2 Equations lin´ ´ eaires

(1)

Quelques rappels th´ eoriques sur les

´

equations diff´ erentielles ordinaires 1 Introduction

Le but de ces notes est de rappeler quelques résultats sur la résolution des équations différentielles ordinaires (EDO) qui sont des équations de la forme :

˙

y(t) =f(t, y(t)) dans ]a, b[, y(t0) =y0∈Rⁿ.

Dans ce problème, l’inconnue est la fonction y:]a, b[→Rⁿ alors que la fonctionf :]a, b[×Rⁿ→Rⁿ, le tempst₀ ∈]a, b[, et la donnée initialey₀ ∈Rⁿsont des données. En fait, en pratique, l’intervalle ]a, b[ sera souvent à déterminer.

Nous rappelons tout d’abord que l’EDO ci-dessus, bien que ne faisant intervenir qu’une dérivée première dey, est la forme générale des équations différentielles ; en effet, si on veut résoudre l’équation :

y⁽ⁿ⁾ =g(t, y(t),y(t),˙ y(t),¨ · · · , y⁽ⁿ⁻¹⁾(t)),

il suffit de poser Y(t) := (y(t),y(t),˙ y¨⁰(t),· · · , y⁽ⁿ⁻¹⁾(t)) qui satisfait une

´equation de la forme :

Y˙(t) =G(t, Y(t)),

avec G(t, y0, y1,· · · , yn−1) = (y1,· · · , yn−1, g(t, y0, y1,· · · , yn−1)).

Pour simplifier l’exposé, on va supposer quet0 = 0⁽¹⁾ et en résolvant sur un intervalle de la forme [0, T]⁽²⁾. Dans les cas non-linéaires, on supposera que f : [0, T]×Rⁿ → Rⁿ est une fonction continue (même si la continuité en tn’est pas vraiment nécessaire).

2 Equations lin´ ´ eaires

On r´esout, dans cette section, l’´equation :

˙

y(t) =Ay(t) dansR, y(0) =y₀ ∈Rⁿ, o`u Aest une matrice n×n.

Le r´esultat est le :

(1). ce qui n’est pas restrictif car on peut toujours s’y ramener en considérant ˜y(·) = y(t0+·), solution de l’équation avec la donnéef(t0+·,·)

(2). on pourrait r´esoudre de mani`ere analogue sur un intervalle de la forme [−T,0]

(2)

Théorème 1. Cette équation a une unique solution surR, donnée par :

y(t) := exp(tA)y0 .

Preuve : La preuve se déroule en deux temps : on vérifie d’abord que exp(tA)y0 est une solution puis on fournit un argument d’unicité.

On commence par le

Lemme 1. Si B est une matrice n×n alors la fonction : t7→exp(tB) :=

+∞

X

0

t^k k!B^k, est bien d´efinie surR, elle y est C^∞ et on a :

d

dt(exp(tB)) =Bexp(tB).

Avant de donner une courte preuve de ce lemme, nous remarquons que B et exp(tB) sont des matrices qui commutent.

Preuve du lemme :on remarque que la s´erie qui donne l’exponentielle est normalement convergente sur tout intervalle de la forme [−R, R]. En effet, si|| · || est une norme matricielle :

||t^k

k!B^k|| ≤ |t|^k

k! ||B^k|| ≤ |t|^k

k! ||B||^k ≤ R^k

k!||B||^k= (R||B||)^k

k! ,

et on reconnait le terme général de la série donnant exp(R||B||). La série dérivée terme à terme satisfaisant les mêmes propriétés, on en déduit que exp(tB) est dérivable. De plus, la dérivée de exp(tB) est la limite quandK tend vers +∞ de :

K

X

1

t^(k−1)

(k−1)!B^k =B

K

X

1

t^(k−1)

(k−1)!B^(k−1) ,

et cette limite est doncBexp(tB) par le changement d’indice ˜k=k−1.

Il en résulte immédiatement que exp(tA)y₀ est solution de l’EDO linéaire puisque sa dérivée est Aexp(tA)y₀.

Pour l’unicit´e, on calcule : d

dt(exp(−tA)y(t)) =−Aexp(−tA)y(t) + exp(−tA)y⁰(t)

=−Aexp(−tA)y(t) + exp(−tA)Ay(t)

=0,

(3)

puisqueAet exp(−tA) commutent. Donc la fonction exp(−tA)y(t) est constante et elle vaut doncy0. Il reste `a montrer que :

exp(tA) exp(−tA) =Id .

Ce résultat s’obtient soit en dérivant et en s’apercevant que la dérivée du membre de gauche est nulle (donc la fonction est constante et la valeur en 0 se calcule aisément), soit grâce à un théorème (plus général) de séries-

produit.

