ECOLES de TRAVAUX PUBLICS 1’ETAT:

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ECOLES de TRAVAUX PUBLICS 1’ETAT:

Math

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227

1991

1/2

MINIST~RE DE

L’EQUIPEMENT,

DU LOGEMENT, DEUXIEME COMPOSITION DE MATHEMATIQUES

Tmps accardé : 4 heures DES

TRANSPORTS

ET DE LA MER

E.I.T.P.E. 1991

Soit n

E W,

n

2

2. On note

M,

l’espace vectoriel réel des matrices carrées d’ordre n, à coefficients dans

IR;

Pour A dans M , , A

=

(aij), on définit sa trace tr(A)

= cai,i.

^{On note}^{S n}l’ensemble des matrices de

M,

symétriques

.

On considère d’autre part l’espace

R”

identifié selon l’usage à M,,l(R), muni de son produit scalaire canonique défini par: (X,Y)

=

‘ X . Y où, selon l’usage on note de la même façon l’élément X

=

^(21,.

. .

^,2,) de

R”

et la matrice unicolonne: X

=

O, désigne la matrice nulle de

M,

et 1, sa matrice unité.

n

i= 1

Enfin, pour A

ES,,,

on note QA et BA les applications définies par: QA(X)

=

‘ X - A - X , BA(X,Y)

=

‘ X * A * Y , pour X et Y dans

R”.

Prcnii&ro partie

1. Rappeler brièvement pourquoi S, est un espace vectoriel sur

R,

et en préciser la dimension.

2. Montrer que la relation définie sur

S n

par:

M 5 N

si et seulement si pour tout X

E R”

on a:‘X. M

.

X

- <

‘ X - N - X est une relation d’ordre sur

6,.

et son minimum en fonction des valeurs propres de A.

3. Soit A

E

Sn. Montrer que l’ensemble {‘X ⁺A

-

^{X /X}^E

^IRn,

^IlX(l

⁼

¹⁾est borné, et déterminer son maximum 4. Pour A E S , , o n n o t e N ( A ) = s u p { I I X . A . X I /XEIR”,llXll= 1).

(i) Pour A dans S,, soit Sp(A) l’ensemble de sea valeurs propres dans

R,

et p(A) le maximum des valeurs (ii) Montrer que

n’

est une norme sur Sn.

(iii) Montrer que pour A dans

S n

on a pour tous X et Y dans

IR”:

absolues des Cléments de Sp(A). Montrer que N ( A )

=

p(A).

IBA(X,

5 N(A)

^*

llxll . llyll

(lu) En déduire que: n’(A)

= m a {

IBA(X,Y)I

/

(X,Y)

E

(u) Montrer que pour A dans S, et tout

k

dans

M,

A’ est dans S, et qu’on a: n’(Ak)

=

(ui) Montrer que pour A dans

S ,

et r dans

R+,

on a:

llxll= llyll=

1 ) .

n’(A)

5 r -r

^*^In

5 A 5

r . In

(<

désigne la relation d’ordre définie en 2.)

5.

POU M E M,, on

pose

N’(M) = SUP {llM - XII /

^X

^E ^R”,

llXll= 1).

(i) Justifier brièvement que

N‘, ainsi

définie,

est

une norme sur

M,

telle que pour toutes

M

et

N

dans

M,

(ai) Pour

M E M,,

prouver que A

= ‘M . ^M

^{est dans}

^{S n}

^{et O,}

⁵

^A.Montrer que

M

et A ont le même rang,

on

a:

N ’ ( M -

^N)

et comparer N ( A ) et N ’ ( M ) .

N’( M) - ^N’( ^N).

6. Soit (Ak)kEH une suite de matrices de Sn, croissante: c’est-Cdiie que pour tout

k E N

on a: A&

5

A&+l.

Montrer qu’une telle suite converge dam

M , (muni

d’une norme à préciser),

si

et seulement

si, il

existe M dans

S n

telle que pour tout

k E N

on

ait M, la

limite de cette suite étant alors dans S,.

7. Soient A dans

Sn,

r

=

N(A), et

z

dans

HI.

