) 5 1

( + + −

= .

On f or me ai nsi , pour l es pr e mi èr es val eur s d e n ent i èr es et posi t i ves, l es sér i es

n : 0, 1 , 2, 3, 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9, 10, 11, . . . . . un : 0, 1 , l , 2, 3, 5 , 8 , 13, 21, 34 , 55, 89, . . . . . vn : 2, 1 , 3, 4, 7, 11 , 18 , 29, 47, 76 , 123, 19 9, . . . . . La sér i e des un a ét é consi dér ée pour l a pr emi èr e f oi s par LE O N A R D FI B O N A C C I, de Pi se.^* El l e a ét é ét udi ée par AL B E R T GI R A R D,^† qui a obser vé que l es t r oi s no mbr es un , un , un + 1 , f or me nt un t r i angl e i s oscèl e dont l ’ angl e au so mmet est à f or t peu pr ès é gal à l ’ angl e du pent a gone r égul i er . RO B E R T SI M P S O N^‡ a f ai t

* Il liber Abbaci di Leonardo Pisano, pubblicato secondo la lezione del Codice Magliabechiano, da B. BONCOMPAGNI. Roma, 1867. Pag. 283 et 284.

† L’arithmétique de SIMON STEVIN, be Bruges, revue, corrigée et augmentée de plusieurs traictez et annotations par ALBERT GIRARD, etc. Leide, 1633. Pag. 169 et 170.

‡ Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Vol. xlviii, Part 1, for the year 1753.

r e mar quer en 1753 , qu e cet t e sér i e est don né e par l e cal cul des qu o t i ent s et des f r act i ons con ver gent es des expr essi ons i r r at i onnel l es

2 1 5+

et 2

1 5−

.

En 1843, J . BI N E T^* donne, au mo yen de cet t e sér i e, l ’ expr essi on du déno mbr e - ment des c o mbi nai so n s di scont i nues. E n 184 4, La mé^† i ndi que l ’ app l i cat i on que l ’ on peut f ai r e de cet t e sér i e à l a dét er mi nat i on d’ une l i mi t e s upér i eur e du no mbr e des oper at i on s à f ai r e dans l a r ec h er che du pl us gr and c o mmun di vi - seur de deux no mbr es ent i er s.

Nous pr endr o ns aussi quel quef oi s pour exe mpl e l a sér i e Un de s econde espèce, donné e par l es h ypot hèses

P = 2, Q = – ².2, ou par l ’ équat i on

x² = 2x + 1.

On a al or s l es sér i es

n : 0 , 1, 2, 3 , 4, 5 , 6 , 7, 8, 9, 10 , 11, . . . Un : 0 , 1, 2, 5 , 12, 29, 70 , 1 69, 408, 985, 23 78, 5741, . . . Vn : 2, 2 , 6, 14, 34, 82, 198, 4 78, 1154, 278 6, 6786 , 16238 , . . . que nous dési gner ons sous l e no m de SE R I E S D E PE L L , en l ’ honneur du ma - t hé mat i ci en de ce nom qui r ésol ut , l e pr emi er , un cél èbr e pr obl è me d’ anal yse i ndét er mi né e pr oposé par FE R M A T, et c once r nant l a r ésol ut i on en no mbr es e n - t i er s, de l ’ équat i on i n dét er mi née

x² – y² = ± 1.

Les f onct i ons numéri ques de t roi si ème espèce cor r espondent à t out es l es val eur s i ma gi nai r es d e a et de b dont l a so mme et l e pr od ui t sont r éel s et co mme nsur abl es. Les pl us si mpl es pr o vi en n ent des h ypot hèses

P = 1, Q – 3 ; on a, dans ce cas,

2 3 1+ −

=

a ,

2 3 1− −

= b

par conséquent a et b sont l es r aci nes cubi que i ma gi nai r es de l ’ un i t é négat i ve ; de pl us,

U3 n = 0 , U3 n + 1 = ( – 1)ⁿ, U3 n + 2 = ( –1)ⁿ.

An explication of an obcure passage in Albert Girard’s Commentary upon Simon Stevin’s Works. Pag. 368 et suiv.

* Comptes rendus de l’académie des sciences de Paris, tome, xvii, pag. 562 ; tome xix, pag. 939.

† Comptes rendus, etc., tome xix, pag. 867.

