THÉORIE DES FONCTIONS NUMERIQUES SIMPLEMENT PÉRIODIQUES

PA R ED O U A R D LU C A S, Prof esseur au Lycée Charl ema gne, Pari s.

(Voir pag. 240 et suiv.)

SECTION XXIV.

De l’apparition des nombres premiers dans les séries récurrentes de première espèce.

Dans l es sér i es r écur r ent es de pr e mi èr e esp èce, a et b dési gnent deux no mbr es ent i er s, posi t i f s et pr emi er s ent r e eux ; i l est d’ abor d évi dent que l es di vi seur s pr e mi er s de a et de b, ou de Q = ab, ne se t r ou ve nt j amai s co mme f act eur s dans l a sér i e ; i l ne ser a pas t enu co mpt e de ces di vi seur s dans t out ce qui va sui vr e. O n dédui t i mmédi at e ment de l a pr emi èr e des f or mul es ( 4) , l a dé monst r at i on du t héor è me de FE R M A T. En ef f et , on a , en né gl i geant l e s mul t i pl es de p, suppos é pr e mi er et i mpai r ,

1

2 ⁻1 ≡ ⁻

−

− p

p p p

b a

b

a δ , ( Mod. p)

Mul t i pl i ons l es deux t er mes de l a c on gr uenc e par ^ = a – b, nous o bt enons 2^{p – 1}( a^p – b^p)≡( a – b)^p, ( Mod. p) ;

supposons a – b = 2, e t di vi sons par 2^{p – 1} i l vi ent a^p – b^p≡a – b, ( Mod. p) ; ou, encor e a^p – a ≡ b^p – b , ( Mod. p) ;

Ai nsi , l e r est e de l a d i vi si on de a^p – a , par p pr e mi er , ne chan ge pas l or sque l ’ on di mi nue a de deu x uni t és, et par sui t e de 2, 4, 6, 8 , . uni t és ; mai s p our a = 0 ou a = 1, ce r e st e est nul ; do nc a^p – a est t o uj our s di vi s i bl e par l e no mbr e pr e mi er p , qu el que soi t l ’ ent i er a. Par sui t e, si l e no mb r e ent i er a n’ est pas di vi si bl e par p, l a di f f ér ence a^{p – 1} – 1 est di vi si bl e par p ; c’ est pr é -ci sé ment l ’ énoncé d u t héor è me en quest i on.

En supposant mai nt en ant a et b quel conques, mai s non di vi si bl es par p, l es di f f ér ences

a^{p – 1} – 1 et b^{p – 1} – 1

sont di vi si bl es par p ; donc, si a – b n 'est pa s di vi si bl e par p, o n a .

) p . Mod ( , 0

1 1

1 ≡

−

= ⁻ − ⁻

− a b

b U a

p p p

Par conséquent , l es di f f ér ent s t er mes des sé r i es r écur r ent es de pr e mi èr e es -pèce cont i ennent , en except ant l es di vi seur s de Q = ab et de ^‚ = a – b, t ous l es no mbr es pr e mi er s en f act eur s.

Mai s, s 'i l est vr ai que p di vi se Up – 1 , on p eut , dans l a pl upar t des cas, t r ouver u n t er me d e r ang i nf ér i eur à p – 1 , et di vi si bl e par p . Dés i gnons par

ƒ le rang d’arri vée ou d’appariti on du no mbre premi er p dans l a séri e des Un ; il résult e des principes exposés (Section X I), que l ’on a, pour k enti er et positi f,

Uk^„ 0 , ( Mod. p) ;

ains i, tous les t ermes divisi bles par p ont un rang égal à un multipl e quelconque du rang d’apparition.

