;B Temps d’attente, lois de probabilités continues C< Table des Matières

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Table des Matières

I. Loi de probabilité à densité 1

I. A. Définition de la densité . . . . 1

I. B. Propriétés . . . . 2

I. C. Fonction de répartition F . . . . 2

I. D. Espérance . . . . 3

I. E. Écart-type . . . . 3

II. Loi uniforme 4 II. A. Fonction de densité de la loi uniforme . . . . 4

II. B. Fonction de répartition de la loi uniforme . . . . 5

II. C. Espérance et écart-type de la loi uniforme . . . . 5

III.Loi exponentielle 6 III. A.Fonction de densité de la loi exponentielle . . . . 7

III. B.Fonction de répartition F de la loi exponentielle . . . . 7

III. C.Espérance et écart-type de la loi exponentielle . . . . 8

III. D.Loi de probabilité continue sans mémoire . . . . 8

;B Temps d’attente, lois de probabilités continues C<

Pour l’ensemble du cours, les courbes sont tracées dans un repère orthogonal ³ O ; − →

i , − → j ´

.

I. Loi de probabilité à densité

I. A. Définition de la densité

Soit X est une variable aléatoire qui à chaque issue d’un univers associe un sous intervalle I = [a ; b ] de R = ] − ∞ ; + ∞ [, et f une fonction :

• continue par morceaux sur R

• positive sur R

• Z _+∞

−∞

f (t )dt = 1

On dit que X suit la loi de densité f .

La loi de probabilité de densité f sur R est telle que pour tout intervalle I = [a ; b] contenu dans R , la probabilité de l’événement {X ∈ I } est :

L’aire de l’ensemble des points M de coordonnées (x ; y ) tels que a 6 _x 6 _b et 0 6 _y 6 _f (x).

On note alors : P (X ∈ I ) = P (a 6 _X 6 b) = Z b

a f (t )dt J Définition

TExercice 1

Soit f définie sur [ − 1 ; 1] par f (x) = 0,5x + 0,5 et f (x) = 0 sur R \ [ − 1 ; 1].

1. Montrer que f est une fonction de densité sur R . 2. Calculer P( − 0,5 < X < 0,25).

3. ∀x ∈ [ − 1 ; 1], déterminer F (x) = P (X 6 x) = P ( − 1 < X 6 x).

Illustration :

P (X ∈ R ) = R _+∞

−∞ f (t )dt = 1 P(X ∈ I ) = R b a f (t )dt

0 1 2

− 1

− 2

0 1

0 1 2

− 1

− 2

0 1

b

a

b

b

GeoGebra

I. B. Propriétés

Soit X une variable aléatoire continue sur un intervalle I , munie d’une fonction de densité f sur R .

• P (X ∈ R ) = 1 (représente la probabilité de l’univers)

• 0 6 P (X ∈ I ) 6 1 (une probabilité est comprise entre 0 et 1)

• ∀c ∈ R ,P (X = c) = 0 et ∀c ∈ R , P(X < c) = P(X 6 c) (propriété propre au variable continue, en un point c, la probabilité est nulle)

• Si [c ; d ] ∩ [k ; l] = ; alors P (X ∈ [c ; d] ∪ [k ; l]) = P (X ∈ [c ; d]) + P (X ∈ ∪ [k ; l ]) (union disjointe ou incompatible)

• ∀ c ∈ [a ; b], P (X ∈ [a ; c]) + P (X ∈ [c ; b]) = P (X ∈ [a ; b ]) (relation de Chasles) J Propriété

TDémonstration 1 Admise

I. C. Fonction de répartition F

Soit une variable aléatoire continue sur un intervalle R , munie d’une fonction de densité f sur I . On appelle fonction de répartition F sur R la fonction qui à un nombre réel x associe

F (x) = P (X 6 x) = R x

−∞ f (t)dt .

