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Preprint submitted on 27 May 2021
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λ-quiddité sur Z [α] avec α transcendant
Flavien Mabilat
To cite this version:
Flavien Mabilat.
λ-quiddité surZ[α]avec
αtranscendant. 2021. �hal-02999936v2�
FLAVIEN MABILAT
Résumé. Dans le cadre de l'étude des frises de Coxeter, M.Cuntz a introduit la notion deλ-quiddité irréductible. L'objectif de cette note est de lister toutes lesλ-quiddités irréductibles sur l'anneauZ[α]dans le cas oùαest un nombre complexe transcendant.
Toute connaissance est une réponse à une question.
Gaston Bachelard, La formation de l'esprit scientique 1. Introduction
Les frises de Coxeter sont des objets mathématiques qui possèdent des appli- cations dans de nombreux domaines (voir [8]). En particulier, il existe des liens importants entre les frises de Coxeter et les matrices de la forme
x −1
1 0
. Cela conduit à l'étude de l'équation matricielle suivante :
(E˜) Mn(a1, . . . , an) =
an −1
1 0
· · ·
a1 −1
1 0
=−Id
où (a1, . . . , an) ∈ Cn. En eet, les solutions de cette équation permettent de construire des frises de Coxeter, et, à partir d'une frise de Coxeter, on peut obtenir une solution de (E˜) (voir [1] et [5] proposition 2.4). Cette équation se généralise naturellement sous la forme ci-dessous :
(E) Mn(a1, . . . , an) =±Id.
Les solutions de cette équation sont appeléesλ-quiddités. An d'étudier ces solu- tions on introduit une notion d'irréductibilité dénie grâce à une opération sur les n-uplets (voir [4] et la section suivante). On cherche alors à connaître lesλ-quiddités irréductibles sur certaines sous-partiesAdeCc'est-à-dire à faire la liste de tous les n-uplets d'éléments deAsolutions irréductibles de (E). M.Cuntz a identié toutes lesλ-quiddités irréductibles sur Z([5] Théorème 6.2) et surN (voir [4] Théorème 3.1) et V.Ovsienko a résolu l'équation (E) surN∗ (voir [11] Théorème 2). On peut alors se demander si on peut trouver toutes les solutions irréductibles de (E) pour d'autres sous-ensembles deC(voir [4] problème ouvert 4.1). Notons que l'on peut également s'intéresser à cette équation sur d'autres anneaux queC, notamment sur les anneauxZ/nZ(voir [7, 9]).
L'objectif ici est de résoudre partiellement ce problème en décrivant l'ensemble des λ-quiddités irréductibles dans le cas de l'anneau Z[α] = {P(α), P ∈ Z[X]}
oùαest un nombre complexe transcendant (c'est-à-dire qu'il n'existe pas de poly- nôme non nul à coecients entiers ayantα pour racine). Le résultat principal est énoncé dans la section suivante et prouvé dans la section 4, tandis que la section 3
1
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contient des résultats utiles pour la preuve. Cette étude peut s'appliquer à un grand nombre de cas puisque l'ensemble des nombres réels algébriques est dénombrable (voir [2]). En particulier, celle-ci s'applique pourα=e(Théorème de Hermite, voir [6] Théorème III.59) et pour α=π (Théorème de Lindemann, voir [6] Théorème III.60).
2. Résultat principal
SoitAun sous-anneau deC. On commence par dénir formellement le concept deλ-quiddité surA.
Dénition 2.1 ([4], dénition 2.2). Soitn∈N∗. On dit que len-uplet(a1, . . . , an) d'éléments deAest uneλ-quiddité surAde taillensi(a1, . . . , an)est une solution de (E), c'est-à-dire siMn(a1, . . . , an) =±Id.S'il n'y a pas d'ambiguïté on parlera simplement deλ-quiddité.
Pour pouvoir étudier plus facilement lesλ-quiddités on a besoin des dénitions suivantes :
Dénition 2.2 ([4], lemme 2.7). Soient(a1, . . . , an)unn-uplet d'éléments deAet (b1, . . . , bm)unm-uplet d'éléments deA (avec(n, m)∈(N∗)2). On dénit l'opéra- tion suivante :
(a1, . . . , an)⊕(b1, . . . , bm) := (a1+bm, a2, . . . , an−1, an+b1, b2, . . . , bm−1).
Le(n+m−2)-uplet ainsi obtenu est appelé la somme de(a1, . . . , an)avec(b1, . . . , bm). Exemples 2.3. On prend iciA=R. On a :
(1,0,1)⊕(1,2,1) = (2,0,2,2), (2,3,5)⊕(1,0,7) = (9,3,6,0),
(1,5,4,3)⊕(2,4,4,6,2) = (3,5,4,5,4,4,6).