Il r ésul t e encor e des pr i nci pes exposés ( Sect i on X II I) , que l es t er mes, dont l e r an g est un mul t i pl e quel conque de ( p – 1) p^{† – 1}, sont di vi si bl es pa r p^† ; mai s i l peut exi st er d 'aut r es t er mes di vi si bl es par p^† , pou r d eux r ai sons bi en di f f ér ent es ; 1° l or sque l e r ang d 'ar r i vée ^ƒ de p di f f èr e de p – 1 ; 2°

l or sque l e no mbr e pr e mi er p ar r i ve pour l a pr e mi èr e f oi s à une pui ssance su -pér i eur e à l a pr e mi èr e ; mai s, cel a con nu, i l est f aci l e de t eni r compt e de ces si ngul ar i t és. E n génér al , si m dési gne u n no mbr e quel conq ue pr e mi er avec Q, et ^‡ ( m) l ’ i ndi cat eur d e m, c’ est à di r e l e no mbr e des ent i er s i nf ér i eur s et pr e -mi er s à 271 , on a l a co ngr ue nce

( 135) U^ˆ _{( m )}  0 , ( Mod. m) ;

cet t e congr u ence cor r e spond au t hé orème de FE R M A T général i sé pa r EU L E R. In vers ement, si l ’on a

Un  0 , ( Mod. m) ; On en dédui t

n = k^‰ ,

‰ dési gnant u n cer t ai n di vi seur de ^‡ ( m) , et k un ent i er posi t i f quel c onque.

Les r ésul t at s que nou s venons d 'obt eni r co ndui sent à l a f or me l i néai r e des di vi seur s pr e mi er s de Un. En ef f et , si ^ƒ dési gne t ouj our s l e r ang d 'ar r i -vée de p, on a, pui squ e Up – 1 est di vi si bl e p ar p,

p – 1 =k0

ƒ ,

et , par sui t e

( 136) p =k0

ƒ + 1 .

Nous appel l er ons di vi seurs propres de Un t ous l es f act eur s pr emi er s de Un

que l 'on ne r encont r e pas dans l es t er mes de r ang i nf ér i eur , et divi seurs i m-propres, l es f act eur s pr e mi er s cont enus pr é al abl ement dans l es t er mes.de l a sér i e. On a al or s l es d eux pr oposi t i ons sui va nt es :

TH E O R E M E I : Les di vi seurs i mpropres de s t ermes Un des f o n ct i ons si mpl ement péri odi qu es sont des di vi seurs propres des t ermes d ont l e rang est un di vi seur de n.

TH E O R E M E II : Les di v i seurs propres des t ermes Un des f onct i ons péri o-di ques de pre mi ère es pèce appart i ennent à l a f orme l i néai re kn + 1.

Enf i n, si l ’ on o bser ve que l ’ on a t r ou vé U2 n = UnVn . on a encor e :

TH E O R E M E II I : Les di vi seurs propres de Vn appart i ennent à l a f orme l i -néai re 2kn + 1.

On déd ui t encor e de c e qui pr écédé l a dé mo nst r at i on du t héor è me , sui -vant , qui n 'est qu 'u n c as par t i cul i er du t héor è me de LE J E U N E-DI R I C H L E T, sur l es pr ogr essi o ns ar i t hmét i ques :

TH E O R E M E IV : Quel que soi t l ’ ent i er m, i l y a une séri e i ndéf i ni e de nombres premi ers de l a f orme l i néai re k m + 1.

En ef f et , i l est d 'ab or d évi de nt que, po u r une val eur suf f i sa mment gr ande de n, l e t er me Un possédé nécessai r e ment un ou pl usi eur s di vi seur s pr opr es de l a f or me kn + 1. Par consé quent , si l ’ on f ai t successi ve ment n é gal à

m, p m, p²m , p³m, . . . p^Š m ,

p étant premier, les termes correspondants possèdent tous, à partir d’un certain rang, des diviseurs de la forme considérée ; le théorème est donc démontré.

Il r é s u l t e e n c or e , d u t h é o r è me I ( S e c t i o n X X ) , q u e c e s d i vi s e u r s a p p a r -t i e n n e n -t e n o u -t r e a u x d i vi s e u r s d e l a f o r m e q u a d r a -t i q u e x² ± py² , s u i va n t q u e l ’ o n pr e n d p o u r p u n n o mb r e p r e mi e r d e l a f or me 4 q + 3 , o u d e l a f or me 4 q + 1 .

