Table des matières

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16 Intégration et Dérivation 3

16.1 Primitives et intégrale d’une fonction continue . . . 3

16.2 Calcul de Primitives . . . 4

16.3 Formules de Taylor . . . 6

16.4 Primitives usuelles et Méthodes . . . 8

2 TABLE DES MATIÈRES

2

LycéePierredeFermat-MartinDelHierro

Chapitre 16

Intégration et Dérivation

Dans tout ce chapitre on considère des fonctions définies sur un intervalle I (non réduit à un point) à valeurs réelles ou complexes

16.1 Primitives et intégrale d’une fonction continue

Définition 16.1.1 Soitf continue surI, on dit queF estuneprimitive de f sur I lorsque

∀x∈I, F⁰(x) =f(x)

♠

Proposition 16.1.1 Deux primitives d’une même fonction (sur un intervalle) différent d’une constante.

♣

DémonstrationSoientF1et F2deux primitives d’une même fonction f surI.

Alors(F1−F2)⁰=f−f = 0 surI(intervalle) et doncF1−F2 est constante surI • Remarque: l’existence des primitives n’est pas garanti pour des fonctions non continues, y compris lorsquef est continue par morceaux

Exemple: la fonction partie entière ne peut admettre de primitive sur[−1,12].

En effet dans le cas contraire une primitive F ne vérifierait plus le TVI car F⁰ n’atteindrait jamais la valeur√

2∈[F⁰(1), F⁰(2)], ce qui est contraire au théorème de Darboux

Théorème 16.1.2 (Théorème Fondamental de l’analyse) Etant données une fonctionf continue surI et un point a∈I

• la fonctionF :x7→R_x

a f(t)dt est l’unique primitive def qui s’annule en a

• Pour toute primitiveGdefsurI :

∀x∈I,

Z _x

a

f(t)dt=G(x)−G(a)

♣

Démonstration?Montrons que F est une primitive de f surI Soitx0∈I, etε >0. Par continuité def on peut trouverα >0tel que

(∗) ∀t∈I, |t−x0| ≤α=⇒ |f(t)−f(x0)| ≤ε Soith∈R^∗ tel que

x0+h∈I et |h| ≤α

4 CHAPITRE 16. INTÉGRATION ET DÉRIVATION

Par Chasles et linéarité de l’intégrale

¯¯

¯¯F(x₀+h)−F(x₀)

h −f(x0)

¯¯

¯¯ =

¯¯

¯¯

¯ 1 h

ÃZ _x0

a

f(t)dt− Z _x0+h

a

f(t)dt

!

−1 h

Z _x0+h

x0

f(x0)dt

¯¯

¯¯

¯

= 1

|h|

¯¯

¯¯

¯ Z _x0+h

x0

f(t)dt− Z _x0+h

x0

f(x0)dt

¯¯

¯¯

¯

= 1

|h|

¯¯

¯¯

¯ Z _x0+h

x0

(f(t)−f(x0))dt

¯¯

¯¯

¯

Or puisque pourt entrex0 etx0+h, on a t∈I et|t−x0| ≤αon en déduit|f(t)−f(x0)| ≤ε

Et donc ¯

¯¯

¯¯ Z _x0+h

x0

(f(t)−f(x0))dt

¯¯

¯¯

¯≤ε|h|

D’où

∀ε >0, ∀h∈R^∗, (x0+h∈I et |h| ≤α) =⇒

¯¯

¯¯F(x0+h)−F(x0)

h −f(x0)

¯¯

¯¯≤ε

Et doncF est dérivable enx0et F⁰(x0) =)f(x0)pour toutx0∈I... CQFD

?Montrons que c’est la seule qui s’annule en a

En effetF s’annule ena, et toute autre primitiveGdiffère d’une constanteλpar rapport àF, on a G=F+λ d’où G(a) =F(a) +λ=λ

Et doncG=F+G(a). En particulier siG(a) = 0alorsF =G

?Montrons la deuxième proposition.