Cette opération est particulièrement utile puisqu'elle est à la base de la notion d'irréductibilité dénie par M.Cuntz et rappelée ci-dessous. Cependant, cette opé- ration n'est ni commutative ni associative (voir [12] pour des contre-exemples).
Dénition 2.4 ([4], dénition 2.5). Soient(a1, . . . , an)et(b1, . . . , bn)deuxn-uplets d'éléments de A. On dit que (a1, . . . , an) ∼ (b1, . . . , bn) si (b1, . . . , bn) est obtenu par permutation circulaire de(a1, . . . , an)ou de(an, . . . , a1).
∼ est une relation d'équivalence sur l'ensemble des n-uplets d'éléments de A (voir [12], lemme 1.7). De plus, si unn-uplet d'éléments deAest uneλ-quiddité sur Aalors toutn-uplet d'éléments deAqui lui est équivalent est aussi uneλ-quiddité surA(voir [4] proposition 2.6). On peut désormais dénir la notion d'irréductibilité annoncée.
Dénition 2.5 ([4], dénition 2.9). Uneλ-quiddité(c1, . . . , cn)surAavec n≥3 est dite réductible s'il existe deuxλ-quiddités(a1, . . . , am)et(b1, . . . , bl)surAtelles que (c1, . . . , cn)∼(a1, . . . , am)⊕(b1, . . . , bl),
m≥3 etl≥3.
Uneλ-quiddité est dite irréductible si elle n'est pas réductible.
Remarque 2.6. (0,0) est toujours solution de l'équation (E) mais elle n'est pas considérée comme étant une solution irréductible de celle-ci.
On s'intéresse ici auxλ-quiddités irréductibles sur l'anneauZ[α] dans le cas où αest un nombre complexe transcendant. On a le résultat suivant :
Théorème 2.7. Soitαun nombre complexe transcendant. Lesλ-quiddités irréduc- tibles sur l'anneauZ[α] sont :
{(1,1,1),(−1,−1,−1),(0, P(α),0,−P(α)),(P(α),0,−P(α),0);P ∈Z[X]− {±1}}.
Ce résultat est prouvé dans la section 4.
3. Résultats préliminaires
On donne dans cette section des résultats qui nous seront utiles pour démontrer le théorème 2.7.
3.1. Généralités sur les λ-quiddités. Soit A un sous-anneau de C. On com- mence par chercher les solutions de (E) pour les petites valeurs den.
Proposition 3.1. (0,0) est la seule solution de (E) de taille 2.
(1,1,1) et(−1,−1,−1) sont les seules solutions de (E) de taille 3.
Les solutions de (E) pourn= 4sont les 4-uplets suivants (−a, b, a,−b)avec ab= 0et (a, b, a, b)avec ab= 2.
Démonstration. La preuve se réduit à des calculs matriciels (voir par exemple [5]
exemple 2.7).
Proposition 3.2. Soit (b1, . . . , bm) une λ-quiddité. Soit (a1, . . . , an) ∈ An. La somme(a1, . . . , an)⊕(b1, . . . , bm)est uneλ-quiddité si et seulement si(a1, . . . , an)est une λ-quiddité.
Démonstration. La preuve est essentiellement calculatoire. Pour le détail des cal- culs, on peut consulter la preuve du lemme 2.7 de [4] et la preuve du lemme 1.9 de [12].
Une des conséquences immédiates de ce résultat est qu'il n'est pas nécessaire que (a1, . . . , am)soit uneλ-quiddité dans la dénition 2.5. Ceci nous permet d'avoir le résultat suivant :
Proposition 3.3. i) Lesλ-quiddités de taille 3 sont irréductibles.
ii)Uneλ-quiddité de taille 4 réductible contient1 ou−1.
iii) Si n≥4 alors une λ-quiddité de tille 4 contenant 1 ou−1 est réductible.
iv) Une λ-quiddité de taille supérieure à 5 contenant 0 est réductible.
Démonstration. i)Si un 3-uplet est somme d'unm-uplet avec unl-uplet alors on a 3 =m+l−2et doncm+l= 5. Ceci impliquem≤2oul≤2. Donc, lesλ-quiddités de taille 3 sont irréductibles.
ii)Soit(a1, a2, a3, a4)uneλ-quiddité.
Si(a1, a2, a3, a4)est réductible alors(a1, a2, a3, a4)est équivalent à la somme d'un m-uplet solution de (E) avec un l-uplet solution de (E) avec m, l ≥ 3. On a m+l−2 = 4 doncm+l= 6et comme m, l≥3 on a nécessairementm=l= 3. Comme les λ-quiddités de taille 3 contiennent 1 ou −1 (par i)), une λ-quiddité
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réductible de taille 4 contient1ou−1.
iii)Soit (a1, . . . , an) (avec n ≥ 4) une solution de (E). S'il existe dans {−1,1}
et s'il existeidans[[1;n]]tels queai=alors on a :
(ai+1, . . . , an, a1, . . . , ai) = (ai+1−, . . . , an, a1, . . . , ai−1−)⊕(, , ).