Remarque 1. On pourrait se demander si, quand A d´epend de t, c’est-`a- dire quand l’EDO est de la forme :

˙

y(t) =A(t)y(t) dans R, on a un r´esultat analogue en introduisantexp(Rt

0A(s)ds)`a la place deexp(tA).

Hélas, ce résultat est faux en général comme le montre l’exemple (non complètement satisfaisant) suivant : on considère deux matrices A₁ et A₁ telles que exp(A1 +A2) 6= exp(A₁) exp(A2) donc qui, en particulier, ne commutent pas. On pose alors :

A(t) =

A₂ sit∈[0,1]

A1 sit∈]1,2]

Au tempst= 2, la formule “analogue” donneraity(2) = exp(R₂

0 A(s)ds)y0 = exp(A₁+A₂)y₀mais cette formule est incorrecte car on peut résoudre l’équation linéaire sur [0,1](oùA(t) =A2 est constante) puis sur [1,2](où A(t) =A1

est constante) ; la formule correcte est donc y(2) = exp(A1) exp(A2)y0 qui est diff´erente de la premi`ere.

3 Equations non lin´ ´ eaires

Pour mettre en lumière les points importants à comprendre quant à l’existence et l’unicité des solutions, nous considérons d’abord trois exemples typiques d’EDO dans R.

• y(t) =˙ y(t),y(0) =y₀.

Il s’agit d’une équation linéaire dont la solution est donnée par : y(t) = y0exp(t). On a donc existence et unicité “globale” de la solution (c’est-à- dire pour tous temps, positifs et négatifs). Une situation idéale.

• y(t) = [y(t)]˙ ²,y(0) =y0.

On peut calculer une solution qui est donn´ee par : y(t) = y₀

1−ty0

.

(4)

La situation est un peu moins favorable car la solution n’est pas définie pour toutt∈R mais seulement si ty0 6= 1. Dans ce cas, on va avoir existence et unicité “locale” (typiquement sur un intervalle du type ]−1/|y₀|,1/|y₀|[ si y06= 0) mais pas globalement en temps car |y(t)| →+∞ quandt tend vers 1/y0. On a donc un exemple où la solution ne peut pas être prolongée à R tout entier.

• y(t) = [y(t)]˙ ^1/3, y(0) = y0 et avec y0 = 0. Dans ce dernier cas, on peut aussi calculer des solutions : par exemple,y(t) = 0 est solution mais on a aussi une autre solution de la formey(t) =ct^3/2sit >0 ety(t) = 0 sit <0.

Le résultat fondamental pour les EDO non linéaires (et même linéaires à coefficients non constants) est lethéorème de Cauchy-Lipschitzqui donne l’

“existence et l’unicit´e locale de la solution” quand la fonctionf(t, y) est “localement lipschitzienne” eny, ce qui est le cas des deux premiers exemples.

Le troisième exemple relève du théorème de Peano qui donne l’existence locale (mais pas l’unicité) quand f est seulement continue ; il montre que le caractère lipschitzien de f est surtout utile pour l’unicité.

Pour démontrer le théorème de Cauchy-Lipschitz, nous allons procéder en deux étapes : (i) le cas “globalement Lipschitz” qui sera techniquement assez simple puis (ii) l’extension au cas “localement Lipschitz”.

Nous supposons d’abord :

(GL) La fonction (t, y)7→f(t, y) est continue sur [0, T]×Rⁿet il existe une constanteL >0 telle que :

|f(t, y₁)−f(t, y₂)| ≤L|y₁−y₂|, pour toust∈[0, T] ety₁, y₂ ∈Rⁿ.

Théorème 2. (théorème de Cauchy-(globalement) Lipschitz) Sous l’hypothèse (GL), il existe une unique solution de l’EDO :

˙

y(t) = f(t, y(t)) sur [0, T], y(0) = y0∈Rⁿ.

qui est d´efinie pour tous temps, i.e. sur[0, T].

Preuve :On utilise le processus it´eratif habituel en introduisant la suite de fonctions (y_k)k≥1 d´efinie par y₁(t) =y₀ pour toutt∈[0, T] et :

y_k+1(t) =y0+ Z t

0

f(s, y_k(s))ds pourt∈[0, T].

Mais l’idée est ici de faire une estimation ponctuelle plus précise que l’estimation habituelle de la norme de y_k+1 −y_k dans l’espace C([0, T]) qui est généralement utilisée pour l’argument de point fixe.

(5)

On commence par ´ecrire : y3(t)−y2(t) =

Z t 0

(f(t, y2(s))−f(t, y1(s)))ds , ce qui donne, en utilisant l’in´egalit´e triangulaire et (GL) :

|y₃(t)−y2(t)| ≤ Z t

0

L|y₂(s)−y1(s)|ds≤Lt||y₂−y1||_∞. Puis :

y₄(t)−y₃(t) = Z t

0

(f(t, y₃(s))−f(t, y₂(s)))ds , donne, en utilisant encore une fois l’in´egalit´e triangulaire et (GL) :

|y₄(t)−y3(t)| ≤ Z t

0

L|y₃(s)−y2(s)|ds.