Toute autre primitiveGs’écrit G=F+G(a)D’où Z _x

a

f(t)dt=F(x) =G(x)−G(a)

• Remarque: F est de classeC¹

Proposition 16.1.3 Pour toute fonction f de classe C¹ surI et a∈I,

∀x∈I, f(x)−f(a) = Z _x

a

f⁰(t)dt

♣

DémonstrationAppliquons le théorème fondamental àf⁰ qui est par hypothèse continue sur I.

Puisque par définitionf est une primitive de f⁰, on a bien

∀x∈I,

Z _x

a

f⁰(t)dt=f(x)−f(a)

•

16.2 Calcul de Primitives

Proposition 16.2.1 (Intégration par parties) Soientf etg de classe C¹ sur I eta, b dansI. On a

alors Z _b

a

f⁰(t)g(t)dt=h

f(t)g(t)i_t=b

t=a− Z _b

a

f(t)g⁰(t)dt Où h

f(t)g(t)i_b

t=a (noté aussih f gi_b

a voireh

f(t)g(t)i_b

a) désigne la quantité f(b)g(b)−f(a)g(a) ♣ 4

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16.2. CALCUL DE PRIMITIVES 5

DémonstrationPar produit de fonctions continues, chacune des intégrales est bien définie. et par ailleurs (f g)⁰=f⁰g+f g⁰∈C⁰

On a alors

f(b)g(a)−f(a)g(a) = Z _b

a

(f g)⁰(t)dt= Z _b

a

f⁰(t)g(t) +f(t)g⁰(t)dt= Z _b

a

f⁰(t)g(t)dt+ Z _b

a

f(t)g⁰(t)dt

• Exemple: En posantf(t) =tetg(t) = ln(t), il vient

∀x >0, Z _x

1

ln(t)dt= Z _x

1

f⁰(t)g(t)dt=h

tln(t)it=x t=1−

Z _x

1

t

tdt=xln(x)−1−(x−1) =xlnx−x Remarque 16.2.1 Dans la pratique on pose simultanément fonctions et dérivées, pour tout t∈[a, b]

u(t) =f(t) u⁰(t) =f⁰(t) v(t) =g(t) v⁰(t) =g⁰(t)

D’où par IPP Z _b

a

u⁰(t)v(t)dt= [uv]^b_a− Z _b

a

u(t)v⁰(t)dt

∗ Exemple: Montrer quex7→R_x

π 2

sint

t dtest bornée sur[^π₂,+∞[.

Posons pourt≥^π₂

u(t) =−cos(t) u⁰(t) = sin(t) v(t) = 1

t v⁰(t) =−_t¹2

Pourx≥ ^π₂ quelconque Z _x

π 2

sint t dt=h

−cost t

i_x

π 2

− Z _x

π 2

cost

t² dt=−cosx

x −

Z _x

π 2

cost t² dt D’où pourx≥π/2

¯¯

¯¯

¯ Z _x

π 2

sint t dt

¯¯

¯¯

¯≤

¯¯

¯cosx x

¯¯

¯+

¯¯

¯¯

¯ Z _x

π 2

cost t² dt

¯¯

¯¯

¯≤ 1 x+

Z _x

π 2

¯¯

¯cost t²

¯¯

¯dt≤ 2 π +

Z _x

π 2

1 t²dt= 2

π+ µ2

π−1 x

¶

≤ 4 π

Proposition 16.2.2 (Changement de variable) Soitf ∈ C(I)etϕ: [a, b]→I de classe C¹. Alors Z _ϕ(b)

ϕ(a)

f(t)dt= Z _b

a

f³ ϕ(x)´

ϕ⁰(x)dx

♣ DémonstrationSoitf◦ϕpar composition cette fonction est continue sur[a, b]. Comme ϕ⁰ l’est aussi, il en va de même pour(f◦ϕ)·ϕ⁰, la deuxième intégrale est donc bien définie. SoitF une primitive def surI Puisque