(i) Montrer que la série

zz’ ^.

^A‘ converge dam S n (normé également par une norme à préciser),

si

et

k>O

---

seulement si Ir

-

^tl

<

1.

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(2)

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1991

2/2 Math

2

(ii)

Dans

le cas OÙ cette série converge, on note SA(Z) sa somme; prouver alors que (1,

-

^z

.

A) est inversible et préciser son inverse en fonction de SA(Z).

Le polynôme caractéristique de

A

sera noté

PA.

,

si ^test différent de O. Quelle est la valeur de 1

(:)

Montrer que tr (SA(Z))

=

^tr(Ak)zk

= -

I L 0

(k)

tr (SA(())) ?

(iii) Application: soient a et b dans

R,

expliciter N(A) et SA(Z) pour A

=

( a i j ) dans

M,,

où pour tous i et j dans (1,.

. .

^,n}:^ai,i

=

^Oet pour i

#

j ai,j

=

b.

Les

calculs seront effectués en posant a

=

a

-

^b^et

P =

a

+

⁽ⁿ

-

¹⁾

.

^b. On exprimera SA(I) en fonction de 2 , a,

P,

^In,

A. Deuxihxne

partie

Dans

cette partie, on s'interesse à des propriétés particulières des matrices des sous-ensembles de Sn, notées S$ et S$+, définis par:

S i

= {

M

E

S,

/

O,,

5 M}

(toujours avec

5

définie dans 2.) S i +

= { M E

S i

/

^(VX

^E ^R"),

^(X

#

O =$ 'X

- ^M

^*^X

^>

^O)}

8. Soit

A

E Sn, et SpfA) l'ensemble de ses valeurs propres dans

R.

(i) Montrer que:

A

E S$ si et seulement

si

Sp(A) C

R+.

(ii) Montrer que: A

E

S$+ si et seulement

si

Sp(A) C

R;.

O. Soit

A

dans

Mn.

(i) Montrer que

A

est dans S i

si

et seulement si il existe

M

dans

M,

telle que

A =

^'M^*

M.

(ii) Montrer que A est dans S,?+ si et seulement si il existe M dans

M,,

avec det(M)

#

O, telle que

A = 'M.M.

10. Soient

A

et

A'

dans S:.

(i) Montrer que tr(A

-

^A')

²

^O,et, lorsque

A

et

A'

sont dans S$+, alors tr(A

-

^A!)

>

O.

(Pour

les

questions (ii) et (iii) qui suivent, on distinguera les cas det(A) = O et det(A)

>

O, et, dans ce dernier

CU, on pourra avoir recours à une base orthonormale pour le produit scalaire défini par A.) (ii) On suppose que

A 5 A',

montrer que det(A)

5

det(A').

(iii) Montrer qu'en général det(A

+

^A')

2

det(A)

+

det(A'). Préciser dans quel cas on a égalité.

11.

On

considère

A =

( a i j ) et

U = ( w j )

tous

l a

deux dans S:.

On

définit C

E Mn

de la manière suivante: pour tous i , j le coefficient d'indice ( i , j ) de C vaut: ^{C i j}

=

^{a i j}

-

^{U i j .}

Montrer que

C

E S:, et que dans

le

cas où

A

et

U

sont dans S:+ alors

C

est aussi dans S$+. (On pourra encore utiliser une base convenable.)

12. Soit

A

dans

S i

et t dans

N ' ;

montrer qu'il existe une unique matrice 0 dans S$ telle que

A =

0'.

13. Soit

A

dans

S i

telle que

A 5 1,. On

définit la suite

MI)^^^

1

MO

=

O,,

et

pour

k

E

N I MI+^= -

2

-

^(1,

- A +

M i ) . Montrer que

(MI)

converge vera une certaine matrice L de S: telle que L

(On

pourra encore

choisir

une base convenable.) In et vérifiant: (1,

- ^1)' = A.

14. Soient

A

et

B

dans S:, et

mit M =

A

- ^B.

(i) Montrer que

M

a toutes a s valeurs proprea dans

W.

(ii) Montrer que si de

plue A E

St+ alors

M est

diagonalisable.

FIN

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