Ai nsi l es val eur s de Un, r e vi ennent pér i odi q ue ment dans l ’ or dr e 0, 1, 1, 0, –1, – 1, . . . . . .

et donnent l i eu à un gr and no mbr e de f or mu l es si mpl es déd ui t es des pr opr i ét és génér al es des f onct i o ns Un, et Vn, et conc er nant l a t r i sect i on de l a ci r conf é - r ence.

Quel quef oi s aussi no us consi dér er ons l es sér i es anal ogues dé du i t es de l ’ équat i on

x² = 2x – 2, dans l aquel l e

a =1 + −1, b = 1 – −1^{! " #} – 2², et l es sér i es dédui t es d e l ’ équat i on

x² = 2x – 3, dans l aquel l e

a =1 + −2, b = 1 – −2 ^{! " #} –2²,

nous dési gner ons l es sér i es obt enues dans cet t e der ni èr e hypot h èse, sous l e no m de séri es conj ugu ées de PE L L.

SECTION II.

Des relations des fonctions Un et Vn avec les fonctions circulaires et hyperboliques.

Si l ’ on f ai t z = 2

n Log.nép.

b a , dans l es f or mul es

cos( z −1) =

2

z

z e

e + ⁻ , si n( z −1) =

1 2 −

− ^−z

z e

e ,

on obt i ent

cos 









 −

b a n Log.

2

1 =















 +

2 2

2 2

2 1

n n

n n

a b b

a ,

















− −

=

 



2 2

2 2

1 2 . 1 2 Log

1

sin - _n

n

n n

a b b a b

a

n ;

on a donc, ent r e, l es f onct i ons Un et Vn, et l es f onct i ons ci r cul air es, l es deux r el at i on

( 5)





= b

a Q n

Vn

n

. 2 Log

1 cos -

2 ² ,





∆

= −

b a n

Q Un

n

. 2 Log

1 sin - 2 ²

Il r ésul t e i mmé di at e ment de ce r appr oche me nt que chac une des f o r mul es de l a t r i gono mét r i e r ect i l i gne coudui t à des f or mul es anal ogues pour Un et Vn, et i n- ver se ment .

Ai nsi l a f or mul e ( 3)

U2 n = UnVn , cor r espond à l a f or mul e

si n 2z = 2 si n z cos z ; l es équat i ons

( 6) Vn + ^$ Un = 2aⁿ , Vn – ^$ Un = 2bⁿ

que l ’ on dédui t i mmé di at eme nt des f or mul es ( 2) cor r esponden t exact e ment aux r el at i ons

sin 1

1

cosz+ − z=e^{z −} , cosz− −1sinz=e^{−z −1},

et l es f or mul es ( 4) s ont ent i èr eme nt anal ogues à cel l es qui ont ét é données dans Act es de Lei pzi c k, en 1701, par JE A N BE R N O U L L I, po ur l e dével op pe men t

de z

nz sin

sin et de cos nz sui va nt l es pui ssances du si nus et du cosi nus de l ’ ar c z.

Ai nsi encor e l es f or mu l es ( 7)

[ Vm +^$ Um] [ Vn +^$ Un] = 2[ Vm + n +^$ Um + n] , [ Vn +^$ Un]^r = 2^{r – 1}[ Vn r +^$ Un r] ,

que l ’ on dédui t des r el at i ons ( 6) coï nci dent a vec l es f or mul es ( cos x + −1si n x) ( cos y + −1si n y) = cos ( x + y) + −1si n ( x +y) , ( cos x + −1si n x)^r = cos r x + −1si n rx ,

qui ont ét é don nées pa r MO I V R E.

Nous f er ons encor e ob ser ver q ue si , da ns l ’ équat i on ( 1) , on pose X = x^r, ^% = a^r, ^& = b^r,

l es quant i t és ^% et ^& s o nt l es r aci nes de l ’ équ at i on

( 8) X² = VrX – Q^r .

Par conséquent , chacu ne des f or mul es qui appar t i ennent à l a t héor i e pr ésent e peut êt r e génér al i sée, en y r e mpl açant Un et Vn par

r nr

U

U et Vn r, P par Vr, Q pa r Q^r, et l a di f f ér ence ^{' ( ) * + , - ./} es a et b par l a di f f ér ence à ^' Ur de s r aci nes ⁰ et

1

de l ’ équat i on ( 8) .

Les f or mul es ( 4) de vi e nnent ai nsi

( 9)

. . 4 .