Mais on emploie, cette fois, l’estimation plus pr´ecise de|y₃(s)−y2(s)|:

|y₄(t)−y3(t)| ≤ Z t

0

L²s||y₂−y1||_∞ds= (Lt)²

2 ||y₂−y1||_∞.

En répétant le même argument, on prouve aisément, par récurence, que :

|y_k+1(t)−y_k(t)| ≤M(Lt)^(k−1) (k−1)! , o`u M :=||y₂−y₁||_∞.

Il en résulte immédiatement que la série de fonctions P

k≥1(yk+1−yk) est normalement convergente sur [0, T] et donc que :

y_K=

K−1

X

k=1

(y_k+1−y_k) +y₁ ,

converge uniformément vers une fonction (continue) sur [0, T] (car une dé- monstration par récurrence montre que tous les yk sont continus). En utilisant (GL), on montre facilement quef(s, y_k(s)) converge uniformément vers f(s, y(s)) et en passant à la limite dans la relation de récurrence qui définit les yk, on obtient :

y(t) =y₀+ Z t

0

f(s, y(s))ds .

Le second membre étant dérivable puisque l’intégrand est continu, y est dérivable et on retrouve l’équation en dérivant.

(6)

Pour l’unicit´e, on proc`ede par l’absurde : siy,y˜sont deux solutions, on a :

y(t)−y(t) =˜ Z t

0

(f(s, y(s))−f(s,y(s)))ds ,˜ et grˆace `a (GL) :

|y(t)−y(t)| ≤˜ Z t

0

L|y(s)−y(s)|ds .˜ En notant χ(t) := Rt

0|y(s) −y(s)|ds, on voit que˜ χ est dérivable et que l’inégalité ci-dessus équivaut à :

χ⁰(t)≤Lχ(t). De plus,χ(0) = 0.

On écrit l’inégalité ci-dessus sous la formeχ⁰(t)−Lχ(t)≤0 et on multiplie par exp(−Lt) faisant ainsi apparaitre la derivée de exp(−Lt)χ(t) qui est donc négative. Il en résulte que exp(−Lt)χ(t) ≤ χ(0) = 0 ; mais χ est une fonction positive donc χ et χ⁰ = |y−y|˜ sont identiquement nulles, ce

qui donne le r´esultat.

Pour le théorème de Cauchy-Lipschitz, on affaiblit l’hypothèse (GL) : (LL) La fonction (t, y) 7→ f(t, y) est continue sur [0, T]×Rⁿ et, pour tout 0< T⁰ < T et pour tout R >0, il existe une constante L(T⁰, R) telle que :

|f(t, y₁)−f(t, y₂)| ≤L(T⁰, R)|y₁−y₂|, pour toust∈[0, T⁰] et|y₁|,|y₂| ≤R.

Théorème 3. (théorème de Cauchy-(localement) Lipschitz)

Sous l’hypoth`ese (LL), il existe 0 < τ ≤ T tel que l’EDO ait une unique solution sur l’intervalle[0, τ].

Preuve : On note B(y₀, R) la boule de centre y₀ et de rayon R et on introduit une fonction C^∞ `a support compact ϕ: Rⁿ → R qui vaut 1 sur B(y0,1) et 0 en dehors deB(y0,2).

Pour tout 0 < T⁰ < T, on v´erifie facilement⁽³⁾ que ˜f := ϕ(y)f(t, y) satisfait (GL) sur [0, T⁰]×Rⁿ et donc l’EDO :

˙

y(t) = ˜f(t, y(t)) dans ]0, T⁰], y(0) =y₀ ∈Rⁿ,

a une unique solution d´efinie sur [0, T⁰]. Mais la fonction y est continue et donc il existe 0< τ ≤T⁰ tel quey(t)∈B(y0,1) sit∈[0, τ].

(3). Le faire !

(7)

Comme ˜f(t, y) =f(t, y) sur [0, T⁰]×B(y0,1), la fonction y est solution de l’EDO initiale (avecf) sur [0, τ]. D’o`u l’existence.

Pour l’unicité, si y et ˜y sont deux solutions définies respectivement sur [0, τ] et [0,τ˜], on raisonne sur le plus petit intervalle [0,min(τ, τ⁰)]. Sur cet intervalle, y et ˜y sont bornés et donc on reste dans une boule fixe de Rⁿ où f est lipschitzienne (en diminuant éventuellement le temps min(τ, τ⁰) pour qu’il soit strictement inférieur àT). L’argument du théorème précédent

s’applique alors.