Comme (, , ) est solution de (E) (voir proposition 3.1), (a1, . . . , an) est uneλ- quiddité réductible.
iv) Soit (a1, . . . , an) (avec n ≥ 5) une solution de (E). S'il existe i dans [[1;n]]
tel queai= 0 alors on a :
(ai+2, . . . , an, a1, . . . , ai, ai+1) = (ai+2, . . . , an, a1, . . . , ai−1+ai+1)
⊕ (−ai+1,0, ai+1,0).
Comme (−ai+1,0, ai+1,0) est solution de (E) (voir proposition 3.1), on a que (a1, . . . , an)est uneλ-quiddité réductible.
On dispose également du résultat suivant qui permet d'avoir une majoration des
|ai|:
Théorème 3.4 (Cuntz-Holm, [5] corollaire 3.3). Soit (a1, . . . , an) ∈ Cn une λ- quiddité.∃(i, j)∈[[1;n]]2,i6=j, tels que|ai|<2 et|aj|<2.
Ce résultat permet de résoudre la question de la recherche des λ-quiddités ir- réductibles pour de nombreux sous-anneaux A de C. Par exemple, pour l'anneau A=Z[2i] ={a+ 2bi, (a, b)∈Z}.
En eet, si z = a+ 2bi ∈ Z[2i] alors |z| = √
a2+ 4b2 ≥ 2|b|. Ainsi, |z| < 2 si et seulement si z ∈ {−1,0,1}. Donc, les λ-quiddités sur Z[2i] de taille supérieure à 5 sont réductibles par la proposition 3.3. Par ailleurs, on montre facilement que les solutions de taille 4 de la forme(a, b, a, b), avec la conditionab= 2, contiennent toujours±1 et donc sont réductibles par la proposition 3.3. Donc, Lesλ-quiddités irréductibles surZ[2i]sont les éléments suivants :(1,1,1),(−1,−1,−1),(−z,0, z,0) et (0,−z,0, z)(avecz ∈Z[2i]− {±1}). En particulier, on remarque que le cas de Z[2i]est beaucoup plus simple que celui de deZ[i](voir [4] proposition 3.3).
Bien que l'on n'ait pas besoin de cela dans la suite on peut remarquer que la constante2du théorème précédent est optimale. En eet, on a le résultat suivant : Proposition 3.5. Soit∈]0,2]. Il existe une solution de (E) dont toutes les com- posantes sont de module supérieur à2−.
Démonstration. Posons∀n≥2,un = 2cos(πn)et An= un −1
1 0
! . Soit ∈]0,2]. lim
n→+∞un = 2, donc ∃n ∈ N∗, n ≥ 2, tel que un > 2−. Le po- lynôme caractéristique deAn est :
χAn(X) =det(An−XId) =−X(un−X) + 1 =X2−unX+ 1.
Le discriminant de ce polynôme est∆ =u2n−4 < 0.χAna deux racines complexes conjuguéesx1et x2 avec :
x1= un+ip
−u2n+ 4
2 etx2=un−ip
−u2n+ 4
2 .
Or, on a :
x1 = un+ip
−u2n+ 4 2
= cos(π n) +i
r
−cos(π n)2+ 1
= cos(π n) +i
r sin(π
n)2
= cos(π
n) +i sin(π
n) (carsin(π n)≥0)
= eiπn.
Donc,Anest diagonalisable et les valeurs propres deAn sonteiπn ete−iπn . Ainsi, (An)n =−Id. Donc, le n-uplet formé uniquement de 2cos(πn) est solution de (E) et2cos(πn)>2−.
3.2. Continuants. On aura également besoin dans la suite du résultat suivant sur l'expression de la matrice Mn(a1, . . . , an) en terme de déterminant. On pose K−1= 0,K0= 1et on note pouri≥1
Ki(a1, . . . , ai) =
a1 1 1 a2 1
. .. . .. . .. 1 ai−1 1
1 ai
.
Ki(a1, . . . , ai)est le continuant dea1, . . . , ai. On dispose de l'égalité suivante (voir [3, 10]) :
Mn(a1, . . . , an) =
Kn(a1, . . . , an) −Kn−1(a2, . . . , an) Kn−1(a1, . . . , an−1) −Kn−2(a2, . . . , an−1)
. 4. Démonstration du théorème
On peut maintenant démontrer le théorème 2.7. Dans la suite, siP est un poly- nôme, on noteradeg(P) le degré deP et si xest un réel on notera E[x]sa partie entière.
Démonstration. Soit α un nombre complexe transcendant. Les éléments de Z[α]
sont de la formeP(α)avecP un polynôme à coecients entiers.
