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αz+βz

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Academic year: 2021

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(1)www.elmerouani.jimdo.com. Solution de l’exercice 1.3 page : 14 1)Soit F={(x,y,z,t)Єℝ4/x+y+z+t} On a F⊂ ℝ4 (par définition) F≠∅ car (0,0,0,0)Є F. lM ®E. Soient (x,y,z,t) et (x’,y,z’,t’)ЄF et βЄℝ On montre que :. α(x,y,z,t)+β(x’+y’+z’+t’)ЄF. α(x,y,z,t)+ β(x’+y’+z’+t’)=( αx, αy, αz, αt)+(βx’, βy’, βz’, βt’) =(αx+βx’, αy+βy ; αz+βz ; αt+βt). ero. On a αx+βx’+αy+βy’ +αz+βz’ +αt+βt’ •. Α(x,y,z,t)+ β(x’,y’,z’,t’)=0 car (x,y,z,t)Є F et (x’,y’,z’,t’) Є F. 2)-. ua. Donc F est un sous espace vectoriel.. T=-y-z-x. ni. Soient (x,y,z,t)ЄF ⇒ x+y+z+t=0. (x,y,z,t)=(x,y,z,-x,-y-z)=x(1,0,0-1)+y(0,1,0,-1)+z(0,0,1,-1). FP. Donc {(1,0,0-1) ; (0,1,0,-1) ; (0,0,1,-1)} est une famille génératrice ; Montrons qu’elles est libre soient : α₁ ,α₂, tel que :. α₁(1,0,0-1) +α₂(0,1,0,-1)+α₃(0,0,1,-1) ⇒(α₁,α₂,α₃, -α₁,-α₂,-α₃,) =(0,0,0,0) ⇒ α₁ =α₂ =α₃=0. Te. Donc {(1,0,0-1) ; (0,1,0,-1) ; (0,0,1,-1)} est libre et par suit elle est une base de F est dimension F =3.. tou an.

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