. 3 . 2 . 1

) 3 )(

2 )(

1 ( 2

. 1

) 1 2 (

. . 5 .

. 4 . 3 . 2 . 1

) 4 )(

3 )(

2 )(

1 (

3 . 2 . 1

) 2 )(

1 ( 2 1

4 4 2 2

2 1

5 4 2 3

2 1

1

+

− ∆

− + −

− ∆ +

=

+

− ∆

−

− + −

− ∆ + −

=

−

−

−

−

−

−

−

n r r n

r r n

r nr n

n r r n

r r n

r r

n nr

V n U

n n n V n U

V n V

V n U

n n n n

V n U

n V n

n U U

D’ ai l l eur , nous l ai sser ons de côt é, pour l ’ i nst ant , l es aut r es pr océ dés de t r ans - f or mat i on de l ’ équat i o n ( 1) par subst i t ut i on de var i abl e, ai nsi que l ’ ét ude des f onct i ons pl us génér al es

AUn + B Vn + C ,

dans l esquel l es A, B, C dési gnent des no mb r es ent i er s quel conques, posi ti f s ou négat i f s.

SECTION III.

Des relations de récurrence pour le calcul des fonctions Un et Vn.

Le cal cul des val eur s de Un et de Vn qui cor r espondent aux val eur s en - t i èr es et consécut i ves de n , s’ éf f ect ue r api d e ment au mo yen de f o r mul es ent i è - r e ment anal o gues à cel l es de TH O M A S SI M P S O N :

si n ( n + 2) z = 2 cos z si n ( n + 1) z – si n nz , cos (n + 2) z = 2 co s z cos ( n+ 1) z – cos nz .

En ef f et , mul t i pl i ons par xⁿ l es deux me mbr es de l ’ équat i on ( 1) , et r empl açons successi ve ment x par a et b, n ous obt eno ns

a^{n + 2} = Pa^{n + 1} – Qaⁿ , b^{n + 2} = P b^{n + 1} – Qbⁿ et , par soust r act i on et par addi t i on,

( 10) Un + 2 = P Un + 1 – QUn ,

Vn + 2 = PVn + 1 – Q Vn .

Ces f or mul es no us f on t voi r que l es f onct i on s U et V f or ment , pour l es val eur s ent i èr es et consécut i ves de n, deux s ér i es r écur r ent es de no mbr es ent i er s. Ces sér i es ont l a mê me l oi de f or mat i on, mai s el l es di f f èr ent par l es condi t i ons i ni - t i al es. Nous génér al i ser ons ces f or mul es p ar l ’ empl oi du cal cul symbol i que.

En ef f et , en dési gna nt par F une f onct i on quel conque, on t i r e é vi de mment de l ’ équat i on ( 1)

F( x²) = F( Px – Q) ; si l ’ on r e mpl ace x par a et b, on a

aⁿF( a²) = aⁿF( Pa – Q) , bⁿF( b²) = bⁿF( Pb – Q) ,

et , par soust r act i on et par addi t i on, on obt i en t l es égal i t és s ymbol i q ues ( 11)

UⁿF( U²) = UⁿF( P V – Q) VⁿF( V²) = VⁿF( PV – Q)

dans l esquel l es on r empl ace, apr ès l e dé ve l oppe ment , l es exposa nt s de U e t de V par des i ndi ces, en t enant co mpt e de l ’ exposant zér o . Ai nsi l es symbol es U² et PU – Q, V² et PV – Q sont r espect i ve ment , équi val ent s, et peuvent êt r e r empl acé s l ’ un pa r l ’ aut r e dans l es t r ans f or mat i ons al gébr i que s.

On a, par exe mpl e, da ns l a sér i e de FI B O N A C C I, l es r ésul t at s sui van t s

( 12)

u^{n + p} = u^{n – p}( u + 1)^p , u^{n – p} = uⁿ( u – 1)^p ,

qui sont ent i èr e mo nt a nal ogues à ceu x que l ’ on peut o bt eni r dans l a t héor i e des co mbi nai sons ou d u t r i angl e ar i t h mét i que, et , en par t i cul i er dans l a f or mul e d u bi nô me des f act or i el l es, due à VA N D E R M O N D E.