F : R → R

x 7→ F (x) = P (X 6 x) = Z x

−∞

f (t )dt J Définition

On reprend la fonction de densité définie que [ − 1 ; 1] par f (x) = 0,5x + 0,5. La représentation de la fonction de répartition établie dans l’exercice 1 est la suivante :

0 1 2

− 1

− 2

0 1

bb

b

GeoGebra J Exemple

a et b sont deux nombres réels, a < b . 1. lim

x →+∞ F(x) = Z _+∞

−∞ = 1.

2. P (X > x) = 1 − F(x).

J Propriété

TDémonstration 2 Évidente

I. D. Espérance

Soit X une variable aléatoire continue sur [a;b ] , munie d’une fonction de densité f sur R . L’espérance de densité f sur R est

E (X) = Z _+∞

−∞

x f (x)dx.

J Définition

TExercice 2

Soit f la fonction de densité associée à une variable X , f est définie sur [ − 1;1] par f (x) = 0,5x+ 0,5 et f (x) = 0 sur R \ [ − 1;1].

Calculer l’espérance E (x).

I. E. Écart-type

Soit X une variable aléatoire continue sur R , munie d’une fonction de densité f sur R .

• La variance de densité f sur R est V (X ) =

Z _+∞

−∞

f (x)(x − E(X )) ² dx.

• L’écart-type de densité f sur I est p V (X ).

J Définition

V (X ) = Z _+∞

−∞

x ² f (x)dx − E (X ) ² = E (x ² ) − E(X ) ² . J Propriété

TDémonstration 3 Laisser en exercice

TExercice 3

Soit f la fonction de densité associée à une variable X , f est définie sur [ − 1;1] par f (x) = 0,5x + 0,5 et f (x) = 0 sur R \ [ − 1;1].

Déterminer la variance V (X ) et l’écart-type σ (X ).

II. Loi uniforme

TActivité 1

a et b sont deux nombres réels, a < b.

Soit la fonction f définie sur R par :

f : R → R t 7→ f (t ) =







∀ t ∈ [a ; b], f (t ) = 1 b − a

∀ t ∈ R \ [a ; b], f (t ) = 0

Représentation de la fonction f P (c < X < d )

b

1 b − a

b

a

b

b

b

1 b − a

b

a

b

b

b

c

b

d

GeoGebra 1. Montrer que f est une loi de densité de probabilité.

2. Déterminer l’expression de la fonction de répartition F . 3. Calculer l’espérance E (X ) et l’écart-type σ (X).

II. A. Fonction de densité de la loi uniforme

a et b sont deux nombres réels, a < b .

La fonction de densité de la loi uniforme de paramètres a et b est définie sur R par : f : R → R

t 7→ f (t ) =







∀ t ∈ [a ; b ], f (t ) = 1 b − a

∀ t ∈ R \ [a ; b ], f (t ) = 0

Représentation de la fonction f P (c < X < d)

b

1 b − a

b

a

b

b

b

1 b − a

b

a

b

b

b

c

b

d

GeoGebra

J Définition

II. B. Fonction de répartition de la loi uniforme

Avec les notations précédentes, la fonction F de la loi uniforme de paramètres a et b vérifie :

• ∀x < a ,F (x) = 0.

• ∀ x ∈ [a ; b], F (x) = x − a b − a .

• ∀ x > b,F (x) = 1.

b

b

1 b − a

b

a

b

b

b

d

b

1

GeoGebra J Propriété

TDémonstration 5 Voir l’activité 1

II. C. Espérance et écart-type de la loi uniforme

l’espérance E d’une loi uniforme de paramètres a et b est :

E(x) = b + a 2 l’écart-type d’une loi uniforme de paramètres a et b est :

σ (x) = b − a 2 p

3 J Propriété

TDémonstration 6

Voir l’activité 1

TExercice 4

À la station du boulevard Georges Périn, un bus passe toutes les 6 minutes. On note X le temps d’attente d’une personne à l’arrêt de bus. On admet que X suit une loi continue uniforme sur l’intervalle [0;6].

1. Donner la fonction de densité associée à la situation et sa représentation graphique. GeoGebra 2. Quelle est la probabilité que la personne attende exactement 4 minutes.