(f◦ϕ)·ϕ⁰= (F◦ϕ)⁰ On en déduit

Z _b

a

f³ ϕ(x)´

ϕ⁰(x)dx= Z _b

a

(F◦ϕ)⁰(x)dx=F³ ϕ(b)´

−F³ ϕ(a)´

= Z _ϕ(b)

ϕ(a)

f(t)dt

•

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6 CHAPITRE 16. INTÉGRATION ET DÉRIVATION

Remarque: il n’est pas exigé que ϕsoit bijective, ni même injective ou surjective

Exemple: Pour toutf continue sur[a, b]on a (avecϕ:x7→a+x(b−a)C¹ de[0,1]dans[a, b]) Z _b

a

f(t)dt= Z _ϕ(1)

ϕ(0)

f(t)dt= Z ₁

0

f(ϕ(x))ϕ⁰(x)dx= (b−a) Z ₁

0

f(a+x(b−a))dx

Exercice: Montrer que pourf ∈ C([a, b]), on a Z _b

a

f(t)dt= b−a 2

Z ₁

−1

f(a+b

2 +b−a 2 x)dx

indication : Utiliserψ:x7→ ^a+b₂ +^b−a₂ x

Remarque: Ainsi tout calcul d’intégrale sur[a, b]se ramène au calcul d’une intégrale sur [0,1]ou sur [−1,1]

Remarque 16.2.2 Dans la pratique on pose

t=ϕ(x) et dt=ϕ⁰(x)dx

D’où Z _b

a

f

³ ϕ(x)|{z}

t

´

ϕ⁰(x)dx

| {z }

dt

= Z _ϕ(b)

ϕ(a)

f(t)dt

Attention tout ceci est un abus de notation relative à la proposition précédente ∗

Exemple: Par le changement de variable

t= sinx et dt= cosxdx Z ^π

2

0

sin²xcosx dx= Z ₁

0

t²dt=1 3 Exercice: CalculerR₁

0 t√

1−t²dt

16.3 Formules de Taylor

Proposition 16.3.1 (Formule de Taylor avec reste intégral) Soitf ∈Cⁿ⁺¹(I)(avecn∈N), on a alors pour touta, bdans I.

f(b) = Xn k=0

(b−a)^k

k! f^(k)(a) + Z _b

a

(b−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt

On dit f admet un développement de Taylor à l’ordre nentreaetb avec reste intégral ♣ Démonstration

P(n) : ”∀f ∈Cⁿ⁺¹(I),∀(a, b)∈I², f(b) = Xn k=0

(b−a)^k

k! f^(k)(a) + Z _b

a

(b−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt”

• P(0)est vérifié car pour toutf ∈C¹(I)et a, bdansR, on a f(b) =f(a) +

Z _b

a

f⁰(t)dt

•Si pour un n∈Nfixé quelconqueP(n)est vérifié alors pour toutf ∈Cⁿ⁺²(I)et a, bdansR, on a f(b) =

Xn k=0

(b−a)^k

k! f^(k)(a) + Z _b

a

(b−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt 6

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16.3. FORMULES DE TAYLOR 7

Or par IPP Z _b

a

(b−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt=− Z _b

a

d dt

µ(b−t)ⁿ⁺¹ (n+ 1)!

¶

f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt=−

h(b−t)ⁿ⁺¹

(n+ 1)! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t) i_b

a+ Z _b

a

(b−t)ⁿ⁺¹

(n+ 1)! f⁽ⁿ⁺²⁾(t)dt D’où

f(b) = Xn k=0

(b−a)^k

k! f^(k)(a) +(b−a)ⁿ⁺¹

n+ 1! f⁽ⁿ⁺¹⁾(a) + Z _b

a

(b−t)ⁿ⁺¹

(n+ 1)! f⁽ⁿ⁺²⁾(t)dt et donc, ceci etant vrai quel que soitf ∈Cⁿ⁺²(I)eta, bdans I, on aP(n+ 1)

•Conclusion •

Remarque: à l’ordre1la formule de Taylor, n’est rien d’autre que la formule d’intégration par parties (IPP)

Remarque: On a avec les notations ci-dessus et par le changement de variable ϕ:t7→a+ (b−a)tde [0,1]dans[a, b]

Z _b

a

(b−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt= Z _ϕ(1)

ϕ(0)

(b−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt= (b−a)ⁿ⁺¹ n!

