$ En avant, les maths!
Représentation et comparaison de fractions
NOMBRES
quatrième année
Une approche renouvelée pour l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques
CONCEPTS MATHÉMATIQUES
4 e
année
Terminologie liée au concept mathématique
Partage équitable. Situation où un ensemble est partagé ou distribué parmi un nombre connu de personnes ou de groupes.
Par exemple : Sacha a 12 pommes. Il veut les partager également entre 4 amis.
Combien de pommes chaque ami recevra-t-il?
Fraction. Nombre rationnel qui peut être exprimé sous la forme , alors que a et b sont des nombres entiers et b ne peut pas être 0. Une fraction peut représenter un rapport partie-tout lorsque sont comparées deux grandeurs de même nature. Aussi, la fraction peut représenter une division entre deux nombres, soit entre le numérateur et le dénominateur.
Note : Les parties fractionnées doivent être équivalentes. Plus un tout est fractionné en parties, plus les parties sont petites. Pour une même fraction, la grosseur des parties dépend du tout.
Exemples :
Fraction unitaire. Toute fraction dont le numérateur est 1 (par exemple ).
Chaque fraction peut être décomposée en des fractions unitaires (par exemple, est trois fois un quart, ou ).
Numérateur. Nombre au-dessus de la ligne dans une fraction. Le numérateur indique le nombre de parties équivalentes ou de groupes pris en compte.
Par exemple, dans , le numérateur est 3.
Dénominateur. Nombre en dessous de la ligne dans une fraction. C’est le nombre de parties équivalentes par lequel le tout est divisé. Par exemple, dans ,
le dénominateur est 4. Il représente le nombre de parties égales divisant un tout ou un ensemble, ou le diviseur.
Schéma. Représentation visuelle des éléments essentiels d’une idée, d’un processus, d’un concept ou d’un objet.
Notation fractionnaire. Fraction écrite sous la forme .
Modèle. Représentation visuelle qui aide les élèves à visualiser, comprendre et assimiler des concepts abstraits.
Modèle de surface. Dans un modèle de surface, une surface représente le tout.
Ce tout est divisé en régions fractionnaires. Bien que les régions fractionnaires aient toutes la même aire, elles ne sont pas nécessairement congruentes
(mêmes grandeurs, dimensions ou apparence).
Exemple :
Modèle d’ensemble. Dans un modèle d’ensemble, un ensemble d’éléments représente la quantité totale ou le tout. Des sous-ensembles du tout constituent les parties fractionnaires. Divers matériels peuvent être utilisés pour les
modèles d’ensemble.1 Exemple :
1 Document d’appui - Mettre l’accent sur les fractions, p. 4.
Modèle de longueur. Dans un modèle de longueur, la longueur représente le tout.
Ce modèle est souvent utilisé pour représenter une distance ou même le temps à l’aide d’une droite numérique, un segment de droite, des réglettes ou des bandes fractionnaires.2
Exemple :
Fraction propre. Fraction dont la valeur du numérateur est plus petite que celle du dénominateur.
Exemple :
Fraction impropre. Fraction dont la valeur du numérateur est plus grande que celle du dénominateur.
Exemple :
Nombre fractionnaire. Nombre rationnel composé d’un nombre entier et d’une fraction.
Exemple :
2 Modèle de longueur : GEEM – 4e à la 6e – NSN Fascicule 2 – Fractions, p. 64.
Mise en contexte du concept mathématique
EXEMPLE 1
De quelle façon représenterais-tu la fraction suivante?
STRATÉGIE 1
Représentation d’une fraction à l’aide d’un modèle de surface
Je divise la figure en 5 parties égales. Chaque partie représente de la figure.
Je colorie 1 partie de la figure pour représenter la fraction .
1 1 5 5 1 5
1 5 1 5
STRATÉGIE 2
Représentation d’une fraction à l’aide d’un modèle de longueur
Je divise la droite numérique en 5 parties égales entre 0 et 1. Chaque partie représente sur la droite numérique. J’effectue un déplacement d'1 cinquième vers la droite. Je trace un point sur la droite pour représenter la fraction .
STRATÉGIE 3
Représentation d’une fraction à l’aide d’un modèle d’ensemble d’objets
J'utilise 15 bicyclettes. Je représente la fraction en regroupant les bicyclettes en 5 groupes de 3 et je colorie un ensemble.
