Exercices sur le second degré
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I
Pour chacune des courbes ci-dessous, préciser : le signe de a, b, c,α,β,∆,x1etx2(lorsqu’ils existent).
Précision sur ces nombres : les courbes proposées sont représentatives d’une fonction du second degré f :x7→ax2+bx+c.
Les courbes représentatives sont des paraboles, dont le sommet estS(α; β).
∆=b2−4ac(discriminant).
x1etx2sont les solutions (si elles existent) de l’équationax2+bx+c=0.
Figure 1
b
b b
f Figure 2
b b b
f
Figure 3
b b
b
f Figure 4
b
b
b
f
• Sia>0, la parabole est tournée vers le haut ; sia<0, elle est tournée vers le bas.
On en déduit quea>0 pour les figures 1, 3 et 4 ;a<0 pour la figure 2
• c=f(0), donccest l’ordonnée du point d’intersection de la parabole avec l’axe des ordonnées.
On en déduit quec>0 pour les courbes 1, 2 et 3, etc<0 pour la courbe 4.
• a) La courbe 1 n’a pas de point d’intersection avec l’axe des abscisses; l’équationax2+bx+c=0 n’a donc pas de solution :∆<0.
b) La courbe 3 touche l’axe des abscisses en un seul point : l’équation ax2+bx+c =0 n’a donc qu’une solution :∆=0.
c) Les courbes 2 et 4 nt deux points d’intersection avec l’axe des abscisses : l’équationax2+bx+c =0 a donc deux solutions :∆>0.
• αest l’abscisse du sommet de la parabole :α>0 pour les figures 2 et 3 ;α<0 pour les figures 1 et 4.
• βest l’ordonnée de ce même sommet :β<0 pour la figure 4 ;β=0 pour la figure 3 etβ>0 pour les figures 1 et 2.
• x1etx2existent pour les figures 2 et 4 ; les deux nombres sont de signes contraires.
• On remarque queα= − b
2a, donc connaissant le signe deαet celui de a, on peut trouver celui deb car b= −2aα.
Courbe Courbe 1 Courbe 2 Courbe 3 Courbe 4
Signe dea + - + +
Signe de−2a - + - -
Signe deα - + + -
Signe deb= −2aα + + - +
II Équations, inéquations
Résoudre : (E1) : 3x+5=5x−1 ; (E2) :x2−5x+6=0 ; (E3) :−2x2−3x+1=0 (I1) :−3x+15<5x+1 ; (I2) :−3x2+x−2<0
• 3x+5=5x−1⇔3x+5−5=5x−1−5⇔3x=5x−6⇔3x−5x⇔5x−6−5x⇔ −2x= −6
⇔−2x
−2 =−6
−2⇔ x=3.
L’ensemble des solutions est S ={3}.
• Soit l’équation :x2−5x+6=0.
Le discriminant est∆=(−5)2−4×1×6=25−24=1>0.
Il y a deux solutions :x1=−(−5)−p 1
1×1 =5−1
2 =2 etx−2=5+1 2 =3.
L’ensemble des solutions est S ={2 ; 3} .
• Soit l’équation :−2x2−3x+1=0.
∆=(−3)2−4×(−2)×1=9+8=17>0.
Il y a deux solutions :x1=−(−5)−p 17
2×1 =5−p 17
2 etx2=5+p 17
2 .
L’ensemble des solutions est S =
(5−p 17
2 ; 5+p 17 2
)
• Soit l’inéquation :−3x+15<5x+1. (inéquation du premier degré)
−3x+15<5x+1⇔ −3x−5x+15−15<5x−5x+1−15⇔ −8x< −14⇔ −8x
−8x>−14
−8 ⇔x>14 8 =7
4.
L’inégalité a changé de sens car nous avons divisé par un nombre négatif. L’ensemble des solutions est : S =
¸7 4; +∞
· .
• Soit l’inéquation :−3x2+x−2<0.
C’est une inéquation du second degré : le discrimantn vaut∆=12−4×(−3)×(−2)=1−24= −23<0.
Il n’y a pas de racine : l’expression est du signe dea= −3 (coefficient dex2) pour toutx.
x −∞ +∞
−3x2+x−2<0 − L’expression est toujours négative, donc l’ensemble des solutions est S =R.
III
Voici la courbe représentative d’une fonctionf.