Les t héor è mes pr écéd ent s per met t ent encor e de dét er mi ner l es di vi seur s des f onct i ons nu mér i ques de pr e mi èr e esp èce ; nous donner ons d’ abor d l es deux exe mpl es sui vant s dus à EU L E R.

EX E M P L E I : Soi t , dan s l a sér i e de FE R M A T,

U6 4 = 2^{6 4} – 1 = 1844 6 74407 37 095 5 1615, on a, d 'apr ès l es f or mu l es pr écédent es,

U6 4 = U1 V1 V2 V4 V5 V1 6 V3 2 ;

on a i mmédi at e me nt l e s déco mp osi t i ons en f a ct eur s pr e mi er s

U1 = 1, V1 = 3, V2 = 5, V4 = 1 7, V8 = 257 , V1 6 = 65537 ; et

V3 2 = 429 49 672 97.

Les di vi seur s de V3 2 appar t i ennent à l a f orme l i néai r e 64k + 1 ; en essayant l es di vi seur s pr e mi er s de cet t e f or me

193, 2 57, 449, 577 , 641, on t r ou ve

V3 2 = 641 ^‹ 67 00417 .^* L’ essai des di vi seur s pr e mi er s de mê me f or me

641, 7 69, 1153, 121 7, 140 9, 1601, 2113 ,

et i nf ér i eur s à l a r aci ne car r ée du seco nd f ac t eur de V3 2 , i ndi q ue p r esque i m-médi at e ment que 6 7 0 0417 est u n no mbr e p r e mi er .

FE R M A T a vai t anno nc é, mai s sa ns di r e qu’ i l en eût l a dé monst r at i on, dans une l et t r e du 18 Oct obr e 1640, que l a f or mul e 2^{2 n} + 1 donn ai t t ouj our s des no mbr es pr e mi er s. Cet t e f or mul e se t r ou ve e n déf aut , d’ apr ès l a déco m-posi ti on pr écédent e, d ue à EU L E R, pour n = 5.

On sai t d’ aut r e par t , que GA U S S a dé mo nt r é que l ’ on peut di vi ser l a ci r -conf ér ence en 2^{2 n} + 1 par t i es é gal es, l or sq ue ce no mbr e est pr e m i er , et seu -l eme nt dans ce cas, par -l a r èg-l e et -l e compas . Nous i ndi quer ons p-l us -l oi n une mét hode de r echer che du mode de co mposi t i on des no mbr es de c et t e f or me, basée sur l a di st r i but i on des no mbr es pr e mi er s dans l a sér i e de PE L L. Par l a mét hode q ue nous ven ons d’ exposer , en sup posant que l e n o mbr e

2^{2 6} + 1 = 18446 74407 37095 51617,

soi t pr e mi er , i l f au dr ai t à un seul cal cul at eu r , pour l e dé mont r er , t out en pr o -f i t ant de l a -f or me 12 8k + 1, i mposée aux di vi seur s de ce no mbr e, envi r o n t roi s mi l l e ans de t r a vai l assi du.^† Par not r e mét hode, i l s uf f i t de t rent e heu-res, pour déci der si ce no mbr e est pr e mi er o u co mp osé.

EX E M P L E II : Soi t enc or e, dans l a sér i e de FE R M A T, l e t er me U3 1 = 2^{3 1} – 1 = 2147 4 83647

dont l e r ang 31 est u n no mbr e pr e mi er . Les di vi seur s de U3 1 son t , sans ex -cept i on, des di vi seur s pr opr es appar t enant à l a f or me l i néai r e 62k + 1 . Mai s, d’ aut r e par t ( Sect i on V II I, T héor è me I) , en t enant compt e des f or mes quadra-tiques de ses diviseurs, ou des formes linéaires correspondantes 8k’ ± 1, on voi t

* Il est inutile, d’après la loi de répétition, d’essayer 257 qui se trouve dans V8. Nous avons dé-montré que les diviseurs de V32 appartiennent à la forme 128k + 1. (Académie de Turin, janvier 1878)

† Aux mathématiciens de toules les parties du monde. — Communication sur la décomposition des nombres en leurs facteurs simples. Par M. F. LANDRY. Paris, 1867. (Note de la page 8.)

que t out di vi seur pr e m i er de U3 1 appar t i ent n écessai r eme nt à l ’ une des f or mes l i néai r es

248k + 1, 248 k + 63.