Commençons par trouver les λ-quiddités irréductibles sur Z[α] de taille 3 et 4.
Par la proposition 3.1,(1,1,1) et (−1,−1,−1)sont les seulesλ-quiddités de taille 3 surZ[α], et, par la proposition 3.3, elles sont irréductibles. Par la proposition 3.1,
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lesλ-quiddités de taille 4 surZ[α]sont les 4-uplets de la forme(P(α),0,−P(α),0), (0, P(α),0,−P(α))(avecP ∈Z[X]) qui sont équivalents et(Q(α), R(α), Q(α), R(α)) avecR(α)Q(α) = 2.
Soit(Q, R)∈Z[X]avecR(α)Q(α) = 2. PosonsT(X) =R(X)Q(X). Sideg(T)≥1 alors T(X)−2 est un polynôme non constant à coecients entiers annulant α. Ceci est absurde carαest transcendant. Ainsi,T est constant et doncQetRsont constants. En particulier, un de ces deux polynômes vaut nécessairement 1 ou -1 et donc laλ-quiddité est réductible par la proposition 3.3.
Une solution équivalente à (P(α),0,−P(α),0) est réductible si et seulement si P(α) = ±1 (voir proposition 3.3). Or, si P(α) = ±1 alors P est constant égal à ±1 (car sinon P(X)−1 est un polynôme non constant à coecients entiers an- nulantαce qui est impossible).
On va maintenant montrer que lesλ-quiddités irréductibles surZ[α]sont de taille inférieure à 4. Soient n ∈ N∗ et (P1(α), . . . , Pn(α)) une λ-quiddité sur Z[α]. On commence par montrer qu'un desPi est nécessairement constant.
(P1(α), . . . , Pn(α))est uneλ-quiddité donc il existedans{−1,1}tel que Mn(P1(α), . . . , Pn(α)) =Id.
Par les résultats de la section précédente on a :
Kn(P1(α), . . . , Pn(α)) −Kn−1(P2(α), . . . , Pn(α)) Kn−1(P1(α), . . . , Pn−1(α)) −Kn−2(P2(α), . . . , Pn−1(α))
=Id.
PosonsQ(X) =Kn(P1(X), . . . , Pn(X)).
Q(X) ∈ Z[X] car Kn(x1, . . . , xn) ∈ Z[x1, . . . , xn] et les Pi sont à coecients entiers. Q est un polynôme constant égal à . En eet, si deg(Q(X)) ≥ 1 alors R(X) =Q(X)−est un polynôme non constant à coecients entiers annulantα. Ceci est absurde puisqueαest transcendant.
Ainsi, Kn(P1(X), . . . , Pn(X)) = . De même, Kn−2(P2(X), . . . , Pn−1(X)) = − et Kn−1(P2(X), . . . , Pn(X)) =Kn−1(P1(X), . . . , Pn−1(X)) = 0. On en déduit que sia∈Zalors(P1(a), . . . , Pn(a))est uneλ-quiddité surZ.
Supposons par l'absurde que pour toutiappartenant à[[1;n]]deg(Pi)≥1.
∀i∈[[1;n]], Pi n'est pas constant donc lim
x→+∞|Pi(x)|= +∞.
Donc, ∀i ∈ [[1;n]], ∃Mi ∈ R tel que ∀x ≥ Mi, |Pi(x)| ≥ 3. Donc, si on note M = max(Mi, i∈[[1;n]])on a pour tout réel xsupérieur àM et pour toutidans [[1;n]],|Pi(x)| ≥3.
Posons a =E[M] + 1 > M. (P1(a), . . . , Pn(a)) est une λ-quiddité sur Z et pour touti dans[[1;n]],|Pi(a)| ≥3. Ceci est absurde par le théorème 3.4.
Donc, un desPiest constant. On souhaite maintenant montrer qu'un des polynômes
constants vaut 0, 1 ou -1. Notons i1, . . . , ir les éléments de [[1;n]]pour lesquels les Pi sont constants.
Puisque(P1(a), . . . , Pn(a))est uneλ-quiddité surZ,∃j0∈[[1;n]]tel que|Pj0(a)|<2 par le théorème 3.4. Comme Pj0(a)∈Z, on a Pj0(a)∈ {−1,0,1}. Par ce qui pré- cède,j0∈ {i1, . . . , ir}et donc un desPi est constant égal à 0, 1 ou -1.
Donc, lesλ-quiddités surZ[α]de taille supérieure à 5 sont réductibles (voir propo- sition 3.3). Ceci conclut la preuve.
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Laboratoire de Mathématiques de Reims, UMR9008 CNRS et Université de Reims Champagne-Ardenne, U.F.R. Sciences Exactes et Naturelles, Moulin de la Housse - BP 1039, 51687 Reims cedex 2,, France
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