En pr enant , pour poi nt de dépar t , l ’ équat i on x² = x – 1

on t r ouver a e ncor e d e nou vel l es r el at i ons ent r e l es coef f i ci ent s de l a mê me pui ssance du bi n ô me

La consi dér at i on de l ’ équat i on ( 8) condui t a ux r el at i ons sui vant es ( 13) Un + 2 r = VrUn + r – Q^rUn ,

Vn + 2 r = VrVn + r – Q^rVn,

qui per met t ent de cal cul er l es val eur des f onct i ons Un, et Vn, qui cor r espondent à des val eur s de l ’ ar gu ment n e n pr o gr essi on ar i t hmét i que de r ai son r.

In ver se ment , on t r ou ver a, dans l a t héor i e des f onct i ons ci r cul ai r es et hy- per bol i ques, des f or m ul es anal o gues aux f or mul es ( 11) et ( 1 3) .

SECTION IV.

Des relations des fonctions Un et Vn avec les déterminants.

On peut expr i mer Un et Un r , Vn et Vn r au mo yen de dét er mi na nt s ; en ef f et , on a l es f or mul e s

U2 – P U1 = 0

U3 – P U2 + Q U1 = 0

U4 – P U3 + Q U2 * = 0

U5 – P U4 + Q U3 – * * = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Un + 1 – PUn + QUn - 1 – * * = 0

on en déd ui t

( 14) Un + 1 = ( – 1)ⁿ

–P, +1, 0, 0, . . . . +Q, –P, +1, 0, . . . . 0, + Q, –P , +1 , . . . . 0, 0, +Q , –P, . . . . . . . . . . . . . . . .

( n col onnes)

On obt i ent aussi

( 15) Vn = ( + -1)ⁿ

–P, +2, 0, 0, . . . . +Q, –P, +1, 0, . . . . 0, + Q, –P , +1 , . . . . 0, 0, +Q , –P, . . . . . . . . . . . . . . . .

( n col onnes)

On vér i f i e l es r ésul t at s que nous ven ons de t r ouver , e n dé vel oppa nt l es dét er - mi nant s sui vant l es él é ment s de l a der ni ér e l i gne ou de l a der ni èr e col onne.

Les val eur s de

r nr

U

U et de Vn, s’ obt i ennent encor e au mo ye n des dét er mi nant s, en r e mpl açant co m me l ’ or di nai r e P par Vr, et Q par Q^r.

Enf i n, nous f er o ns o bser ver q ue ces f or m ul es sont suscept i bl e s d’ une gr ande génér al i sat i on ; en ef f et dans l es f or mul es ( 11) qui con t i ennent une f onct i on ar bi t r ai r e, f aisons n successi ve men t égal à 1, 2, 3, . . . . m ; nous obt enons al or s m équa t i ons desquel l es on t i r er a l a val eur de l ’ une ou de l ’ aut r e des f onct i ons U et V.

RE M A R Q U E, — O n pe ut encor e p our l e dé v el oppe ment de Un e mpl oyer l a f or mul e sui vant e,

( 16) Un + 1 = Un + 1 =

P, Q, 0 , 0, . . . . Q, P, Q, 0, . . . . 0, Q, P , Q, . . . . 0, 0, Q, P, . . . . . . . . . . . . . . . . . .

( n col onnes)

;

Cependant l ’ e mpl oi de l a f or mul e ( 14) est bi en pr éf ér abl e.

SECTION V.

Des relations des fonctions Un et Vn avec les fractions continues.

Les f onct i ons Un et Vn sont dé vel oppabl es e n f r act i ons cont i nues ; en ef - f et , consi dér ons l ’ expr essi on

( 17)

, .

.

3 .

3 2

2 1

1 0

n n n

n

b a b

b a b a

a S a

R

+ + +

+ +

=

et dési gn ons par Rn et Sn, l e n u mér at eur et l e déno mi nat eur de l a n^{i è m e} r édui t e ; on sai t que l ’ on a

( 18) Rn + 2 = bn – 2Rn + 1 + an + 2Rn,

Sn + 2 = bn + 2Sn + 1 + an + 2Sn ;

et , de pl us

( 19) RnSn + 1 – Rn + 1Sn = ( –1)ⁿa1 a2 a2 . . . . an + 1 .

Par conséquent , si l ’ o n pose

a0 = b1 = b2 = . . . . = bn = P, a1 = a2 = a3 = . . . . = an = – Q, on obt i ent l ’ expr essi o n

( 20)

. .

1

− −

− −

+ =

P P Q P Q P Q U U

n n

dans l aquel l e n dési gn e l e no mbr e des qua nt i t és égal es à P.