Remarque 2. Il est à noter que cette méthode de résolution permet de traiter des cas où l’hypothèse ”localement lipschitzienne” est encore plus générale car il suffit que f satisfasse cette hypothèse dans un voisinage de y₀ puisque l’on “tronque” f en dehors de ce voisinage. Par exemple, dans R, on peut résoudre localement l’équation :

y⁰(t) = 1 y(t) ,

`

a condition quey0 ne soit pas nul.

Nous nous int´eressons maintenant `a la question de l’existence sur un intervalle de temps maximal.

Théorème 4. Sous l’hypothèse (LL), ou bien la solution y de l’EDO est définie pour tout t ∈ [0, T], ou bien il existe τmax ≤ T tel que y est défini sur [0, τ_max[ et|y(t)| →+∞ quand t↑τ_max⁻ .

Ce théorème montre que le deuxième exemple présenté ci-dessus est ty- pique d’une situation d’existence locale qui n’est pas globale car on a toujours “explosion” de la solution au temps maximal d’existence (τ_max). Il est

`

a noter qu’il est aussi valable dans le cas où T = +∞ (en modifiant tres légèrement l’énoncé).

Preuve : Nous allons formuler un certain nombre de lemmes d’un intérêt indépendant.

Lemme 2. (Minoration du temps d’existence)

Pour tout R > 0, il existe 0 < τ_R < T tel que, si y₀ ∈ B(0, R), alors la solution y de l’EDO existe sur l’intervalle [0, τ_R].

Preuve :Cette propriété résulte immédiatement de la preuve d’existence à condition de la remanier de la manière suivante : on introduit une fonction C^∞ à support compactϕ:Rⁿ →R qui vaut 1 surB(0,2R) et 0 en dehors de B(0,3R) et on résout l’EDO avec ˜f(t, y) =ϕ(y)f(t, y).

Comme dans la preuve du théorème de Cauchy-Lipschitz, tant quey(t)∈ B(0,2R), on résout l’EDO initiale avecf. De plus, si on suppose quet≤T /2, on a aussi :

|f(t, y(t))| ≤M2R:= max

[0,T /2]×B(0,2R)

|f(t, y)|.

(8)

Commey0∈B(0, R), on a :

|y(t)−y0| ≤M2Rt .

Ceci implique quey(t) reste dans B(0,2R) pour un temps au moins égal à τR=R/M2R(en fait, à min(R/M2R, T /2) puisqu’on a supposé quet≤T /2).

Lemme 3. (Recollement de trajectoires)

On suppose que la solution y de l’EDO existe sur l’intervalle [0, τ] et, pour un temps t₀∈]0, τ], on r´esout l’´equation :

˙

z(t) = f(t, z(t)) dans]t₀, T[, z(t0) = y(t0).

On suppose que la solutionz existe sur l’intervalle [t0, τ⁰]. Alors la fonction

˜

y d´efinie sur [0, τ⁰] par :

˜ y(t) =

y(t) si t∈[0, t₀], z(t) sit∈[t0, τ⁰], , est solution de l’EDO sur[0, τ⁰].

Evidemment ce lemme n’est int´´ eressant que siτ⁰ > τ : il montre que l’on peut ´eventuellement “prolonger” un peu le temps d’existence en repartant d’un pointy(t₀) o`ut₀ est proche deτ.

Preuve : La double difficulté de la dérivabilité de ˜y et de la résolution de l’équation se résout simplement en utilisant la version intégrale : d’une part, il n’y a pas de problème sit≤t₀ et d’autre part, sit > t₀ :

˜

y(t) =˜y(t₀) + Z t

t0

f(s,y(s))ds˜

=y0+ Z t0

0

f(s,y(s))ds˜ + Z t

t0

f(s,y(s))ds .˜

En effet, sur chacun des intervalles [0, t0] et [t0, τ⁰], y et z sont donn´es par ces formules int´egrales et co¨ıncident avec ˜y. La relation de Chasles et la

continuit´e de ˜y permettent de conclure.

Pour terminer la preuve du th´eor`eme, on introduit :

τ_max:= sup{τ ∈[0, T] ; il existe une solution définie sur [0, τ]}. Siτ_max=T alors la solution est définie sur [0, τ] pour toutτ < T et l’unicité montre que les solutions correspondantes co¨ıncident sur l’intersection de

(9)

deux intervalles de la forme [0, τ] et [0, τ⁰]. Doncyest bien d´efinie et unique sur [0, T[.

Siτ_max < T alors il existe une trajectoirey définie sur [0, τ_max−ε] pour tout ε >0. Soit R > 0. Si y(τmax−ε) appartenait à B(0, R), on a vu que l’on pouvait résoudre l’équation sur un intervalle de tempsτRne dépendant que deR: en utilisant le Lemme 3, la trajectoireypourrait être prolongée à [0, τmax−ε+τR]. Siεest assez petit, on auraitτmax−ε+τR> τmax, ce qui contredirait la définition deτmax. Donc nécessairementy(t)∈/B(0, R) pour t proche de τ_max, ce qui est la définition du fait que |y(t)| → +∞ quand

t↑τ_max⁻ .