Z ₁

0

(1−t)ⁿf⁽ⁿ⁺¹⁾(a+t(b−a))dt

Exemple:

∀n∈N, e= Xn k=0

1 k! +

Z ₁

0

(1−t)ⁿ

n! exp(t)dt

Corollaire 16.3.2 Pour tout a∈I et toute fonctionf de classeCⁿ⁺¹ surI (n∈N) on a f :=Tn[f] +Rn[f]

Où Tn[f] noté parfois Tn est la partie principale du développement de Taylor de f en a d’ordre n, et Rn[f]noté parfoisRn est le reste de ce développement

Tn :x7→

Xn k=0

f^(k)(a)

k! (x−a)^k et Rn:x7→ (x−a)ⁿ⁺¹ n!

Z ₁

0

(1−t)ⁿf⁽ⁿ⁺¹⁾(a+t(x−a))dt

♣ Remarque: les notationsRn[f]et Tn[f]ne sont pas standard et ne font pas apparaître le pointaalors que ces fonctions dépendent de ce point, ce sera donc le contexte qui précisera le choix dea

Remarque: T_n est une fonction polynômiale de degré au plusn Exemple: Pour toutn∈N, on a

∀x∈R, e^x= Xn k=0

x^k

k! +xⁿ⁺¹ n!

Z ₁

0

(1−t)ⁿexp(tx))dt

Proposition 16.3.3 (Inégalité de Taylor-Lagrange) Soitf ∈Cⁿ⁺¹(I)eta, bdansI quelconques, on a

¯¯

¯f(b)− Xn k=0

(b−a)^k k! f^(k)(a)

¯¯

¯≤Mn+1

(b−a)ⁿ⁺¹

(n+ 1)! avec Mn+1:= sup

J |f⁽ⁿ⁺¹⁾|

oùJ est le segment d’extrémités aetb ♣

DémonstrationSoientf, a, btels que ci-dessus et supposonsa < b, (le casa > b étant similaire)

¯¯

¯f(b)−

Xn k=0

(b−a)^k k! f^(k)(a)

¯¯

¯=

¯¯

¯(b−a)ⁿ⁺¹ n!

Z ₁

0

(1−t)ⁿf⁽ⁿ⁺¹⁾(a+t(b−a))dt

¯¯

¯≤(b−a)ⁿ⁺¹ n!

Z ₁

0

(1−t)ⁿ

¯¯

¯f⁽ⁿ⁺¹⁾(a+t(b−a))

¯¯

¯dt

Or Z ₁

0

(1−t)ⁿ

¯¯

¯f⁽ⁿ⁺¹⁾(a+t(b−a)

| {z }

∈[a,b]

)

¯¯

¯dt≤Mn+1

Z ₁

0

(1−t)ⁿdt=Mn+1

h

−(1−t)ⁿ⁺¹ n+ 1

i₁

0=Mn+1

n+ 1

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8 CHAPITRE 16. INTÉGRATION ET DÉRIVATION

• Exemple: Pourn∈Non a

¯¯

¯e− Xn k=0

1 k!

¯¯

¯≤ e (n+ 1)!

En particulier

Xn k=0

1

k! −−−−−→

n→+∞ e Exercice: Montrer que pour toutx∈R

Xn k=0

x^k

k! −−−−−→

n→+∞ e^x

16.4 Primitives usuelles et Méthodes

voir Fiche 10

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