Le cercle trigonométrique
I/ Rappels du collège II/ Cercle trigonométrique III/ Cosinus et sinus IV/ Les angles associés
V/ Enroulement autour du cercle trigonométrique VI/ Les quadrants
VII/ Démonstrations VIII/ Les angles associés
IX/ Les fonctions trigonométriques
I/ Rappels du collège : trigonométrie dans un triangle rectangle
côté hypoténuse cos = adjacent
hypoté nuse
opposé
sin = opposé hypoté nuse côté
adjacent tan = sin
cos
= opposé adjacent L’angle étant un angle d’un triangle rectangle, 0° < < 90°.
cos et sin étant des rapports de longueurs, cos > 0 et sin > 0.
Le côté opposé et le côté adjacent étant plus courts que l’hypoténuse, cos < 1 et sin < 1.
Finalement, si 0° < < 90°, alors 0 < cos < 1 et 0 < sin < 1.
Exercice
Donner la longueur h de l’hypoténuse de ce triangle.
On a le côté opposé à l’angle de 30° et on cherche l’hypoténuse.
Le cosinus donne un lien entre le côté opposé et l’hypoténuse.
30° Il est donc avantageux d’utiliser le cosinus.
5 cos 30° = 5
h donc h = 5 30
cos 5,77.
II/ Cercle trigonométrique
Dans un repère orthonormé, le cercle trigonométrique est le cercle centré sur l’origine du repère et de rayon 1.
À tout point M du cercle trigonométrique on associe un angle .
M O A
Au point A ( 1 ; 0 ) on associe l’angle de 0°.
Si l’on tourne d’un angle droit, on arrive au point de coordonnées ( 0 ; 1 ) qui correspond à l’angle de 90°.
90°
180° 0°
270°
Pour atteindre le point de coordonnées ( 0 ; - 1 ), on peut faire trois quarts de tour à partir du point A ( 1 ; 0 ).
On peut aussi faire un quart de tour dans l’autre sens.
Autrement dit, le point de coordonnées ( 0 ; - 1 ) correspond à l’angle de 270° et aussi à l’angle de - 90°.
De même, le même point correspond à l’angle de 180° et à l’angle de - 180°. etc.
90° ou - 270 °
180° ou - 180° 0° ou 360° ou - 360° etc.
270° ou - 90°
On décide donc de s’intéresser au sens des angles.
Le sens des aiguilles d’une montre est le sens négatif ou rétrograde.
Le sens inverse des aiguilles d’une montre est le sens positif ou sens trigonométrique.
Un angle qui tourne dans le sens trigonométrique a une mesure positive.
Un angle qui tourne dans le sens des aiguilles d’une montre a une mesure négative.
Quand on précise le sens d’un angle, on parle d’angle orienté.
Quand on ne précise pas le sens d’un angle, on parle d’angle géométrique (comme au collège).
III/ Cosinus et sinus
M
O M ’
Puisque OMM ’ est un triangle rectangle, on peut donner cos et sin .
cos = OM OM
' = OM ’ car OM = 1 ( car le cercle trigonométrique a pour rayon 1 ) donc cos est l’abscisse de M.
De même, sin = MM OM
' = MM ’ et sin est l’ordonnée de M.
Cela servira de définition du cosinus et du sinus : Définition
Soit M un point du cercle trigonométrique.
Soit l’angle correspondant au point M.
cos est l’abscisse de M.
sin est l’ordonnée de M.
Exemples 90° L’angle de 0° correspond au point de coordonnées ( 1 ; 0 ) donc cos 0° = 1 et sin = 0.
L’angle de 90° correspond au point de coordonnées ( 0 ; 1 ) donc cos 90° = 0 et sin 90° = 1.
180° 0°
De même, cos 180° = - 1 et sin 180° = 0.
De même, cos ( - 90° ) = 0 et sin ( - 90° ) = - 1.
De même, cos ( 270° ) = 0 et sin ( 270° ) = - 1.
- 90°
On peut maintenant donner le cosinus et le sinus d’un angle de n’importe quelle mesure, même si elle est très grande, même si elle est négative.
De plus, comme M appartient au cercle centré sur l’origine du repère et de rayon 1, l’abscisse et l’ordonnée de M sont comprises entre - 1 et 1.