« Or , EU L E R^* nous appr end qu’ apr ès avoi r es sayé t ous l es no mbr es pr e -mi er s cont en us dans ces deux f or mes, j usqu’ à 46339, r aci ne du no mbr e 2^{3 1}– 1, i l n’ en a t r ouvé aucun qui f ut di vi seur de ce no mbr e ; d’ où i l f aut concl ur e conf or mé ment à une a sser t i on de FE R M A T, q ue l e no mbr e 2^{3 1}– 1 e st un no mbr e pr e mi er . C’ est l e pl us gr and de ceux q ui ai ent ét é vér i f i és j usqu’ à pr é -sent . » ( LE G E N D R E, T héor i e des No mbr es, 3^e édi t i on, t . I, pa g. 229. Par i s, 1830.)

EX E M P L E III : On con nai ssai t , depui s quel ques années, un no mbr e pr e -mi er pl us gr and que l e pr écédent , i ndi qué p ar PL A N A, dans son M émoi re sur l a Théori e des No mbre s, du 2 0 No ve mbr e 18 59^†. Soi t , e n ef f et

V2 9 = 3^{2 9} + 1 ;

ce no mbr e a t ous ses di vi seur s pr o pr es de l a f or me 58k + 1 ; mai s d’ aut r e par t , ces di vi seur s ap par t i ennent à l a f or me quadr at i que x² + 3 y², et , par sui t e, aux f or mes l i néai r es 12k + 1 et 12k + 7. En co mbi nant l ’ une de ces f or mes a vec l a pr écé d ent e, on t r ou ve que l e s di vi seur s de V2 9 s on t de l ’ une des deux f or mes

348k + 1 , ou 34 8k + 175.

PL A N A a ai nsi t r ou vé l a déco mp osi t i on

V2 9 = 2^{2 Œ} 60 91 ^Œ 2 8 168 7643 1,

et vér i f i é que l e der n i er f act eur est pr e mi e r . Il a encor e i ndi q ué ( l oc. ci t ., pag. 140 et 141) que l e quot i ent

, 76431 16133 59 58

2 1 3²⁹ =

×

−

n’ a pas de di vi seur pr e mi er i nf ér i eur à 522 59, et que l e no mbr e 2^{5 3} – 1 n’ a pas de di vi seur i nf ér i e ur à 50033 . Ces t r oi s asser t i ons sont i nexact es ; on a

3^{2 9} Р1 = 2 ^Π5 9 ^Π28 537 ^Π20 3 8102 7, 3^{2 9} + 1 = 22 ^Π5 23 ^Π6091 ^Π5 3 8599 7 2^{5 3} Р1 = 6361 ^Π6943 1 ^Π203 94401 .

Nous aj out er ons que l ’ on t r ouve e ncor e da ns l a mé moi r e de PL A N A, l a dé -co mposi t i on

2^{4 1} Р1 = 13367 ^Π164 5 11353 .

* Lettre à Bernoulli, en 1771, — Mémoires de l’Académie de Berlin, année 1772, pag. 36.

† Memorie della Reale Accademia delle Scienze di Torino, 2^e série, t. XXI p. 139. Turin, 1863.

EX E M P L E IV : No us d onner ons encor e qu el ques exe mpl es de déco mposi -t i on de l a f onc-t i on nu mér i que

( 2m)^{2 m} – 1 ,

qui j oue un r ôl e assez i mpor t ant dans l es con gr uences de de gr é supér i eur . Nous a vons t r ou vé l es r ésul t at s sui vant s :

14⁷ – 1 = 1 3 ^ 81 087 31, 14⁷ + 1 = 3 ^ 5 ^ 70 27567,

20^{1 0} – 1 = 3 ^ 7 ^ 11 ^ 19 ^ 61 ^ 2 51 ^ 1 52381 , 20^{1 0} + 1 = 41 ^ 401 ^ 2801 ^ 2 223 61,