−1
−2 1 2 3
1 2 3
−1
−2
−3
−4
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
C
D
À l’aide du graphique :
1. Déterminer l’ensemble de définition de f.
f est définie sur l’intervalle [−2si,e t seul ement si,4] : D=[−2 ; 4]. 2. Déterminer f(−2);f(2) et f(0).
• f(−2)=3, f(2)=0 et f(0)=1.
3. Déterminer tous les antécédents de -1 par f.
On cherche les abscisses des points de la courbe ayant une ordonnée égale à 1 : l’ensemble des solutions est
S ={−1,6 ; 0 ; 1,5).
4. Résoudre graphiquement l’inéquation (I1) : f(x)>1.
On cherche l’ensemble des abscisses des points de la courbe ayant une ordonnée strictement supérieure à 1 :
S =]−1,6 ; 0[∪]2,5 ; 4].
5. Résoudre graphiquement l’inéquation (I2) : f(x)> −x+1.
Pour cela, on trace la droiteDd’équationy= −x+1.
Les solutions de cette inéquation sont les abscisses des points pour lesquels la courbeC est au-dessus de la droiteD.
L’ensemble des solutions est S =]−1,4 ; 0[∪]1,8 ; 4[. 6. Etablir le tableau de variations de f.
On obtient :
x −2 −1 1 4
f(x)
−1
✒ 3
❅❅
❅
❘
−1,5
✒
2 7. Etablir le tableau de signes de f.
On obtient :
x −2 −1,8 0,2 2 4 f(x) − 0 + 0 −0+
IV Décrypteur de trinôme
Soitf la fonction définie surRpar f(x)= −2x2−4x+3.
1. Décrire l’allure de la courbe représentative de f.
f est une fonction polynôme du second degré; sa courbe représentative est une parabole, tournée vers le bas puisque le coefficient dex2est égal à -2, nombre négatif.
2. Déterminer les coordonnées du sommet deCf.
−2x2−4x+3=ax2+bx+caveca= −2,b= −4 etc=3.
L’abscisse du sommet estα= − b
2a= − −4
2×(−2)= −1.
l’ordonnée estβ=f(α)=f(−1)=5.
Le sommet estS(−1 ; 5).
3. En déduire la forme canonique de f.
La forme canonique de f est : f(x)=a(x−α)2+βdonc f(x)= −2(x+1)2+5. 4. Décrire les variations de f.
a<0 donc f est croissante sur ]− ∞; −1] puis décroissante sur [−1 ; +∞[.
5. Etablir le tableau de variations de f.
Le tableau de variation de f est :
x −∞ −1 +∞
f(x)
−∞
✒ 5
❅❅
❅
❘
−∞
6. Résoudre l’équation (E) : f(x) = 0.
f(x)=0⇔ −2x2−4x+3=0.
On calcule le discriminant :
∆=(−4)2−4×(−2)×3=16+24=40>0.
il y a deux solutions : x1=−b−p
∆
2a =4−p 40
−4 =4−p 22×10
−4 =4−2p 10
2×(−2) =2(2−p 10)
2×(−2) =2−p 10
−2 = −2−p 10
2 et x2= −2+p 10
2 .
S = (
−2+p 10
2 ; −2−p 10 2
! . 7. En déduire la position deCf.
Remarque: cette question ne veut rien dire! Position deCf par rapport à quoi?.
Je suppose que l’enseignant attend les positions d cela courbe par rapport à l’axe des abscisses.
Cf est en dessous de l’axe des abscisses sur
#
−∞; −2+p 10 2
#
ainsi que sur
"
−2−p 10
2 ; +∞
"
et en dessous sur
"
−2+p 10
2 ; −2−p 10 2
# . 8. En déduire la forme factorisée de f.
La forme factorisée de f(x) est : f(x)=a(x−x1)(x−x2).
On en déduit :f(x)= −2 Ã
x+2+p 10 2
! Ã
x+1+p 10 2
! . 9. Etablir le tableau de signes de f.
D’après le cours, on sait que f(x) est du signe dea= −2 (donc négatif) pourxappartenant à l’espérer de l’intervalle formé par les racontes et du signe deaentre les racines.
Par conséquent :
x −∞ −2+p 10
2 −2−p 10
2 +∞
f(x) − 0 + 0 −