On a ai nsi , dans l a sér i e de FI B O N A C C I : ( 21)

. . 1 1 1 1 1 1 1 ) 5 1 ( ) 5 1 (

) 5 1 ( ) 5 1 ( 2

1 ^{1 1}

+ + + +

− =

− +

−

−

+ ^{+ +}

n n

n n

dans l a sér i e de FE R M A T : ( 22)

. . . 3 3 2 3 2 3 2 1 2

1 2 ¹

− −

− −

− =

+ −

n n

et dans l a sér i e de PE L L

( 23)

. . . 2 2 1 2 1 2 1 ) 2 1 ( ) 2 1 (

) 2 1 ( ) 2 1 ( 2

1 ^{1 1}

− −

− −

− =

− +

−

−

+ ^{+ +}

n n

n n

D’ ai l l eur s, on a gé nér al ement

( 24) _n

n

n n

a b a b U a

U



 



−



 



−

=

+

+

1 1

1

1 ;

donc, en dési gnant pa r a l a pl us gr ande des r aci nes, pr i ses en val eur absol ue, de l ’ équat i on ( 1) , on a

( 25) Li m a

U U

n

n⁺¹ = ,

l or sque n au gment e i n déf i ni me nt . Cepe ndant , nous f er ons obser ver que ce der - ni er r ésul t at ne s’ appl i que pas dans l e cas de s sér i es de t r oi si è me e spèce, c’ est - à -di r e l or sque l es r aci nes de l ’ équat i on pr o p osée ( 1) sont i ma gi nai r es.

Au mo yen de cet t e de r ni èr e f or mul e, i l est f aci l e de cal cul er r api de ment un t er me de l a sér i e Un l or sque l ’ on ne c onnai t que l e pr écèdent . Soi t , par exe mpl e, dans l a sér i e de FI B O N A C C I

u4 4 = 7014 0 8733, et

a = 2 5 1+

= 1, 61 803 3 988 7 39894 8482 . . . . ;

si l ’ on cal cul e par l es mét hodes abr é gées l e pr odui t a .u4 4, à moi n s d’ une uni t é pr ès, on t r ou ve exact e ment , pui sq ue un, est e nt i er

u4 5 = 1134 9 031 70.

On pe ut , d’ ai l l eur s, dé t er mi ner di r ect e ment l e der ni er chi f f r e de un ; ai nsi dans ce cas par t i cul i er , i l est f aci l e de f ai r e voi r que deux t er mes, do nt l es r angs, di f f ér ent d’ un mul t i pl e quel conque de 60, sont t er mi nés par l e mê me chi f f r e ; si l ’ on suppose al or s p i nt ér i eur à 60 , on peut dé mont r er que l es der ni er s chi f f r es de up et de uq, so nt co mpl é ment ai r es, l or sque l a so mme p + q est égal e à 60 ; o n peut donc supposer mai nt enant p égal à 30 ; et mê me p i nf é - r i eur à 15, si l ’ on obser ve que l es t er mes u1 5 + p et u1 5 – p ont l es mê mes der ni er s chi f f r es, l or sque p est i mpai r , et l eur s der ni er s chi f f r es compl é me nt ai r es, l or s- que p est pai r .

On a, pl us génér al e me nt , l a f or mul e

( 26) ^{( )}

. . .

1

− −

−

−

+ =

r r r

r r

r r

nr r n

V V Q V Q V Q U

U

dans l aquel l e l es Vr s o nt en no mbr e n, et , l or sque n au gment e i ndéf i ni me nt ,

( 27) Li m ^r

r r

n a

U

U^{( +1)} = .

A l a f or mul e ( 26) , cor r espond, d ans l a t héor i e des f onct i ons ci r cul ai r es l a f or - mul e^*

( 28)

. . . cos 2 cos 1 2 cos 1 2 cos 1 sin 2

) 1 sin(

− −

−

− + =

z z z

nz z z n

dans l aquel l e l ’ expr es si on 2cos z est r épét é e n f oi s ;

* Journal de Crelle, tome xvi, pag. 95 ; 1887

On a aussi pour l a sér i e des Vn, l a r el at i on ( 29)

, 2 . .

1



 



−

− −

−

−

=

−

r r r

r r

r r

r r

r n

nr

V Q V

V Q V Q V Q V

V

dans l aquel l e l a quant i t é Vr est r épét ée n f oi s .