Propriété: quel que soit le nombre , - 1 cos 1 et - 1 sin 1.
IV/ Les angles associés
Ces valeurs doivent être connues par cœur (démonstrations plus loin).
0° 30° 45° 60° 90°
cos 1 3
2
2 2
1
2 0
sin 0 1
2
2 2
3
2 1
À partir de ces valeurs, on peut en déterminer d’autres.
Donner cos 120° et sin 120°
120° 60°
cos 60° = 1
2 et sin 60° = 3
2 donc l’angle de 60° est représenté par le point A ( 1 2 ; 3
2 ).
L’angle de 120° est représenté par le point B.
Pour des raisons de symétrie, A et B ont des abscisses opposées et la même ordonnée.
donc les coordonnées de B sont ( - 1 2 ; 3
2 ).
donc cos 120° = - 1
2 et sin 120° = 3 2 .
Donner cos 135° et sin 135°
135° 45°
L’angle de 45° est représenté par le point A.
cos 45° = 2
2 et sin 45° = 2
2 donc l’angle de 455° est représenté par A ( 2 2 ; 2
2 ).
L’angle de 135° est représenté par le point B.
Pour des raisons de symétrie, A et B ont des abscisses opposées et la même ordonnée.
donc les coordonnées de B sont ( - 2 2 ; 2
2 ).
donc cos 135° = - 2
2 et sin 135° = 2 2 .
Donner cos 225° et sin 225°
45°
225°
cos 45° = 2
2 et sin 45° = 2
2 donc l’angle de 45° est représenté par A sont ( 2 2 ; 2
2 ).
L’angle de 225° est représenté par le point B.
Pour des raisons de symétrie, A et B ont des abscisses et des ordonnées opposées donc les coordonnées de B sont ( - 2
2 ; - 2 2 ).
donc cos 225° = - 2
2 et sin 225° = - 2 2 . Donner cos ( - 30° ) et sin ( - 30° )
Faites-le vous même.
On trouve cos ( - 30° ) = 3
2 et sin ( - 30° ) = - 1 2.
V/ Les quadrants
Le cercle trigonométrique est composé de quatre quadrants.
2 e 1 er cos < 0 cos > 0 quadrant quadrant sin > 0 sin > 0
3 e 4 e cos < 0 cos > 0 quadrant quadrant sin < 0 sin < 0
Les angles représentés par un point du premier quadrant ont - une mesure comprise entre 0° et 90°
- un cosinus positif - un sinus positif.
Ce sont les angles utilisés par la trigonométrie du collège.
Les angles représentés par un point du deuxième quadrant ont - une mesure comprise entre 90° et 180°
- un cosinus négatif - un sinus positif.
etc. Voir le cercle plus haut.
VI/ Enroulement autour du cercle trigonométrique
On fixe une corde au point A et on enroule cette corde autour du cercle trigonométrique.
M
O A O A
Question: quelle est la longueur de corde enroulée autour du cercle entre les points A et M ? Plus l’angle est grand, plus cette longueur de corde est grande.
On peut même penser que si l’angle est deux fois plus grand, alors la longueur de corde est aussi deux fois plus grande.
Cela indique que cette longueur de corde est proportionnelle à l’angle .
Bon, mais comment la calculer ?
On continue à enrouler jusqu’à faire un tour complet.
Cherchons la longueur de corde enroulée autour du cercle sur un tour complet (du point A au point A).
Cette longueur est le périmètre du cercle, c’est-à-dire 2 R où R est le rayon du cercle trigonométrique.
Comme le rayon du rayon du cercle trigonométrique est 1,
la longueur de corde enroulée autour du cercle sur un tour complet est 2 .
On enroule maintenant seulement sur un demi-tour.
Puisqu’il y a proportionnalité, la longueur de corde est deux fois plus petite.
La longueur de corde enroulée autour du cercle sur un demi-tour est .
On enroule maintenant seulement sur un quart de tour.
La longueur de corde est encore divisée par 2.
La longueur de corde enroulée autour du cercle sur un quart de tour est 2 . Correspondance avec les angles
Quand on a enroulé sur un tour complet, on a tourné d’un angle de 360° et on a enroulé une longueur de corde de 2 .