22^{1 1} – 1 = 3 ^ 7 ^ 67 ^ 353 ^ 11764 6953 7, 22^{1 1} + 1 = 23 ^ 89 ^ 28 54510 5100 7,

24^{1 2} – 1 = 5^{2 } 7 ^ 1 3 ^ 23 ^ 73 ^ 79 ^ 349 ^ 57 7 ^ 60 1, 24^{1 2} + 1 = 97 ^ 3 317 77 ^ 113 47 936 33,

28^{1 4} – 1 = 3^{3 } 29 ^ 113 ^ 13 007 ^ 35771 ^ 44 22 461 30^{1 5} – 1 = 7^{2 } 19 ^ 29 ^ 122 11 ^ 8 3793 1 ^ 519 41161

30^{1 5} + 1 = 11 ^ 13 ^ 31 ^ 67 ^ 271 ^ 483 1 ^ 7126 1 ^ 5 17831 1, dont nous donner ons pl us t ar d l ’ appl i cat i on à de nouvel l es r echer ches sur l e der ni er t héor è me de FE R M A T.

SECTION XXV.

De l’appparition des nombres premiers dans les séries récurrentes de seconde et de troisième espèce.

En dési gna nt t ouj our s par p un nombr e pr e mi er quel con que, on s ai t que l e r est e de l a di vi si on de ²

−1

∆

p

par p est t ouj our s é gal à 0, à + 1, ou à – 1, sui vant que ^Ž est un mul t i pl e, un r ési du qu adr at i que, ou un non r ési du qua -dr at i que de p. No us c onsi dér er ons l es ci nq cas sui va nt s.

PR E M I E R C A S. p est un di vi seur de P.

On a U2 = P, et par conséquent t ous l es t e r mes Un de r an g pai r de l a sér i e sont di vi si bl es p ar p ; en dési gnant p ar p^ l a pl us haut e p ui ssance de p qui di vi se P, l es r angs des t er mes di vi si b l es par p^{ + } ser ont t o us l es mul -t i pl es de 2p^ .

DE U X I E M E C A S. p es t un di vi seur de Q.

Nous a vons, par déf i ni t i on,

n n

n

n U (P ) (P )

2 ∆ = + ∆ − − ∆ ,

2ⁿV_n =(P+ ∆)ⁿ−(P− ∆)ⁿ ;

on a donc, e n suppr i mant l es mul t i pl es de Q , par l e r e mpl ace ment de ^‘ par P², l es c on gr uences

, ) (Mod.

, ) (

2ⁿPU_n ≡ P+P ⁿ Q

2ⁿV_n≡(P+P)ⁿ, (Mod. Q), ou, pl us si mpl e me nt ,

( 137) U_n ≡Pⁿ⁻¹, V_n ≡Pⁿ , (Mod. Q).

Par conséquent , Un et Vn ne sont j amai s di vi si bl es par Q ou par l ’ un de ses di vi seur s, pui sque P et Q o nt ét é supp osés pr e mi er s ent r e eu x. D ’ ai l l eur s ce r ésul t at s’ appl i que aux sér i es de pr e mi èr e et de t r oi si ème espèc e ; l or sque l ’ on a Q = ± 1, comme dans l es sér i es de PE L L et de FI B O N A C C I, nous n’ aur ons pas à t eni r c o mpt e du t hé or è me pr éc édent .

TR O I S I E M E C A S. p es t un di vi seur de ^‘ .

Lor sque p est un nombr e pr e mi er di vi seur de ^‘ , l es f or mul es ( 4 ) don -nent i mmédi at e ment ,

( 138) U_p ≡0, V_p≡P, (Mod. p). et , par sui t e cet t e pr op osi t i on :

TH E O R E M E : Dans l a séri e U de seconde es pèce, t out di vi seur pre mi er p du dét ermi nant ^‘ est u n di vi seur de Up.