Se pose maintenant la question : quand a-t-onτ_max =T? La r´eponse est la suivante : on peut toujours le faire sif est sous-lin´eaire, i.e. sif satisfait : (CSL) Il existeK >0 tel que :

|f(t, y)| ≤K(1 +|y|), pour toutt∈[0, T] ety∈R.

Le r´esultat est le :

Th´eor`eme 5. On suppose que f satisfait (LL) et (CSL). Alors la solution y existe sur [0, T[.

Ce théorème termine la boucle d’existence et d’unicité en montrant la différence essentielle entre les cas f(y) =y etf(y) =y².

Preuve :L’objectif est d’estimer la norme deyet pour cela on introduit la fonctionψ:Rⁿ→Rⁿ d´efinie par :

ψ(y) = (1 +|y|²)^1/2 .

Il est `a noter que ψ est une fonction de classeC¹ sur Rⁿ et que :

Dψ(y) = y

(1 +|y|²)^1/2 . On a donc :

|Dψ(y)|= |y|

(1 +|y|²)^1/2 ≤ |y|

(|y|²)^1/2 = 1. On calcule, pourt∈[0, τ_max] :

d

dt[ψ(y(t))] =Dψ(y(t))·y⁰(t) =Dψ(y(t))·f(t, y(t)).

On va noter χ(t) :=ψ(y(t)) et on remarque que, par l’inégalité de Cauchy- Schwarz (utilisée de deux manières différentes) et (CSL) :

≤K(1 +|y(t)|)

≤K√

2(1 +|y(t)|²)^1/2 = ˜Kχ(t).

(10)

Il en r´esulte que :

χ⁰(t)≤Kχ(t)˜ .

Comme dans la preuve de l’unicité pour l’EDO, on réécrit cette inégalité comme χ⁰(t)−Kχ(t)˜ ≤0, on multiplie par exp(−Kt) et on obtient que la˜ fonctiont7→exp(−Kt)χ(t) est d´˜ ecroissante. En particulier :

(1 +|y(t)|²)^1/2=χ(t)≤exp( ˜Kt)χ(0) = exp( ˜Kt)(1 +|y₀|²)^1/2 . Cette borne sur la solution empêche tout phénomène d’explosion et montre

donc queτ_max =T.

Nous avons utilisé à plusieurs reprises des formes simplifiées d’un résultat général que nous énon¸cons maintenant :

Lemme 4. (Lemme de Gronwall)

Si χ: [0, T]→R est une fonction continue qui satisfait : χ(t)≤

Z t 0

χ(s)ψ(s)ds+r(t), o`u ψ≥0 et r sont aussi des fonctions continues alors :

χ(t)≤ Z _t

0

r(s)ψ(s) exp Z t

s

ψ(τ)dτ

ds+r(t). Id´ee de preuve : on pose f(t) =Rt

0χ(s)ψ(s)ds. En multipliant l’inégalité satisfaite par χparψ(t), on aboutit à :

f⁰(t)≤ψ(t)f(t) +r(t)ψ(t), et on laisse la suite `a la libre imagination du lecteur...

NB :une estimation def donne une estimation deχpuisqueχ(t)≤f(t) + r(t).

3.1 Effets des perturbations

Pour diverses raisons, théoriques et numériques, il est important de me- surer l’effet des perturbations sur l’EDO : erreurs sur les données ou erreurs d’arrondi, incertitudes sur le modèle...etc. Cette section va montrer comment ces perturbations se transmettent au cours du temps, soit par une estimation

“grossière” qui utilisera un outil fondamental de l’étude des EDO, lelemme de Gronwallénoncé ci-dessus, soit par une approche un peu plus précise, la linéarisation.

On consid`ere maintenant la solution y_ε de l’EDO perturb´ee :

˙

yε(t) =f(t, yε(t)) +ε1g(t) dans ]0, T[,

(11)

auquel on associe une condition initiale perturb´ee : y_ε(0) =y₀+ε₀α ,

oùε= (ε₀, ε₁),ε₀, ε₁étant des paramètres petits,gest une fonction continue etα∈Rⁿ.

Pour simplifier, on se place dans le cas de l’hypothèse (GL) et comme conséquence, ce problème admet, bien sûr, une solution par le théorème de Cauchy-(globalement) Lipschitz. On note y la solution du problème non perturbé.

Le résultat sur les perturbations est le : Théorème 6. Pour toutt∈[0, T], on a :

|y_ε(t)−y(t)| ≤ |ε₀α|exp(Lt) + Z t

0

exp(L(t−s))|ε₁g(s)|ds .