Les no mbr euses pr opr i ét i és des dét er mi nant s et des f r act i ons co nt i nues donnent l i eu à des pr o pr i ét és anal ogues po ur l es f onct i ons Un et Vn . Ai nsi l a pr opr i ét é bi en connue de deux r é dui t es con sécut i ves, r enf er mée dans l a f or - mul e ( 19) d onne

( 30)

1 1 1

2 −

+

− =

− n n ⁿ

n U U Q

U ,

∆

−

=

− ₋1 ₊1 ⁻¹

2 n

n n

n V V Q

V ,

et , pl us génér al e ment ( 31)

2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2

r r n r n r n

nr U U Q U

U − _{− +} = ⁻ ,

2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2

r r n r n r n

nr V V Q U

V − _{− +} =− ⁻ ∆ ;

on a, dans l a t héor i e d es f onct i ons ci r cul ai r es, l es f or mul es a nal o gues si n²x – si n ( x – y) si n ( x + y) = si n²y,

cos²x – c os ( x – y) cos ( x +y) = si n²y,

Il est d’ ai l l eur s f aci l e de vér i f i er i mmédi a t eme nt l es f or mul es ( 31) , en r e mpl açant U , V et Q e n f onct i on de a et b. Ai nsi , on a encor e

r n r n r n r

n a b Q

U ₊ = ⁺ + ⁺ − ⁺

∆ ^{2 2 2 2 2} 2 ,

n n

n

n a b Q

U² = ² + ² −2

∆ ;

donc, par s oust r act i on :

[

] [

][

]

∆ ²₊ ^{2 2 + 2 +} ,

et , par sui t e

( 32) U_n+r −Q^rU_n =U_rU2_n+r 2

2 ;

on aur a, par l a mê me voi e, l a r el at i on

( 33) V_n+r −Q^rV_n =∆U_rU2_n+r 2

2 ,

La f or mul e ( 3 2) donne pl us par t i cul i èr e ment , pour r = 1, l a r el at i on ( 34) Un²₊₁−QUn²=U₂n₊₁ .

Cet t e der ni èr e f or mul e a ét é appl i quée par M. GÜ N T H E R, à l a r és ol ut i on de l ’ équat i on i ndét er mi née

y² – Qx² = Kz ,

en no mbr es ent i er s^* ; i l est f acil e de voi r qu’un t r ès-gr a nd no mbr e de f or mul es de cet t e sect i on et des sui vant es, c ondui se nt à des conséquence s anal ogu es, mai s beaucou p pl us gé nér al es.

SECTION VI.

Développement des fonctions Un et Vn en séries de fractions.

Les f or mul es ( 30) donnent l i eu aux dével o ppe ment s de

n n

U U ₊₁

et

n n

V V ₊₁

en sér i es dont l es t er mes ont pour déno mi nat eur s l e pr odui t de deux t er mes consé - cut i f s des sér i es U et V. O n a, e n ef f et ,





− +

 +

 

 −

+

 

 −

+

=

− + +

1 1 2

3 3 4 1

2 2 3 1 2

1 . . . .

n n n n n

n

U U U U U

U U U U

U U U U U U

U ,

et , en r éuni ssant l es f r act i ons cont enues dans chaque par ent hèse , ( 35)

n n

n n

n

U U

Q U

U Q U U

Q U U

Q U

U U U

1 1 4

3 3

3 2

2

2 1 1 2

1 . . . .

−

+ = − − − − − − ;

on a ai nsi dans l a sér i e de FI B O N A C C I, pour augment ant i ndéf i ni me nt

( 36) . . . .

13 . 8

1 8 . 5

1 5 . 3

1 3 . 2

1 2 . 1

1 1 . 1 1 1 2

5

1+ = + − + − + − +

En sui vant l a mê me vo i e, on obt i ent l es f or m ul es pl us génér al es

( 37) ²

) 1 (

) 1 (

3 2

2

2 ) 2

1

( . . . . _r

nr r n

r n

r r

r

r r

r

r r nr

r

n U

U U

Q U

U Q U

U Q U

U U

U











 + + +

−

=

− + −

, et

( 38) ²

) 1 ( 2

2

0 0 ) 1

( . . . . _r

nr r n

nr r

r r r r r nr

r

n U

V V

Q V

V Q V V

Q V V V

V ∆











 + + +

−

=

−

+ .