EXEMPLE 2
a) Indique si la fraction est plus près de 0 ou de 1 à l’aide d’un X.
Fractions Près de 0 Près de 1 Fractions Près de 0 Près de 1
b) Voici une droite numérique sur laquelle sont situés les nombres repères 0 et 1.
Situe les fractions ci-dessus sur cette droite numérique.
c) Écris quelques comparaisons entre ces fractions à l’aide des symboles < et >.
STRATÉGIE 1
a) Indique si la fraction est plus près de 0 ou de 1 à l’aide d’un X.
Fractions Près de 0 Près de 1 Fractions Près de 0 Près de 1
X X X
X X
X X
b) Voici une droite numérique sur laquelle sont situés les nombres repères 0 et 1.
Situe les fractions ci-dessus sur la droite numérique.
c) Écris quelques comparaisons entre ces fractions à l’aide des symboles < et >.
Lorsque des fractions ont le même numérateur, plus le dénominateur est grand, plus les parties sont petites. Ici, il y a les dénominateurs 10 et 2. est plus petit que .
Voici un exemple avec le modèle de surface.
Lorsque des fractions ont le même numérateur, plus le dénominateur est grand, plus les parties sont petites. Ici, il y a les dénominateurs 8 et 4. est plus petit que . Alors, la fraction représente des plus petites sections tandis que la fraction représente de plus grandes sections.
Si les dénominateurs des deux fractions sont identiques, alors les parties sont les mêmes. Le numérateur détermine le nombre de parties équivalentes prises en compte.
En regardant les groupes suivants, nous pouvons voir que 3 parties (9 canards) sur 4 représentent plus que 1 partie (3 canards) sur 4.
EXEMPLE 3
Alanic a 6 barres tendres.
a) Il veut les partager de façon équitable avec ses 3 amis. Quelle fraction des barres chaque personne recevra-t-elle?
b) Juste avant qu’il divise les barres, un autre ami arrive. Ils sont maintenant 5 personnes. Cette personne aimerait en avoir une partie aussi. Quelle fraction des barres tendres chaque personne recevra-t-elle?
c) Que remarques-tu des quantités dans les deux situations?
STRATÉGIE 1
Partager chaque barre tendre en parties égales puis en distribuer aux personnes
a) 4 personnes b) 5 personnes
P1 P2 P3 P4 P1 P2 P3 P4 P1 P2 P3 P4 P1 P2 P3 P4 P1 P2 P3 P4 P1 P2 P3 P4
ou 1
P1 P1 P1 P1
un deux trois quatre
P1 P1
cinq six
1 2
Chaque personne obtiendrait 6 quarts des barres tendres ou 1 barres tendres.
Par exemple, personne 1 (P1) reçoit un , deux , trois , quatre (ou 1), cinq
et six .
est équivalent à 1 ou encore 1 . 1
4
1 4
1 1 4
4
1 1 4
6 4 4
2 4
1 2 1
4 1 4
1 4
1 4
1 4
1 4
Chaque personne obtiendrait
STRATÉGIE 2
Remettre à chaque personne une barre tendre entière, puis répartir en parties équivalentes les barres tendres qui restent entre le nombre de personnes
a) 4 personnes b) 5 personnes
une barre tendre entière et P1
P2
P3 P4 P1 P2 P3 P4
P1 P2 P3 P4 1 4
P1
1
P1 P1
un deux
1 4
1 4 1
2
Par exemple, personne 1 (P1) reçoit 1 barre tendre entière et un , deux de celles qui restent. Cela me donne 1 barres tendres. 1 peut être
simplifié à 1 . Chaque personne reçoit
de chacune des 2 barres qui restent (ou d’une barre).
1 4 2
4
un un un un
deux deux deux deux
1 4 1
4 1 4
1 4
1 4
1 4
1 4
1 2
2 4 1
4
1 4
c) Je remarque que plus il y a de personnes qui partagent les 6 barres, plus chaque portion est petite.
est plus grand que puisque plus le dénominateur de la fraction est grand, plus les parties sont petites. On peut aussi dire que plus le dénominateur est petit, plus les parties sont grandes.