Quand on a enroulé sur un demi-tour, on a tourné d’un angle de 180° et on a enroulé une longueur de corde de .
Quand on a enroulé sur un quart de tour, on a tourné d’un angle de 90° et on a enroulé une longueur de corde de
2 .
2
2
4 0 360° 180° 90° 45° 0°
La longueur de corde enroulée est une autre façon de mesurer un angle.
Cette nouvelle unité d’angle s’appelle le radian.
La mesure en degrés d’un angle droit est 90°.
La mesure en radians d’un angle droit est 2 . Si l’on enroule sur une moitié d’angle droit ( 45° ), on trouve une longueur de corde de 1
2 2 =
4 . Si l’on enroule sur un tiers d’angle droit ( 30° ), on trouve une longueur de corde de 1
3 2 =
6 . Si l’on enroule sur deux tiers d’angle droit ( 60° ), on trouve une longueur de corde de 2
3 2 =
3 .
Mesure en radians 0 6
4
3
2
Mesure en degrés 0° 30° 45° 60° 90° 180° 360°
On a vu que sin 30° = 1
2. On dira donc que sin 6 = 1
2.
On dira aussi que cos = - 1 ; sin
2 = 1 ; cos
4 = 2
2 ; sin 2 = 0 etc.
On peut même dire que cos 5 4
= - 2
2 ; cos ( - 3 ) = 1
2 ; sin 2 3
= 3 2 etc.
VII/ Démonstrations
Calcul de cos 45° et de sin 45°
On utilise un triangle isocèle rectangle.
Si les deux côtés de même longueur ont pour longueur 1, alors l’hypoténuse a pour longueur 2 donc
cos 45° = 1
2 = 1 2
2 2
= 2 2 et 45° sin 45° = 1
2 = 1 2
2 2
= 2 2 . Calcul de cos 30°, sin 30°, cos 60° et sin 60°
On utilise un triangle équilatéral de côté 1.
Avec le théorème de Pythagore, on trouve que
- le côté adjacent à l’angle de 60° a pour longueur 1 2, 30° - le côté opposé à l’angle de 60° a pour longueur 3
2 . Comme l’hypoténuse a pour longueur 1,
60° cos 60° = 1
2 et sin 60 ° = 3 2 . Le côté adjacent à l’angle de 30° a pour longueur 3
2 , le côté opposé à l’angle de 30° a pour longueur 1
2, l’hypoténuse a pour longueur 1 donc cos 30° = 3
2 et sin 30 ° = 1 2. Finalement
0° 30° 45° 60° 90°
cos 1 3
2
2 2
1
2 0
sin 0 1
2
2 2
3
2 1
VIII/ Les angles associés
Ces valeurs doivent être connues par cœur.
0
6
4
3
2
cos 1 3
2
2 2
1
2 0
sin 0 1
2
2 2
3
2 1
À partir de cos
3 et de sin
3, le cercle trigonométrique permet de donner cos 2 3
et sin 2 3
.
On dit que 3 et 2
3
sont associés.
Donner cos 2 3
et sin 2 3
B A
L’angle de mesure
3 est représenté par le point A.
cos 3 = 1
2 et sin
3 = 3
2 donc les coordonnées de A sont ( 1 2 ; 3
2 ).
L’angle de mesure 2 3
est représenté par le point B.
Pour des raisons de symétrie, A et B ont des abscisses opposées et la même ordonnée.
donc les coordonnées de B sont ( - 1 2 ; 3
2 ).
donc cos 2 3
= - 1
2 et sin 2 3
= 3 2 .
Donner cos 3 4
et sin 3 4
B A
L’angle de mesure
4 est représenté par le point A.
cos
4 = 2
2 et sin
4 = 2
2 donc les coordonnées de A sont ( 2 2 ; 2
2 ).
L’angle de mesure 3 4
est représenté par le point B.
Pour des raisons de symétrie, A et B ont des abscisses et des ordonnées opposées donc les coordonnées de B sont ( - 2
2 ; 2 2 ).
donc cos 3 4
= - 2
2 et sin 3 4
= 2 2 .
Donner cos ( -
6 ) et sin ( - 6 ) Faites-le vous même.
