δ = Remarque : Des mesures sur un dessin ne constituent pas une démonstration

(1)

1. Géométrie synthétique : «Le prisme d’Euclide»

SoitP un prismedroit à base triangulaire. On dénote parA,BetCles sommets d’une première base (supposée horizontale), et parA⁰, B⁰ et C⁰ les sommets de l’autre base de sorte que AA⁰, BB⁰ et CC⁰ constituent les trois autres arêtes deP, perpendiculaires aux deux bases.

(1) Quel est le rapport R entre le volume du tétraèdreABCA⁰ et le volume de P? R=

(2) Trouvez une construction qui découpeP en exactement trois tétraèdres (T₁,T₂etT₃)de même volume.

Les 4 sommets de chaque tétraèdre sont à sélectionner parmi les sommets de P et il faut donc que l’union des quatre tétraèdres reforme le prisme.

T₁ = T₂ = T₃ =

(3) Illustrez la situation par un dessin clair et précis.

(4) Si toutes les arêtes du prisme sont de longueur 1, calculez la différence δ entre, d’une part, la somme des trois surfaces des pyramides trouvées, et d’autre part la surface du prisme initial.

δ =

Remarque : Des mesures sur un dessin ne constituent pas une démonstration. Lorsqu’ils sont présents, veuillez noter vos réponses finales dans les encadrés. Ecrivez vos raisonnements/calculs sur cette page, au verso ou sur feuilles supplémentaires.

(2)

Examen d’Admission Numéro: Géométrie, Juillet 2018 - Série 1.

2. Géométrie synthétique : «Pavage de disques»

Dans le plan, on se donne un losangeLde sommetsA,B,CetD, dont chaque côté a une longueur 2et dont l’angle enA vaut ^π₃ (ou60^◦). Sur chaque sommet de L, on place ensuite un disque de rayon unité de sorte que son centre soit confondu avec le sommet considéré.

(1) Illustrez l’énoncé par un dessin clair et précis.

(2) Quelle est la surface S de la portion de L non-couverte par les4 disques ? S =

(3) Quelle est la longueur `de la base du plus petit losange semblable àLentourant les 4 disques définis ci-dessus ?

`=

(3)

1. Géométrie synthétique : «Une curiosité tétraédrique»

On se donne un tétraèdreT de sommets O,A,B, et C tel que les arêtes OA,OB etOC sont orthogonales deux à deux. On dénote les longueurs de celles-ci parOA=a,OB =betOC =c.

(2) Sia=b=c= 1, que vaut la différenceδ entre, d’une part, la somme des carrés des surfaces des trois faces deT adjacentes à O, et d’autre part, le carré de la surface de la faceABC.

δ =

(3) Calculez, en fonction de aetb quelconques, la hauteurh de la face OAB issue deO.

h=

(4) Que vaut la différence calculée en (2) pour des valeurs dea,b,cquelconques ? Justifiez votre réponse.

δ =

(4)

Examen d’Admission Numéro: Géométrie, Juillet 2018 - Série 2.

2. Géométrie synthétique : «Une suite de carrés»

Dans le plan, on pose un carré de longueur (de côté) 1 et de sommets A,B,C etDsur une droite horizontale H de sorte que AB soit confondu avec H, que CD se situe au dessus de celle-ci, et queA et D soient respectivement à gauche deB etC.

A droite de ce premier carré, on pose au dessus deH un second carré, adjacent au premier, orienté comme lui et de longueur1/2.

On poursuit cette opération un grand nombre de fois, chaque fois en posant de la même manière sur H et à droite du dernier carré posé un nouveau carré adjacent à celui-ci et de longueur égale à la moitié de la longueur du carré précédent.

(1) Illustrez l’énoncé par un dessin clair et précis (3 ou 4 carrés suffiront).

(2) Justifiez pourquoi les coins supérieurs droits de tous les carrés passent par une droite. Si celle-ci intersecte Hen O, quelle est la distancedentreB etO?

d=

(3) Soit V la droite passant parA etD. Trouvez un point M sur le segment CD tel que les parties des carrés se trouvant au dessus de la droite P passant par O etM pourraient toutes être découpées et insérées dans les zones vides (non couvertes par des carrés) localisées sous P, au dessus de H et à droite deV.

Votre réponse doit être valablequel que soit le nombre de carrés posés^∗. Quelle est la distanced⁰ séparant C etM (avec0≤d⁰ ≤1)

d⁰=

(4) Pour le M trouvé en (3), et à l’aide deH,V etP, déterminez la plus petite valeur S que la somme des surfaces de tous les carrés ne peut dépasser (quel que soit leur nombre).

Votre réponse ne doit reposer que sur des arguments géométriques.

S =

∗. Indication : ne rien insérer dans la zone vide localisée entrePetHet située à droite dudernier carré posé.

(5)

1. Géométrie synthétique :

On se donne une sphèreS de rayon 1 et de centre O. On prend ensuite trois pointsX,Y etZ à la surface de S de sorte que OXY Z soit un tétraèdre régulier de longueur de côté 1 ; autrement dit, OX = OY = OZ =XY =Y Z =XZ = 1.

Soit le plan P passant par O,X etY et dont l’intersection avec la surface de S est le cercle C. On prend surC un pointP de sorte que P X = 1, avecX localisé entreP etY surC.

(2) Que vaut le volumeV du tétraèdreOXY Z?

V =

(3) Que vaut le rapport entre V et le volume V⁰ du tétraèdre (non régulier)P XY Z?

(Remarque : pour répondre, il peut être utile de visualiserC et les trianglesOXY etP XY dans le planP.) V/V⁰ =

(4) Que vaut le rapport en (3) si P est maintenant déplacé sur C de sorte que P X = √

3, avec X toujours localisé entreP etY surC?

V/V⁰ =

Remarque :Lorsqu’ils sont présents, veuillez noter vos réponses finales dans lesencadrés, mais écrivez aussi vos raisonnements/calculs sur cette page, auversoou sur feuilles supplémentaires. Un dessin ne constitue pas une démonstration.

(6)

Examen d’Admission Numéro: Géométrie, Septembre 2018.

2. Géométrie synthétique :

Dans le plan, on se donne deux triangles équilatérauxT₁ =OAB etT₂ =OCD se partageant le sommet O et ayant une longueur de côté 1. Ces deux triangles ne se chevauchent pas et leurs sommets sont nommés de sorte que A,B,C etD se suivent le long d’un cercle de rayon 1 centré surO.

On considère queBOC\= 2γ pour un certain paramètre 0≤γ ≤π/3; autrement dit, pourγ = 0, B et C sont confondus.

(2) SiBAD\=α, calculezα en fonction deγ en mentionnant les propriétés géométriques utilisées dans vos développements ci-dessous.

α=

(3) Calculez en fonction deγ quelconque la surfaceS du quadrilatèreABCD :

S(γ) =

(4) CalculezS pour les valeurs suivantes :

S(0) = S(π/6) = S(π/3) =

Remarque :Lorsqu’ils sont présents, veuillez noter vos réponses finales dans lesencadrés, mais écrivez aussi vos raisonnements/calculs sur cette page, auversoou sur feuilles supplémentaires. Un dessin ne constitue pas une démonstration.