TD 4 sur la multiplication d’un vecteur par un réel
I
Soit [AB] un segment. On veut construire le pointD tel que
−−→D A+4−−→DB=→− 0 .
Montrer que cette égalité se transforme en−−→AD=4 5
−→AB. Construire alors le pointD.
II
Dans chaque cas, montrer qu’il existe un réelktel que−→AB= k−−→C D.
a) 4−−→AD−4−−→B D+2−−→C D=−→ 0 b) C B−→+2−→AC+−−→DB=−→0
c) 5−→AB−3−→C B=7−−→AD−4−→AC
III
ABC Dest un rectangle ;Iest le milieu de [AB].
1. Construire le pointEtel que−I E→= −1 3
−I C→. 2. Fest le symétrique deEpar rapport àI.
Exprimer−F I→en fonction de−I E→puis en fonction de−I C→. 3. Exprimer−→F Bà l’aide de−→ABet−→BC.
4. En déduire−→F Bà l’aide de−→ABet−−→AD.
5. Montrer alors que−→F B=1 3
−−→DB.
6. Que peut-on en déduire pour les pointsF,DetB.
IV Centre de gravité d’un triangle
1. [AB] est un segment etIest son milieu.
(a) Que peut-on dire du vecteur−I A→+−I B→? (b) Démontrer que, pour tout pointM,
−−→M I=1 2
³−−→M A+−−→M B´ .
2. ABC est un triangle quelconque.A′,B′etC′sont les mi- lieux respectifs de [BC], [AC] et [AB].
Gest le point tel queG A−−→+−G B−→+−GC−→=→− 0 .
(a) En appliquant la question 1. (b), montrer queG A−−→+
−−→ G B=2−−→
GC′.
(b) En déduire queGappartient la droite¡ CC′¢
.
(c) Démontrer de faon analogue queG appartient aux droites¡
A A′¢ et¡
B B′¢ .
(d) Que représentent les trois droites ¡ A A′¢
, ¡ B B′¢
et
¡CC′¢
pour le triangleABC? (e) Faire une figure et placerG.
Remarque: on dit queGest le centre de gravité du triangleABC.
TD 4 sur la multiplication d’un vecteur par un réel
I
Soit [AB] un segment. On veut construire le pointD tel que
−−→D A+4−−→DB=→− 0 .
Montrer que cette égalité se transforme en−−→AD=4 5
−→AB. Construire alors le pointD.
II
Dans chaque cas, montrer qu’il existe un réelktel que−→AB= k−−→C D.
a) 4−−→AD−4−−→B D+2−−→C D=−→ 0 b) C B−→+2−→AC+−−→DB=−→
0 c) 5−→AB−3−→C B=7−−→AD−4−→AC
III
ABC Dest un rectangle ;Iest le milieu de [AB].
1. Construire le pointEtel que−I E→= −1 3
−I C→. 2. Fest le symétrique deEpar rapport àI.
Exprimer−F I→en fonction de−I E→puis en fonction de−I C→. 3. Exprimer−→F Bà l’aide de−→ABet−→BC.
4. En déduire−→F Bà l’aide de−→ABet−−→AD.
5. Montrer alors que−→F B=1 3
−−→DB.
6. Que peut-on en déduire pour les pointsF,DetB.
IV Centre de gravité d’un triangle
1. [AB] est un segment etIest son milieu.
(a) Que peut-on dire du vecteur−I A→+−I B→? (b) Démontrer que, pour tout pointM,
−−→M I=1 2
³−−→M A+−−→M B´ .
2. ABC est un triangle quelconque.A′,B′etC′sont les mi- lieux respectifs de [BC], [AC] et [AB].
Gest le point tel queG A−−→+−G B−→+−GC−→=→− 0 .
(a) En appliquant la question 1. (b), montrer queG A−−→+
−−→ G B=2−−→
GC′.
(b) En déduire queGappartient la droite¡ CC′¢
.
(c) Démontrer de faon analogue queG appartient aux droites¡
A A′¢ et¡
B B′¢ .
(d) Que représentent les trois droites ¡ A A′¢
, ¡ B B′¢
et
¡CC′¢
pour le triangleABC? (e) Faire une figure et placerG.
Remarque: on dit queGest le centre de gravité du triangleABC.