Il r ésul t e d’ ai l l eur s d es pr i nci pes exposés pr écéde mment , q u’ un di vi seur pr e mi er i mpai r p de ^‘ ar r i ve pour l a pr e mi èr e f oi s, dans Up et à l a pre-mi ère pui ssance.

QU A T R I E M E C A S . ^‘ est rési du quadr at i que de p.

En chan gea nt , dans l a pr e mi èr e des f or mul es ( 4) , p e n p – 1, o n a

2 3 4

2 1

2

1 . 1 . . 3 .

. 2 . 1

) 3 )(

2 )(

1 ( 1

2 1

− −

− −

− = − − − − ∆+ + − ∆

p p

p p

p p P

p P p P p

U p ;

et , en ap pl i quant l es r ésul t at s obt enus ( Sect i on X X I) po ur l es c on gr uences du t r i angl e ar i t h mét i que, on a

, ) (Mod.

, .

. .

2 ²

3 2

6 4

2 1

2U P P P P p

p p

p p p

p











 + ∆+ ∆ + + ∆

−

≡ ^{− − − −}

− −

et , par sui t e

.

THEOREME : Dans la série récurrente U de seconde ou de troisième espèce, tout nombre premier p, qui admet ^’ pour résidu quadratique, divise le terme Up – 1.

La seconde des f or mul es ( 4) donne

on a donc

( 140) Up + l ^” 0 , Vp – l ^” 2 Q, ( Mod. p) ; de l à, cet t e pr oposi t i o n :

THEOREME : Dans les séries récurrentes Un de seconde et de troisième es-pèce, tout,nombre premier p, dont ^• est un non-résidu quadratique, divise Up + l . Dési gnons e ncor e par ^– l e r an g d 'ar r i vée d u no mbr e pr e mi er p d ans l a sér i e des Un, et par k u n no mbr e ent i er quel c onque ; on a

Uk^{— ˜} 0 , ( Mod. p) ;

par conséquent , si p n ' est pas di vi seur de Q ou de ^• , on a k0^– = p ^™ 1,

en pr enant l e si gne – ou l e si gne + sui va nt que ^• est r ési du ou non -r ési du d e p ; on en dédui t

p = k0^– ± 1, et , par conséque nt :

THEOREME : Dans l es séri es récurrent es de seconde espèce, l es di v i seurs propres de U^š sont de l a f orme l i néai re p = k^› ± 1, sui vant que ^• est rési du ou non- rési du de p.

En sui vant une mar ch e anal ogue à cel l e qu e nous avons sui vi e d ans l e par agr aph e pr écédent , on obt i ent par l a c onsi dér at i on des di vi seur s de Up^œ , l e t héor è me sui vant .

THE O REM E : Il y a une série indéfinie de diviseurs premiers communs aux formes quadratiques x² – Qy² et x₁² − py₁², lorsque p designe un nombre premier de la forme 4q + 1 ; et une série indéfinie de diviseurs communs aux deux formes x² – Qy² et ^• x₁² − py₁², lorsque p désigne un nombre premier de la forme 4q + 3.

Nous appl i quer ons l es r ésul t at s qui pr écédent , aux sér i es de FI B O N A C C I

et de PE L L. Po ur l a pr e mi èr e, on a P = 1 , Q = – 1, et ^• = 5, d’ aut r e par t , on sai t ,^* que l e no mbr e 5 est r ési du de t ous l es no mbr es pr e mi er s qui sont r ési dus de 5 , et n on r ési d us de t ous l es no mbr e s pr ei mi er s i mpai r s qu i sont non -r ési dus de 5 l ui -mê me. Pa-r conséque nt :

Dans l a séri e de FI B O N A C C I, t out nombre premi er pai r, de l a f orme 10q±1, d i vi se l e t erme de rang p – 1, et t out nombre p premi er i mpai r de l a f orme 10q±3 di vi se l e t erme de ran g p + 1.

D’ ai l l eur s, l es no mbr e s 2 et 5 di vi sent r espe ct i ve me nt l es t er mes d ont l e r ang est un mul t i pl e d e 3 ou de 5.

* GAUSS. — Disquisitiones Arithmeticæ. Nos. 121, 122 et 123.