De plus, si f(t, y) est de classe C¹ en y sur Rⁿ pour tout t ∈ [0, T] et si la dérivée (partielle) par rapport à la variable y, D_yf(t, y), est une fonction continue de tet y, alors :

|y_ε(t)−y(t)−ε₀z₀(t)−ε₁z₁(t)|=o(ε₀) +o(ε₁), où les correcteurs z₀,z₁ satisfont les équations linéarisées:

z˙₀(t) = D_yf(t, y(t))z₀(t)

z0(0) = α et

z˙₁(t) = D_yf(t, y(t))z₁(t) +g(t) z1(0) = 0.

Preuve : Pour le premier r´esultat, on choisitδ >0 petit et on pose : χ(t) = (|y_ε(t)−y(t)|²+δ)^1/2 .

On s’intéresse aux propriétés de cette fonction où l’on a omis la dépendance en δ pour simplifier les notations. On a clairement :

χ(t)≥ |y_ε(t)−y(t)| pour toust ,

et par des arguments analogues à ceux utilisés dans la preuve du théorème 5 :

˙

χ(t) = 1

χ(t)(y_ε(t)−y(t))·(f(t, y_ε(t)) +ε₁g(t)−f(t, y(t)))

≤ 1

χ(t)|y_ε(t)−y(t)|(|f(t, y_ε(t))−f(t, y(t))|+ε₁|g(t)|)

≤ 1

χ(t)|y_ε(t)−y(t)|(L|y_ε(t)−y(t)|+ε1|g(t)|)

≤ Lχ(t) +ε1|g(t)|.

(12)

On se retrouve dans une situation quasi-analogue à celle de preuve du théorème 5 : cette inégalité implique :

(exp(−Lt)χ(t))⁰ ≤ε₁exp(−Lt)|g(t)|,

et il suffit d’int´egrer de 0 `a tpuis de multiplier par exp(Lt) pour obtenir : χ(t)≤exp(Lt)χ(0) +

Z t 0

ε1exp(L(t−s))|g(s)|ds . Et on conclut en faisant tendreδ vers 0.

Pour la seconde partie du résultat, on remarque d’abord que les solutions z0, z1 des équations linéarisées existent en vertu du théorème de Cauchy-(globalement) Lipschitz : ces équations sont linéaires mais, comme Dyf(t, y(t)) est une fonction qui dépend du temps, la remarque 1 montre que l’on n’a pas de formule explicite “simple” pour résoudre ces équations et l’emploi du théorème de Cauchy-(globalement) Lipschitz est nécessaire pour obtenir l’existence et l’unicité de ces solutions.

On introduit la fonction

φ(t) =y_ε(t)−y(t)−ε₀z₀(t)−ε₁z₁(t), et on calcule :

φ⁰(t) =y⁰_ε(t)−y⁰(t)−ε₀z⁰₀(t)−ε₁z₁⁰(t),

=f(t, y_ε(t)) +ε₁g(t)−f(t, y(t))−ε₀D_yf(t, y(t))z₀(t)

−ε₁D_yf(t, y(t))z₁(t)−ε₁g(t)

On écrit alors que la fonctionλ7→f(t, y₁+λ(y₂−y₁)) est l’intégrale de sa dérivée, ce qui donne :

f(t, y₂) =f(t, y₁) Z 1

0

D_yf(t, y₁+λ(y₂−y₁))·(y₂−y₁)dλ , que l’on r´e´ecrit sous la forme :

f(t, y₂) =f(t, y₁) +D_yf(t, y₁)·(y₂−y₁)+

Z 1 0

[D_yf(t, y₁+λ(y₂−y₁))−D_yf(t, y₁)]·(y₂−y₁)dλ . On l’utilise avecy2 =yε(t) et y1 =y(t), ce qui donne :

f(t, y_ε(t)) =f(t, y(t)) +D_yf(t, y(t))·(y_ε(t)−y(t)) + le terme de reste o`u le terme de reste est :

Z 1 0

[Dyf(t, y(t) +λ(yε(t)−y(t)))−Dyf(t, y(t))]·(yε(t)−y(t))dλ .

(13)

On examine le terme de reste en prenant en compte la première partie du résultat : comme on a|y_ε(t)−y(t)|=O(ε0) +O(ε1) où lesO sont uniformes en temps, on a :

|[y(t) +λ(y_ε(t)−y(t))]−y(t)| ≤O(ε₀) +O(ε₁),

et par l’uniforme continuit´e deDyf sur le compact [0, T]×B(0, R) pourR assez grand afin que les trajectoires y_ε, y soient incluses dans B(0, R) (cf.

th´eor`eme 5), on a :

|D_yf(t, y(t) +λ(yε(t)−y(t)))−Dyf(t, y(t))| ≤oε0,ε1(1),

o`u le oε0,ε1(1) est uniforme en t et λ. Finalement le terme de reste est un o(ε₀) +o(ε₁) uniforme en t.