3. Calculer la probabilité que la personne attende entre 3 et 4 minutes.

4. Calculer que la personne attende moins de 2 minutes.

5. Calculer l’espérance E (X ) et l’écart-type σ (X) de la variable aléatoire X .

III. Loi exponentielle

TActivité 2

Soit λ un nombre réel strictement positif.

Soit la fonction f définie sur R par :

f : R → R t 7→ f (t ) =

½ ∀ t ∈ ] − ∞ ; 0], f (t) = 0

∀ t ∈ [0 ; + ∞ [ = λ e ^{− λ t}

Représentation de la fonction f P (a < X < b)

b

λ

b

a

b

b

b

λ

GeoGebra 1. Montrer que f est une fonction de densité.

2. Déterminer l’expression la fonction de répartition F.

3. À l’aide d’un logiciel de calcul formel, déterminer l’espérance E(X ) et l’écart-type σ (X ).

III. A. Fonction de densité de la loi exponentielle

Soit λ un nombre réel strictement positif.

La fonction de densité de la loi exponentielle de paramètre λ est définie sur R par : f : R → R

t 7→ f (t ) =

½ ∀ t ∈ ] − ∞ ; 0], f (t ) = 0

∀ t ∈ [0 ; + ∞ [ = λ e ^{− λ t}

Représentation de la fonction f P (a < X < b )

b

λ

b

a

b

b

b

λ

GeoGebra J Définition

TDémonstration 7

La fonction f est une fonction de densité d’après l’activité 2

III. B. Fonction de répartition F de la loi exponentielle

Avec les notations précédentes, la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre λ vérifie :

• ∀ x < 0, F(x) = 0.

• ∀ x ∈ [0 ; + ∞ [,F (x) = 1 − e ^{− λ x} .

b

b

1

b

b

b

λ

GeoGebra J Propriété

TDémonstration 8

Voir l’activité 2

III. C. Espérance et écart-type de la loi exponentielle

l’espérance E d’une loi exponentielle de paramètres λ est :

E(x) = 1 λ l’écart-type d’une loi exponentielle de paramètres λ est :

σ (x) = 1 λ J Propriété

TDémonstration 9 Voir l’activité 2

TExercice 5

La durée de vie d’une tablette, exprimée en années, est une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle de paramètre λ . On admet qu’en moyenne, une tablette a une durée de vie de 8 ans.

1. Quelle est la valeur de λ ?

2. Déterminer la probabilité qu’une tablette ait une durée de vie inférieure à 2 ans.

3. Déterminer la probabilité qu’une tablette ait une durée de vie supérieure à 10 ans.

4. Déterminer la probabilité qu’une tablette ait une durée de vie comprise entre 7 ans et 9 ans.

III. D. Loi de probabilité continue sans mémoire

TActivité 3

Soit une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ et t un réel positif 1. Justifier que P (X ∈ [t ; + ∞ [) = 1 − P (X ∈ [0 ; t ]).

En déduire P (X ∈ [t ; + ∞ [).

2. Soit s un réel positif, montrer que P X ∈[t ; +∞[ (X ∈ [t + s ; + ∞ [) = P ([s ; + ∞ [).

3. Montrer que P _{X ∈[t ; +∞[} (X ∈ [t ; t + s]) = P ([0 ; s]).

m et n sont deux réels strictement positifs non nuls.

• Si X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ alors elle est sans mémoire, c’est à dire :

P X >n (X > m +n ) = P (X > m)

• (réciproque) Si X qui suit une loi continue sans mémoire, c’est à dire P _{X >n} (X > m + n) = P (X > m) alors, en posant λ = 1

E(X ) , X suit une loi exponentielle de paramètre λ .

J Propriété

TExercice 6

On reprend l’exercice précédent.

La durée de vie d’une tablette, exprimée en années, est une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle de paramètre λ = 1

8 .

Si une tablette fonctionne 2 ans (elle a donc une durée de vie supérieure à 2 ans), quelle est la probabilité

qu’elle fonctionne au moins 5 ans ?