Fonctions de référence Table des matières

Fonctions de référence

Table des matières

I Généralités sur les fonctions . . . 1

II Fonctions affines . . . 2

II.1 Définition :. . . 2

II.2 Variations . . . 3

II.3 Interprétation du coefficient directeur . . . 3

III Fonction carré . . . 4

IV Fonction inverse . . . 5

V Fonction racine carrée . . . 7

VI Fonction cube . . . 9

I Généralités sur les fonctions

SoitDun intervalle deRou une réunion d’intervalles.

Une fonction numérique f est un procédé qui, à chaque nombre dexdeD _{associe ununiquenombre,} notéf(x).

Le réelxest appelé lavariable.

f(x) estl’imagedexpar f.

L’ensemble de définition def,D_f, est l’ensemble des valeurs our lesquelles f(x) existe.

xest un antécédent def(x).

On écrit : f : D_→R x7→f(x)

Remarques

• Un nombre ne peut avoir qu’une seule image par une fonctionf.

• Un nombre peut avoir plusieurs antécédents par f ; exemple : pour f(x)=x², on a f(−2)= f(2)=4 donc 4 a deux antécédents par f

Exemples :

1. SurR, on considère la fonctionf :x7→3x²+5x−4.

Calculer les images de 0, 3, 5 et -1.

• f(0)=3×0²+5×0−4= −4

• f(3)=38

• f(5)=3×5²+5×5−4=96

• f(−1)=3×(−1)²+5×(−1)−4= −5

2. D_=R.g(x)=x²_.

Quels sont les antécédents de -4 ? de 2 ? -1 a-t-il des antécédents ?

Réponses :

xest un antécédent de−4 sig(x)= −4, doncx²= −4.

Or,x²Ê0 doncx²ne peut pas Ítre égal à -4 qui est négatif.

-4 n’a pas d’antécédent.

Les antécédents de 2 sont les nombresxtels quex²=2, doncx²=2.

2 a donc pour antécédents−p 2 etp

2.

(rappel : pour a Ê0, l’équation x²= a possède deux solutions, −p

a et p

a; en effet, x² =a s’écrit x²−a=0, d’oùx²−¡p

a¢2

=0 soit¡ x+p

a¢ ¡ x−p

a¢

=0 après factorisation ; on a bien les deux solutions proposées, en utilisant le fait qu’une produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un des facteurs est nul. )

xest un antécédent de -1 si et seulement sig(x)= −1, donc si et seulement six²= −1, ce qui est impos- sible carx²Ê0.

-1 n’a pas d’antécédent parg.

Courbe représentative

Soitf une fonction définie surD_.

La courbeC_f, représentative def, est l’ensemble des pointsM(x; f(x)) oùx∈D_. xest donc l’abscisse etf(x) l’ordonnée d’un pointMde la courbeC_f.

II Fonctions affines

II.1 Définition :

Définition

Une fonction f, définie surRest affine s’il existe deux réelsaetbtel que, pour toutx, f(x)=ax+b.

Propriété

Soitf :x7→ax+bune fonction affine.

La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.

a est le coefficient directeur etb l’ordonnée à l’origine, c’est-à-dire que la droite passe par le point de coordonnées (0 ;b).

II.2 Variations

Théorème

Soitf une fonction affine définie par :f(x)=ax+b.

• f est croissante si, et seulement si,a>0.

• f est constante si, et seulement si,a=0.

• f est décroissante si, et seulement si,a<0.

Démonstration :

Soient deux nombres quelconquesx₁etx₂, avecx₁<x₂.

f(x2)−f(x1)=(ax1+b)−(ax2+b)=ax1+ −ax2−b=a(x2−x1).

Commex₂−x₁est positif,f(x2)−f(x1) est feu signe dea, donc positif sia>0 (f est alors croissante), constant sia=0 et négatif (donc f décroissante) sia<0.

Poura>0 :

x −∞ −b

a +∞

f(x) _✯✟

✟✟ 0

✟

✟✯

✟

Poura<0 :

x −∞ −b

a +∞

f(x) ^❍❍❥❍ 0

❍❍❍❥

II.3 Interprétation du coefficient directeur

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

1 2 3

−1

∆x =1

∆y=m Interprétation graphique dem :m=∆y

∆x

donc∆y=m∆x. Si l’on prend∆x =1, on a∆y=m.