On t i r e encor e des deu x r el at i ons

( 39) Un + rVn – UnVn + r = 2QⁿUr ,

Vn + rVn – ² UnUn + r = QⁿVr ,

* Journal de Mathématiques pures et appliquées, de M. RESAL, pag. 331-341 ; Octobre, 1876.

Vol. I – n°. 3.-50.

que nous dé mo nt r er ons pl us l oi n, l es dé vel o ppe ment s

( 40) 









 + + +

+

=

+

− +

−

+ + + +

+

kr n r k n

r k r

n r n

r r

n r r n n

n kr n

kr n

V V

Q V

V Q V

U V V Q

U V

U

) 1 (

) 1 (

2

. . . 1 .

2 ,











 + + +

−

=

+

− +

−

+ + + +

+

kr n r k n

r k

r n r n

r

r n r r n n n kr n

kr n

U U

Q U

U Q U

U U U Q

V U

V

) 1 (

) 1 (

2

. . . 1 .

2 .

Lor sque k augment e i ndéf i ni ment , l es pr e mi er s me mbr es des égal i t és pr écédent es ont r espect i ve me nt pour l i mi t es

∆

1 et ∆ ; on t i endr a co mpt e dans l e second me mbr e, des con di t i ons de c on ver gence.

On peut ai nsi dé vel op per l a r aci ne car r ée d’ un no mbr e e nt i er en sér i es de f r act i ons ayant pour n u mér at eur l ’ uni t é ; c’ ét ai t un usage f a mi l i er aux sava nt s de l a Gr èce et d e l ’ É gypt e ; ai nsi , par exe m pl e, cet t e val eur appr o xi mat i ve de

3

10 1 3 1 4

3 = + + ,

r appor t ée par CO L U M E L L E au chapi t r e V de son ou vr a ge de Rê R u st i câ ; ai nsi encor e, cet t e val eur ap pr oxi mat i ve de

4

34 . 12

1 4 . 3

1 3 1 1

2= + + − + ,

donnée par l es aut eu r s i ndi ens BA U D H A Y A N A et AP A S T A M B A^* ; cet t e val eur appr oxi mat i ve est é ga l e au r appor t des t er mes V8 = 577 et U8 = 408, de l a sér i e de PE L L.

SECTION VII. .

Des relations des fonctions Un et Vn avec la théorie de la divisibilité.

Si nous posons ⁵ = a^r et ⁶ = b^r , et , par su i t e, ^{5 6} = Q^r , no us ob t enons, par l a f or mul e qui do nne l e quot i ent de ^{5 n} – ^{6 n} par ⁵ – ⁶ , l es r ésul t at s sui - vant s :

1°. Lor sque n dési gne un no mbr e pai r :

( 41) _r

n r r

n r r n r r n r

nr V QV Q V Q V

U

U ^_^{ −}_^

−

−

− + + + +

= ( 5) ^{2 1}

2 ) 3 ( )

1

( . . . . ;

2°. Lor sque n dési gne un no mbr e i mpai r :

( 42) _r

n r r

n r r n r r n r

nr V QV Q V Q V

U

U ^_^{ − }_^

−

−

− + + + +

= ²

1 )

5 ( 2 ) 3 ( )

1

( . . . . ;

* The Çulvasûtras by G. THIBAUT, pag. 13-15. Journal of the Asiatic Society of Bengal, 1875.

Le quot i ent de ^{7 n} – ^{8 n} par ⁷ + ⁸ , l or sque n dési gne u n no mbr e pai r, donne encor e

( 43) _r

n r r

n r r n r r n r

nr U QU Q U Q U

V

U ₂ ¹

) 5 ( 2 ) 3 ( )

1

( ₋ − ₋ + ₋ − . . . . +(− ) ⁻

= ,

et l e quot i ent de ^{7 n 9 : n} par ⁷ + ⁸ , l or sque n dési gne un no mbr e i mpai r, donne enf i n

( 44) ²

1 )

5 ( 2 ) 3 ( )

1

( . . . . ( )

−

−

−

− − + − + −

=

n r r

n r r n r r n r

nr V QV Q V Q

V

V .

Pour n = 2, o n r et r ou ve l a f or mul e

( 3) U_{2 r} = UrVr ,

et , pour n = 3 , on a

( 45) U3 r = Ur ( V2 r + Q^r ) , V3 r = Vr ( V2 r – Q^r ) .