Comme :

φ⁰(t) =f(t, y_ε(t))−f(t, y(t))−ε₀D_yf(t, y(t))z₀(t)−ε₁D_yf(t, y(t))z₁(t), et :

f(t, y_ε(t)) =f(t, y(t)) +D_yf(t, y(t))·(y_ε(t)−y(t)) +o(ε₀) +o(ε₁) il en r´esulte que :

φ⁰(t) =Dyf(t, y(t))·φ(t) +o(ε0) +o(ε1), et il existe donc M >0 tel que :

|φ⁰(t)| ≤M|φ(t)|+o(ε0) +o(ε1). Comme :

|φ(t)|=| Z t

0

φ⁰(s)ds| ≤ Z t

0

|φ⁰(s)|ds , un argument de type Gronwall permet d’estimer χ(t) := Rt

0|φ⁰(s)|ds et on obtient queφ(t) =o(ε0) +o(ε1), ce qui est le r´esultat annonc´e.

Remarque 3. Régularité de la solution en fonction de la donnée initiale : comme cas particulier du théorème 6 (ou plutôt de sa preuve), on a la régularité de la solution de l’EDO en fonction de la donnée initiale.

Si on note Y(t, y0) la solution de cette EDO, faisant apparaˆıtre ainsi la dépendance eny₀, on voit que Y est de classeC¹ eny₀ sif est de classeC¹ eny (au sens du théorème 6) et Dy0Y(t, y0) est la solution de l’équation :

˙

z0(t) =Dyf(t, Y(t, y0))z0(t) , z0(0) =Id .

(14)

4 A propos du th´ ` eor` eme de Peano

On va utiliser ici le :

Théorème 7. (théorème d’Ascoli) Soit K un compact de Rⁿ. Toute famille de fonctions continues surK qui est équibornée et équicontinue est relativement compacte dans l’espace des fonctions continues surK muni de la topologie de la convergence uniforme. Autrement dit, de toute suite de fonctions continues qui sont équibornées et équicontinues sur K, on peut extraire une sous-suite qui converge uniformément.

Quelques remarques sur ce théorème. CommeKest compact, toute fonction continue surK est uniformément continue et pour une telle fonction f

`

a valeurs dans (pour simplifier)R^p, on peut d´efinir unmodule de continuit´e ω_f :R⁺ →R qui satisfait :

ωf(t)→0 quand t↓0, et :

||f(x)−f(y)|| ≤ωf(|x−y|),

pour tousx, y∈K, o`u|| · ||,| · |d´esignent les normes surR^p etRⁿ respectivement. On peut aussi supposer que ω_f est une fonction croissante.

NB 1 :le module de continuité standard pour une fonctionf uniformément continue est donné par :

ωf(t) = sup

|x−y|≤t

||f(x)−f(y)||,

et on pourra vérifier que cette expression satisfait toutes les propriétés

´enonc´ees ci-dessus.

NB 2 : Le module de continuité apparaˆıt naturellement dans la définition des fonctions lipschitziennes (ω_f(t) =Ctpour une certaine constanteC) ou höldériennes (ω_f(t) =Ct^α pour unα∈]0,1[ et une certaine constanteC).

Une suite (f_k)_k de fonctions continues surK est équicontinue s’il existe un module de continuité commun à tous lesfk, c’est-à-dire si on peut choisir ω_f_k indépendant de k. Les f_k sont équibornées s’il existe une constante M telle que, pour toutek et pour toutx∈K :

||f_k(x)|| ≤M . Théorème 8. (théorème de Peano)

Si la fonction(t, y)7→f(t, y)est continue sur[0, T]×Rⁿ, il existe0< τ ≤T tel que l’EDO ait au moins une solution sur l’intervalle [0, τ].

(15)

Preuve : Le lecteur un tant soit peu attentif aura remarqué que l’on peut supposer quef est uniformément borné, par le même argument qui permet de passer du cas globalement Lipschitz au cas localement Lipschitz.

On va introduire un schéma d’Euler comme pour résoudre numériquement l’EDO : pour N ∈ N grand, on va se donner des points ti = îT_N et on va construire une fonction affine par morceau y_N : [0, T]→ Rⁿ de la manière suivante :

yN(0) =y0

y_N(t_i+1) =y_N(t_i) + ∆tf(t_i, y_N(t_i)), o`u ∆t= _N^T est la valeur commune des tj+1−tj.

Cette proc´edure permet de calculer chaque y_N(t_i) pour i= 1,2,· · · , N et ensuite sit∈[t_i, t_i+1] :

y_N(t_i+1) =y_N(t_i) + (t−t_i)f(t_i, y_N(t_i)).