Autrement dit : si l’on se déplace de 1 unité parallèlement à l’axe des abscisses, on se déplace en même temps demparallèlement à l’axe des ordonnées.

Remarque :si l’on se déplace dek unités parallèlement à l’axe des abscisses, on se délace dans le même temps dekmunités parallèle- ment à l’axe des ordonnées.

On peut facilement visualiser l’influence des deux paramètres, coefficient directeur et ordonnée à l’origine, à l’aide d’un ordinateur.

On peut par exemple voir les deux fichiers suivants qui montrent ce qui se passe quand on fait varier l’ordonnée à l’origine pour le prier, le coefficient directeur pour le second. (Il faut avoir Java sur son or- dinateur).

• cliquer survariations de l’ordonnée à l’origine

• cliquer survariations du coefficient directeur

III Fonction carré

Définition

On appelle fonction carré la fonction f :x7→x²

Propriétés

• L’ensemble de définition estD_{f =R.}

• La fonction est décroisante sur ]− ∞; 0] et croissante sur [0 ; +∞[

• La courbe représentative de f s’appelle une parabole et elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Pour tracer la courbe, on calcule des coordonnées de points.

Comme la courbe est symétrique, on se limite à des valeurs positives et on construit les points symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.

x 0 1

2 1 2 3

f(x)=x² 0 1

4 1 4 9

La courbe représentative de la fonction carré est appeléeparabole.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1 1 2 3

−1

−2

−3 O× × ×

×

×

Applications

Exercice :comparer les carrés des nombres suivants : a) 0,2²et 0,21²

b) (−2,4)²et (−2,41)² c) (−3,1)²et 4,2 Solution :

a) 0,2 et 0,21 sont positifs ; sur [0 ; +∞[, la fonctionf :x7→x²est croissante.

0,2<0,21 donc f(0,2)<f(0,21) donc 0,2²<0,21²

b) -2,4 et -2,41 sont négatifs ; sur ]− ∞; 0], f est décroissante.

−2,4> −2,41 ; commef est décroissante,f renverse l’ordre, donc (−2,4)²< −2,41².

c) (−3,1)²=3,1²donc il suffit de comparer 3,1²et 4,2².

3,1 et 4,2 sont positifs et 3,1<4,2 ; sur [0 ;+∞[,f est croissante, donc 3,1²<4,2², d’où (−3,1)²<4,2² Exercice: résoudre graphiquement l’équationx²=3x+2.

On pose f(x)=x²etg(x)=3x+2.

On trace les courbes représentatives de ces fonctions. Les solutions éventuelles de cette équation sont les abscisses des points d’intersection de ces deux courbes.

Puisqu’il s’agit d’une lecture graphique, les valeurs trouvées sont des valeurs approchées des solutions. la méthode pour trouver les valeurs exactes sera vue en Première.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

−1

−2

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5

×

×

x₁ x₂

On trouve deux solutions :x₁≈ −0,5 etx₂≈3,6

Calcul de ces deux solutions : on résout l’équationx²=3x+2.

L’équation s’écritx²−3x−2=0, équation de second degré.

∆=17>0 ; on a bien deux solutions.

x₁=3−p 17

2 etx₂=3+p 17 2

IV Fonction inverse

Définition

On appelle fonction inverse la fonctionx7→ 1 x

Propriété

La fonction inversex7→ 1

x est définie surR^∗=R\ {0}=]− ∞; 0[∪]0 ; +∞[.

Propriété

f :x7→x²est décroissante sur ]− ∞; 0] et décroissante sur [0 ; +∞[.

Démonstration :

• Sur [0 ;+∞[ : soient deux réelsx₁etx₂quelconques de ]0 ; +∞[ avec 0Éx₁<x₂. Il s’agit de comparer les nombresf (x₁)= 1

x₁ etf (x₂)= 1 x₂. f (x2)−f (x1)= 1

x₂− 1

x₁=x₁−x₂ x₁x₂ .

x₁−x₂<0 carx₁<x₂;x₁x₂>0 comme produit de nombres positifs. Les images sont classées dans l’ordre inverse des antécédents, doncf estdécroissantesur ]0 ;+∞[.