Pour l a sér i e de PE L L, P = 2, Q = – 1, ^ = 2^{2 ž} 2 ; d’ aut r e par t , on sai t que l e nombr e 2 est r ési du de t out nombr e qui n’ est pas di vi si bl e par 4, ni par aucun no mbr e pr e mi er de l a f or me 8 q + 3 ou 8q + 5, et n on -r ési du de t ous l es aut r es ; par co nséquent :

Dans l a séri e de PE L L, t out nombre premi er p de l a f orme 8q ± 1 di vi se Up – 1 , et t out no mbre p remi er p dà l a f orme 8 q ± 3 di vi se Up + 1.

Les t héor è mes que no us venons de dé mont r er condui sent à l a déc o mpo -si t i on des t er mes des sér i es r écur r ent es de seconde et de t r oi -si ème espèce, en f act eur s pr e mi er s. O n a ai nsi , par exe mpl e, d ans l a sér i e de FI B O N A C C I :

U4 1 = 16 55 80 141 = 27 89 ^ž 593 69, U5 3 = 5 33162 91 173 = 95 3 ^ž 55 9 457 4 1 U5 9 = 95 6 72 20 26041 = 35 3 ^ž 27 1 02 60697 .

Nous aj out er ons une r e mar que i mp or t ant e dont on r et r ouve l ’ or i gi ne dans l a cor r espondance de FE R M A T, mai s seul e men t pour l es séri es de pr e mi èr e es -pèce.

Soi t encor e, par exempl e, l a sér i e de FI B O N A C C I ; l es no mbr es pr e mi er s p, d es f or mes l i néai r es 20q + 13 et 20 q + 1 7, di vi sent Up + 1, et l ’ on a

p + 1 = 20q + 14 ou p + 1 = 20q + 18, et aussi

U2 0 q + 1 4 = U1 0 q + 7V1 0 q + 7 , et U2 0 q + 1 8 = U1 0 q + 9V1 0 q + 9 ;

mai s, d’ aut r e par t , l es di vi seur s de V2 n + 1 ap par t i ennent aux f or me s l i néai r es 20q + 1, 9, 11, 19 ; par conséquent , l es no mbr es pr e mi er s d e l a f or me 20q + 13 ou 20q + 1 7 di vi sent r espect i ve me nt U1 0 q + 7 et U1 0 q + 7 et d i spar ai ssent de l a sér i e des Vn qui ne cont i ent donc pas t ous l es no mbr es pr e mi er s. En ap -pl i quant ce r ai sonne ment aux sér i es de FE R M A T et de PE L L, on e n dédui t l es pr i nci pes sui va nt s :

Dans l a séri e de FI B O N A C C I, l es t ermes Vn n e cont i ennent a ucun n ombre premi er des f or mes l i n éai res 20q + 13, 20q + 17.

Dans l a séri e de FE R M A T, l es t ermes Vn n e cont i ennent aucun n ombre premi er de l a f orme 8 q + 7.

Dans l a séri e de PE L L, l es t ermes Vn ne c on t i ennent aucun nombr e pre-mi er de l a f or me 8q + 5.

Nous don nons dans l e t abl eau de l a page 2 9 9, l a déco mp osi t i on en f ac -t eur s pr e mi er s des -t er mes de l a sér i e de FI B O N A C C I, l i mi t ée aux s oi xant e pr e -mi er s t er mes.

12345678910 11121314151617181920

21222324252627282930 n

11235813213455

891442333776109871597258441816765

10946177112865746368750251 213931 964183 178115 142298 32040 un

—————2 3. —3. 2. 5.

—2 4

Ÿ 3 2

—13. 2 Ÿ 5. 3 Ÿ 7. —2 3

Ÿ 17. —3 Ÿ 5 Ÿ 11. 2 Ÿ 13. 89. —2 4

Ÿ 3 2

Ÿ7. 5 2. 233. 2 Ÿ 17. 3 Ÿ 13 Ÿ 29. —2 3Ÿ5Ÿ11Ÿ61. Div. impropres

1. 1. 2. 3. 5. —13. 7. 17. 11.