Il s’agit maintenant de prouver que la suite (yN)N est constitu´ee de fonctions

équibornées et équicontinues sur [0, T].

Commef est born´ee, on voit que, si on note M :=||f||_∞, on a :

≤|y_N(ti)|+ ∆tM

et on en d´eduit que|y_N(t_i+1)| ≤ |y₀|+ (i+ 1)∆tM. Il en r´esulte facilement que :

|y_N(t)| ≤ |y₀|+T M . Ce qui montre que lesy_N sont ´equiborn´ees.

Sur chaque intervalle [ti, ti+1],yN satisfait :

|y_N(t)−y_N(s)|=|(t−s)f(t_i, y_N(t_i))| ≤M|t−s|.

Cette inégalité s’étend à tous t, s∈[0, T] en écrivant si (par exemple) ti ≤ t < t_i+1<· · ·< t_j ≤s < t_j+1

|y_N(t)−yN(s)|=|(y_N(t)−yN(ti+1)) + (yN(ti+1)−yN(ti+2)) +· · · + (yN(tj)−yN(s))|

≤M|t−t_i+1|+M|t_i+1−t_i+2|+· · ·+M|t_j−s|

=−M(t−t_i+1)−M(t_i+1−t_i+2)− · · · −M(t_j−s)

≤ −M(t−s) =M|t−s|

Ce qui montre que lesyN sont équicontinues (et même équi-lipschitziennes).

Avant d’extraire une sous-suite et de passer `a la limite, on remarque que, pour toutt∈[0, T] :

yN(t) =yN(0) + Z t

0

f(s, yN(s))ds+o(1),

(16)

o`u le o(1) est uniforme entetN.

Pour s’en convaincre, on consid`ere la situation sur chaque intervalle : si t∈[t_i, t_i+1], on a :

yN(t) =yN(ti) + (t−ti)f(ti, yN(ti))

=yN(ti) + Z t

ti

f(ti, yN(ti))ds

=y_N(t_i) + Z t

ti

f(s, y_N(s))ds

− Z t

ti

f(s, yN(s))ds− Z t

ti

f(ti, yN(ti))ds

, et on doit estimer l’erreur :

| Z _t

ti

f(s, y_N(s))ds− Z _t

ti

f(t_i, y_N(t_i))ds|=| Z _t

ti

Z t ti

ω_f(|s−t_i|+|y_N(s)−y_N(t_i)|)ds .

Or on peut choisir le module de continuit´e croissant et en tenant compte du fait que|s−t_i|+|y_N(s)−y_N(t_i)| ≤(1 +M)∆t, on en d´eduit une erreur en

∆tωf((1 +M)∆t).

Il reste à accumuler les erreurs commises sur chaque intervalle pour obtenir le résultat annoncé, le o(1) étant estimé par ω_f((1 +M)∆t).

En utilisant le théorème d’Ascoli, il existe une sous-suite (yN⁰)N⁰ qui converge uniformément sur [0, T] vers une fonction continuey. Par passage

`

a la limite dans l’´egalit´e :

y_N⁰(t) =y_N⁰(0) + Z t

0

f(s, y_N⁰(s))ds+o(1),

en utilisant le fait que f(s, y_N⁰(s)) converge uniformément vers f(s, y(s)) grâce à l’uniforme continuité de f, on obtient :

y(t) =y0+ Z t

0

f(s, y(s))ds ,

et doncy est bien la solution de l’EDO.

Remarque 4. Une autre preuve (peut-être un peu plus simple) du théorème de Peano consiste à procéder par régularisation de la fonction f : en sup- posant toujours f borné, on peut construire, via un argument standard de

(17)

convolution, une suite (fε)e de fonctions localement lipschitziennes (et uni- formément bornées) qui converge localement uniformément versf. On résout alors :

˙

yε(t) =fε(t, yε(t)) , yε(0) =y0 ,

et il suffit d’appliquer le théorème d’Ascoli à la suite(yε)ε, ce qui ne présente pas de difficulté puisque les fε sont uniformément bornés.

Exercice 1. Pour ceux qui se sentent bien `a l’aise avec toutes les notions... Soit f :Rⁿ →R une fonction de classeC² et soient a < b deux r´eels. On suppose que l’ensemble :

K :={x∈Rⁿ : a≤f(x)≤b},

est compact et queDf(x)6= 0surK. Montrer que les ensembles{x: f(x) = a} et{x: f(x) =b} sont diff´eomorphes.

Indications : on pourra r´esoudre l’EDO : X(t, x) =˙ Df(X(t, x))

|Df(X(t, x))|² , X(0, x) =x∈ {x: f(x) =a}.

Il s’agit de montrer qu’il y a existence locale, puis de calculer f(X(x, t)) et montrer que le flot existe jusqu’au tempsτ :=b−aet de voir quex7→X(τ, x) est le diff´eomorphisme cherch´e.