Les r el at i ons pr écéden t es nous mont r ent q ue Um est t ouj our s di vi s i bl e par Un, l or sq ue m est di vi si bl e par n ; de mê me Vm est t ouj our s di vi si bl e pa r Vn, l or sq ue m est i m pai r et di vi si bl e par n ; par conséq uent Um et Vm ne peu vent êt r e des nomb r es pr emi er s, que si m est pr emi er ; mai s l a r éci pr oque de ce t héor è me n’ a pas l i eu.

Dans l a sér i e de FI B O N A C C I, u3 est di vi si bl e par 2, u4 est di vi si b l e par 3, u5 est di vi si bl e par 5 ; par conséquent , u3 n, u4 n et u5 n, sont r es pect i ve ment di vi si bl es par 2, 3, et 5. Ai nsi enc or e, bi en q ue 53 soi t pr e mi er on a

u5 3 = 953 ^; 559 4574 1.

Repr enons l es é gal i t és

( 6) Vn + ^< Un = 2aⁿ , Vn – ^< Un = 2bⁿ ; nous obt enons , en mul t i pl i ant me mbr e à me mbr e, l a r el at i on

( 46) V_n²−∆U_n² =4Qⁿ ,

qui cor r espond, en t r i gono mét r i e, à l a f or mul e cos²z + si n²z = 1 .

Cet t e r el at i on nous mont r e que si Un et Vn ad met t ai ent un di vi se ur co m- mun ⁼ , ce di vi seur ser ai t un f act eur de Q ; mai s, d’ aut r e par t ,

n n

n

P

V P 



 

 + −



 



= +

2 2

δ

δ ,

et , en suppr i mant l es mul t i pl es de Q , ce q ui r evi ent é vi de m ment à r e mpl acer

>

par Q, on a l a con gr uence.

( 47) V_n ≡Pⁿ, ( Mod. Q) ;

donc, t out di vi seur ^? de Un et Vn di vi ser ai t P et Q ; or nous avons supposé pr e mi er s ent r e eux. De l à r ésul t e cet t e pr opo si t i on :

TH E O R E M E : Les no mb res Un et Vn sont pre mi ers ent re eux.

Si l ’ on dési gne par ^@ l ’ exposant au quel app ar t i ent P sui vant l e modu l e Q, on sai t que l a co n gr uence

≡1

Pn , ( Mod. Q) ,

est vér i f i ée pour t out e s l es val eur s de n é gal es à un mul t i pl e que l conque de ^@ ,

@ ét ant l ui -mê me un c er t ai n di vi seur de l ’ i ndi cat eur ^A ( Q) de Q, ou du no mbr e des ent i er s i nf ér i eur s et pr e mi er s à Q ; pa r conséquent , à ca use de l ’ é gal i t é ( 47) , on r ésou dr a l a co ngr ue nce

( 48) Vn ≡1, ( Mod. Q) ,

par t out es l es val eur s de n é gal es à un mul t i pl e quel conque de ^@ . SECTION VIII.

Des formes linéaires et quadratiques des diviseurs de Un et Vn , qui correspondent aux valeurs paires et impaires de l’argument n.

La f or mul e ( 46) co nd ui t encor e à d’ aut r es conséquences i mpor t a nt es sur l a f or me d es di vi seur s de Un et de Vn, car on en déd ui t i mmédi at e ment l es pr o - posi ti ons sui vant es, s ui vant que l ’ on consi d èr e n égal à un nombr e pai r ou à un no mbr e i mpai r .

TH E O R E M E : Les t erm es de rang i mpai r d e l a seri e Un sont des d i vi seurs de l a f orme quadrat i q ue x² – Qy².

En t enant compt e des r ésul t at s bi en connus de l a t héor i e des di vi seur s des f or mes quadr at i ques, on a, en par t i cul i er , pour l es f or mes l i néa i r es cor r es - pondant es des di vi seur s pr e mi er s i mpai r s de U2 r + 1

dans l a sér i e de FI B O N A C C I : 4q + 1;

” ” FE R M A T: 8q + 1, 7 ; ” ” PE L L : 4q + 1 .

Ai nsi , l es t er mes de r ang i mpai r de l a sér i e de FI B O N A C C I ou de l a sér i e de PE L L ne peu ve nt cont eni r co mme di vi s eur aucun no mbr e pr e mi er de l a f or me 4q + 3.

TH E O R E M E : Les t erm es de rang pai r d e l a séri e Vn sont des di vi seurs de l a f orme qu adrat i que x² + ^B y².