• Sur ]− ∞; 0[ : soient deux réelsx₁etx₂quelconques de ]− ∞; 0[ avecÉx₁<x₂<0.

On a le mÍme calcul :f (x₂)−f (x₁)= 1 x₂− 1

x₁= x₁−x₂ x₁x₂ .

x1−x2<0 carx1<x2;x1x2>0 comme produit de nombres négatifs. Les images sont classées dans l’ordre inverse des antécédents, doncf estdécroissantesur ]− ∞; 0[.

Tableau de variation :

0 est une valeur interdite, donc il faut mettre une double-barre en dessous de 0.

x −∞ 0 +∞

f(x) 0

❅❅

❅

❘

❅❅

❅

❘ 0

Courbe représentative

Pour tracer la courbe, on trace la partie correspon- dant à des abscisses positives en calculant les coor- données de quelques points.

x 1

4

1

2 1 2 4

f(x)=1

x 4 2 1 1

2

1 4

La courbe représentative de la fonction inverse est appelée hyperbole. Elle est constituée de deux branches, symétriques par rapport à l’origineO.

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5

1 2

−1

−2

−3 O

C

Applications Exercice :comparer les nombres suivants : a) 1

0,2 et 1 0,3 b) − 1

2,4et− 1 2,5 c) − 1

3,1et 1 4,2 Solutions :

a) 0,2 et 0,3 sont positifs ; sur ]0 ; +∞[, la fonctionf :x7→ 1

x est décroissante.

0,2<0,3 donc f(0,2)>f(0,3) donc 1 0,2> 1

0,3

b) -2,4 et -2,5 sont négatifs ; sur ]− ∞; 0[, f est décroissante.

−2,4> −2,5 ; commef est décroissante,f renverse l’ordre, donc (− 1

2,4)< − 1 2,5 . c) −3,1<0 et 4,2>0 donc− 1

3,1<0 et 1

4,2>0 donc − 1 3,1< 1

4,2 .

Remarque: ici, on ne pouvait pas utiliser les variations de la fonction inverse, car les nombres -3,1 et 4,2 ne sont par dans les mêmes intervalles définition de la fonction inverse.

V Fonction racine carrée

Définition

• Soitxun réel positif. On appelle racine carrée dex, notéep

x, le nombre positif dont le carré estx.

• On appelle fonction racine carrée la fonction f :x7→p

x. Elle est définie sur [0 ;+∞[.

Propriété

La fonction racine carrée est croissante sur [0 ;+∞[.

Démonstration:

On prend deux nombresaetbquelconques de [0 ;+∞[ aveca<b.

Il s’agit de comparerp aetp

b.

b−a=p b²−p

a²=

³p b+p

a´ ³p b−p

a´ . b−a>0 etp

b+p

a>0 doncp b−p

a>0.

Par conséquent :p a<p

b.

Les images sont classées dans le même ordre que les antécédents : la fonction est croissante.

Courbe représentative

La courbe représentative de la fonction racine carrée est une demi-parabole, d’axe (Ox).

1 2 3

−1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1 ^f

Remarque :la courbe représentative de la fonction racine carrée est symétrique de la parabole associée à la fonction carré sur [0 ;= ∞[

1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1

bA

bB

O

y=p x y=x²

y=x

Applications.

1. Résoudre dansR: (a) p

x=5 (b) p

xÉ5 (c) p

x>5 2. Résoudre dansR:

(a) p x= −3 (b) p

x> −3

VI Fonction cube

Définition

On appelle fonction cube la fonctionf :x7→x³. Elle est définie surR.

Propriété

La fonction cube est croissante surR.

Démonstration:

On prend deux nombresaetbquelconques réels aveca<b.

Il s’agit de comparera³etb³.

• Siaest négatif etbpositif,a³est négatif etb³est positif, donca³<b³

• On supposeaetbde même signe. Le produitabest positif.

a<b a<b a<b

En multipliant para² En multipliant parab En multipliant parb² a³<a²b a²b<ab²ab²<b³.

On en déduita³<b³. Les images sont classées dans le même ordre que les antécédents : la fonction est croissante.

Courbe représentative

La courbe est représentative par rapport à l’origine.

1 2 3 4 5 6 7 8

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

−9

1

−1

−2

f

Applications. Résoudre dansR: 1. x³=8

2. x³É8 3. x³>8