89. —233. 29. 61. 47. 1597. 19. 37 Ÿ 113. 41.

421. 199. 28657. 23. 3001. 521. 53 Ÿ 109. 281. 5 14229. 31. Div. propres

31323334353637383940

41424344454647484950

51525354555657585960 n

13 4626921 7830935 2457857 0288792 27465149 30352241 57817390 88169632 459861023 34155

1655 801412679 142964334 944377014 0873311349 0317018363 1190329712 1507348075 2697677787 420491 25862 69025

2 03650 110743 29512 800995 33162 911738 62675 7127213 95838 6244522 58514 3371736 54352 9616259 12867 2987995 67220 26041154 80087 55920 un

—3Ÿ 7 Ÿ 47. 2 Ÿ 89. 1597. 5 Ÿ 13. 2 4

Ÿ 3 3

Ÿ 17 Ÿ 19. —37 Ÿ 113. 2 Ÿ 233. 3 Ÿ 5 Ÿ 7 Ÿ 11 Ÿ 41.

—2 3

Ÿ 13 Ÿ 29 Ÿ 421. —3 Ÿ 89 Ÿ 199. 2 Ÿ 5 Ÿ 17 Ÿ 61. 28657. —2 6

Ÿ 3 2

Ÿ 7 Ÿ 23 Ÿ 47. 13. 5 2

Ÿ 11 Ÿ 3001. 2 Ÿ 1597. 3 Ÿ 233 Ÿ 521. —2 3

Ÿ 17 Ÿ 19 Ÿ53 Ÿ 109. 5 Ÿ 89. 3 Ÿ 7 2

Ÿ13 Ÿ 29 Ÿ 281. 2 Ÿ 37 Ÿ 113. 5 14229. —2 4Ÿ 3 2Ÿ 5 Ÿ 11 Ÿ 31 Ÿ 41 Ÿ 61. Diviseurs impropres

557 Ÿ 2417. 2207. 19801. 3571. 1 41961. 107. 73 Ÿ 149 Ÿ 2221. 9349. 1 35721. 2161.

2789 Ÿ 59369. 211. 4334 94437. 43 Ÿ 307. 1 09441. 139 Ÿ 461. 29712 15073. 1103. 97 Ÿ 61 68709. 101 Ÿ 151.

63 7602190481. 953 Ÿ 559 45741. 5779. 661 Ÿ 4 74541. 14503. 43 71901. 59 Ÿ 19489. 353 Ÿ 27102 60697. 2521 Diviseurs propres TABLEAU DES FACTEURS PREMIERS DE LA SERIE RECURENTE DE LEONARD DE PISE.

SECTION XXVI.

Sur la périodicité des fonctions numériques et sur la généralisation du CANON ARITHMETICUS.

Les r ésul t at s dével opp és dans l es deux sect i ons pr écédent es, cond ui sent i mmédi at e ment à l a pér i odi ci t é numér i que des f onct i ons que nous ét udi ons i ci , par l a consi dér at ion de l eur s r ési dus sui vant un modul e pr e mi er p ou sui -vant un mo dul e quel conque m. Cet t e quest i on a ét é pr ésent ée sous une f or me di f f ér ent e, et seul e me nt pour l es sér i es de p r e mi èr e espèce, par GA U S S, dans l es Di squi si t i ones Ari t hmet i cæ, sous l e no m de t héori e des i ndi ces, et déve

Les r ésul t at s dével opp és dans l es deux sect i ons pr écédent es, cond ui sent i mmédi at e ment à l a pér i odi ci t é numér i que des f onct i ons que nous ét udi ons i ci , par l a consi dér at ion de l eur s r ési dus sui vant un modul e pr e mi er p ou sui -vant un mo dul e quel conque m. Cet t e quest i on a ét é pr ésent ée sous une f or me di f f ér ent e, et seul e me nt pour l es sér i es de p r e mi èr e espèce, par GA U S S, dans l es Di squi si t i ones Ari t hmet i cæ, sous l e no m de t héori e des i ndi ces, et déve

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