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sixième année
NOMBRES
En avant, les maths!
Une approche renouvelée pour l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques
CONCEPTS MATHÉMATIQUES
6 e
année
Terminologie liée au concept mathématique
Priorité des opérations. Convention ou règle utilisée pour simplifier les expressions.
L’ordre des opérations est :
• parenthèses;
• exposants;
• multiplication ou division, la première des deux;
• addition ou soustraction, la première des deux.
1 – P 2 – E 3 – MD ou DM 4 – AS ou SA
Parenthèses Exposants Multiplications Additions
Divisions Soustractions
Relocalisation des opérations. Dans les expressions numériques contenant des additions et des soustractions ou des multiplications et des divisions, il est possible de relocaliser les opérations, puisque cela ne change pas les résultats. On peut donc déplacer une étape de calcul dans la mesure où l’opération qui se trouve devant le nombre est relocalisée avec le nombre.
Exemple :
Stratégies de calcul mental. Façons de calculer mentalement, avec ou sans l’aide du papier et du crayon.
Commutativité. Propriété de l’addition et de la multiplication. Le résultat d’une addition ou d’une multiplication demeure inchangé lorsqu’on intervertit l’ordre des termes qui composent l’opération.
Exemple : et .
Distributivité. Propriété de la multiplication qui, effectuée sur une somme ou sur une différence de termes, donne un résultat identique à celui qu’on obtient en faisant la somme ou la différence des résultats obtenus en effectuant la multiplication sur chacun des termes de l’addition ou de la soustraction.
Exemple : et .
Note : La distributivité fait en sorte que et .
Associativité. Propriété de l’addition et de la multiplication. Elle permet de combiner les termes d’une expression de différentes façons sans en modifier la valeur.
Exemple : et
Note : L’associativité fait en sorte que
Divisibilité. Règle qui détermine si un nombre est divisible par un autre et qui est généralement considérée comme vraie dans les cas suivants :
• Un nombre est divisible par 2 si le dernier chiffre est pair (0, 2, 4, 6 ou 8);
• Un nombre est divisible par 3 si la somme des chiffres est divisible par 3;
• Un nombre est divisible par 4 si les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4;
• Un nombre est divisible par 5 si le dernier chiffre est 0 ou 5;
• Un nombre est divisible par 6 s’il est divisible par 2 et 3;
• Un nombre est divisible par 8 si les trois derniers chiffres forment un nombre divisible par 8;
• Un nombre est divisible par 9 si la somme des chiffres est divisible par 9;
• Un nombre est divisible par 10 si le dernier chiffre est 0.
Mise en contexte du concept mathématique
EXEMPLE 1
Le commis range 25 magazines sur le rayon. Un client en achète 7. Le commis en ajoute 6. Combien de magazines y a-t-il maintenant?
STRATÉGIE 1
Calculs effectués à l’aide d’une illustration
Je dessine 25 magazines. J’en biffe 7 et j’en ajoute 6. Il y a maintenant 24 magazines.
STRATÉGIE 2
Calculs effectués à l’aide d’une égalité
Je représente le problème à l’aide de l’expression numérique suivante : Je remarque qu’il y a une soustraction et une addition dans l’expression.
Je soustrais 7 de 25 pour obtenir 18, puis j’ajoute 6 à 18 pour obtenir 24.
Il y a maintenant 24 magazines.
Note : Dans ce cas-ci, la réponse serait identique même si l’ordre des opérations était changé. Cependant, l’opération devant le nombre doit être déplacée avec le nombre.
Exemple : Le commis peut vendre 7 magazines et en ajouter 6 ou il peut
ajouter 6 magazines et en vendre 7. Les actions (ou opérations) sont identiques, la réponse est donc la même.
EXEMPLE 2
Adam a reçu une carte cadeau de 100 $ de son magasin de jeu vidéo préféré pour son anniversaire. Il veut acheter les articles suivants :
• Une souris qui coûte 29,99 $;
• Un clavier avec lumière à DEL qui coûte 49,99 $;
• Un casque d’écoute qui coûte 39,45 $.
Le magasin offre un rabais de 20 % avant les taxes. Est-ce que Adam aura assez d’argent, en prenant les taxes de 13 % en considération?
Estimation :
Si 10 % de 120 est 12, alors 20 % de 120 est 24.
Si 10 % de 96 est 9,60, alors 13 % de 96 est environ 13.
Après le rabais et avec les taxes, Adam n’aura pas assez d’argent pour acheter les articles. Il aura besoin d’environ 9 $ de plus.
STRATÉGIE
Calculs effectués à l’aide d’une représentation symbolique
J’ai d’abord ajouté les articles ensemble, puis enlevé le rabais et ajouté les taxes.
Ensuite, j’ai enlevé le total de mon montant initial de 100.
Pour calculer le montant après le rabais :
Si 100 % de 95,54 est 95,54, alors en multipliant le total par 1,13 (1 représente le tout et 0,13 représente les 13 % de taxes), j’aurai mon total avec taxes.
Après le rabais et avec les taxes, Adam n’aura pas assez d’argent pour acheter les articles. Il aura besoin de 7,96 $ de plus.
EXEMPLE 3
Samuel a 1 025 cartes de collection. Il est très généreux et veut donner ses cartes à 5 amis. Est-ce qu’il y aura assez de cartes pour que chaque ami en reçoive le même nombre? Comment le sais-tu?
STRATÉGIE
Suivre les règles de divisibilité
• Un nombre est divisible par 5 si le dernier chiffre est 0 ou 5;
• - Vu que le dernier chiffre est 5, le nombre est divisible par 5.
Il y aura assez de cartes pour que chaque ami reçoive le même montant.
EXEMPLE 4
Lorsque Kohen cherche des applications de jeux en ligne, il voit qu’il y a un rabais de 10 % sur son jeu préféré. L’application coûte 10,00 $, avant le rabais. Combien coûte le jeu après le rabais?
STRATÉGIE
Faire le calcul mental à l’aide d’une illustration 10 % d’un tout de 100 est 10 groupes de 10
10 % d’un tout de 10 est 10 groupes de 1.
Alors, Kohen a un rabais de 1,00 $ et payera 9,00 $ pour son application.