On trouve cos ( -
6 ) = 3
2 et sin ( -
6 ) = - 1 2.
Deux angles opposés ont le même cosinus : pour tout x, cos ( - x ) = cos x.
On en déduit, par exemple, que cos ( -
4 ) = cos
4 = 2 2 .
Deux angles opposés ont des sinus opposés : pour tout x, sin ( - x ) = - sin x.
On en déduit que sin ( -
3 ) = - sin 3 = - 1
2. De même, sin ( - x ) = sin x.
On en déduit que sin 5 6
= sin 6 = 1
2 . De même, cos ( - x ) = - cos x .
On en déduit que cos 5 6
= - cos
6 = - 3 2 .
On peut aussi remarquer que cos ( + x ) = - cos x.
On en déduit que cos 7 6
= - cos
6 = - 3 2 . On remarque encore que sin ( + x ) = - sin x
On en déduit que sin 5 4
= - sin
4 = - 2 2 . On remarque aussi que cos (
2 + x ) = - sin x.
On en déduit que cos ( 2 +
3 ) = - sin 3.
On remarque aussi que sin (
2 + x ) = cos x.
On en déduit que sin ( 2 +
6 ) = cos 6 .
On remarque aussi que cos (
2 - x ) = sin x.
On en déduit que cos ( 2 -
3 ) = sin 3 .
On remarque enfin que sin (
2 - x ) = cos x
On en déduit que sin ( 2 -
6 ) = sin 3 .
IX/ Les fonctions trigonométriques
Tous les graphiques sont tracés dans un repère orthonormé.
1/ Périodicité
a/ La fonction cosinus
Voici la représentation graphique de la fonction x ⟼ cos x sur l’intervalle [ 0 ; 2 ].
On peut observer les valeurs suivantes.
x 0
2 3
2
2
cos x 1 0 -1 0 1
On peut observer le tableau de variations.
x 0 2
1 1
cos x
- 1
Sur un intervalle plus grand, la représentation de la fonction x ⟼ cos x est
On a montré plus haut que pour tout x, - 1 cos x 1. Cela s’observe sur la représentation de la fonction cosinus.
On peut aussi observer que la représentation de la fonction cosinus est la répétition du motif que l’on a observé sur le graphique précédent.
En effet, quand on ajoute ou quand on enlève 2 cela ne change pas le cosinus.
On dit que la fonction cosinus est périodique de période 2 .
b/ La fonction sinus
Voici la représentation graphique de la fonction x ⟼ sin x sur l’intervalle [ 0 ; 2 ].
On peut observer les valeurs suivantes.
x 0
2 3
2
2
sin x 0 1 0 - 1 0
On peut observer le tableau de variations.
x 0
2 3
2
2
1 1
sin x
0 - 1
On fait les mêmes observations qu’avec la fonction cosinus.
La fonction sinus est elle aussi périodique de période 2 .
2/ Parité
a/ La fonction cosinus
On a observé sur le cercle trigonométrique que deux nombres opposés ont le même cosinus : cos ( - x ) = cos x.
Cela se voit sur la représentation :
La courbe est symétrique par rapport à l’axe ( Oy ).
Cela se voit aussi sur ce graphique :
On dit que la fonction cosinus est paire.
Définition : une fonction paire est une fonction telle que deux nombres opposés ont la même image.
Définition : la fonction f est paire si f ( - x ) = f ( x ) pour tout x appartenant à l’ensemble de définition de f.
Remarque : une fonction constante est paire ; la fonction x ⟼ x 2 est paire.
Propriété : la représentation d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe ( Oy ).
b/ La fonction sinus
On a observé sur le cercle trigonométrique que deux nombres opposés ont des sinus opposés : sin ( - x ) = - sin x.
Cela se voit sur la représentation :
La courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère.
On dit que la fonction sinus est impaire.
Définition : une fonction impaire est une fonction telle que dex nombres opposés ont des images opposées.
Définition : la fonction f est impaire si f ( - x ) = - f ( x ) pour tout x appartenant à l’ensemble de définition de f.
Remarque : la fonction x ⟼ x et la fonction x ⟼ x 3 sont des fonctions impaires.
Propriété : la représentation d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.
