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Exercices sur le second degré Lien internet : cliquer ici

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Academic year: 2022

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(1)

Exercices sur le second degré

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I

Pour chacune des courbes ci-dessous, préciser : le signe de a, b, c,α,β,∆,x1etx2(lorsqu’ils existent).

Précision sur ces nombres : les courbes proposées sont représentatives d’une fonction du second degré f :x7→ax2+bx+c.

Les courbes représentatives sont des paraboles, dont le sommet estS(α; β).

∆=b2−4ac(discriminant).

x1etx2sont les solutions (si elles existent) de l’équationax2+bx+c=0.

Figure 1

b

b b

f Figure 2

b b b

f

Figure 3

b b

b

f Figure 4

b

b

b

f

(2)

• Sia>0, la parabole est tournée vers le haut ; sia<0, elle est tournée vers le bas.

On en déduit quea>0 pour les figures 1, 3 et 4 ;a<0 pour la figure 2

c=f(0), donccest l’ordonnée du point d’intersection de la parabole avec l’axe des ordonnées.

On en déduit quec>0 pour les courbes 1, 2 et 3, etc<0 pour la courbe 4.

• a) La courbe 1 n’a pas de point d’intersection avec l’axe des abscisses; l’équationax2+bx+c=0 n’a donc pas de solution :∆<0.

b) La courbe 3 touche l’axe des abscisses en un seul point : l’équation ax2+bx+c =0 n’a donc qu’une solution :∆=0.

c) Les courbes 2 et 4 nt deux points d’intersection avec l’axe des abscisses : l’équationax2+bx+c =0 a donc deux solutions :∆>0.

αest l’abscisse du sommet de la parabole :α>0 pour les figures 2 et 3 ;α<0 pour les figures 1 et 4.

βest l’ordonnée de ce même sommet :β<0 pour la figure 4 ;β=0 pour la figure 3 etβ>0 pour les figures 1 et 2.

x1etx2existent pour les figures 2 et 4 ; les deux nombres sont de signes contraires.

• On remarque queα= − b

2a, donc connaissant le signe deαet celui de a, on peut trouver celui deb car b= −2aα.

Courbe Courbe 1 Courbe 2 Courbe 3 Courbe 4

Signe dea + - + +

Signe de−2a - + - -

Signe deα - + + -

Signe deb= −2aα + + - +

II Équations, inéquations

Résoudre : (E1) : 3x+5=5x−1 ; (E2) :x2−5x+6=0 ; (E3) :−2x2−3x+1=0 (I1) :−3x+15<5x+1 ; (I2) :−3x2+x−2<0

• 3x+5=5x−1⇔3x+5−5=5x−1−5⇔3x=5x−6⇔3x−5x⇔5x−6−5x⇔ −2x= −6

⇔−2x

−2 =−6

−2⇔ x=3.

L’ensemble des solutions est S ={3}.

• Soit l’équation :x2−5x+6=0.

Le discriminant est∆=(−5)2−4×1×6=25−24=1>0.

Il y a deux solutions :x1=−(−5)−p 1

1×1 =5−1

2 =2 etx−2=5+1 2 =3.

L’ensemble des solutions est S ={2 ; 3} .

• Soit l’équation :−2x2−3x+1=0.

∆=(−3)2−4×(−2)×1=9+8=17>0.

Il y a deux solutions :x1=−(−5)−p 17

2×1 =5−p 17

2 etx2=5+p 17

2 .

L’ensemble des solutions est S =

(5−p 17

2 ; 5+p 17 2

)

• Soit l’inéquation :−3x+15<5x+1. (inéquation du premier degré)

−3x+15<5x+1⇔ −3x−5x+15−15<5x−5x+1−15⇔ −8x< −14⇔ −8x

−8x>−14

−8 ⇔x>14 8 =7

4.

(3)

L’inégalité a changé de sens car nous avons divisé par un nombre négatif. L’ensemble des solutions est : S =

¸7 4; +∞

· .

• Soit l’inéquation :−3x2+x−2<0.

C’est une inéquation du second degré : le discrimantn vaut∆=12−4×(−3)×(−2)=1−24= −23<0.

Il n’y a pas de racine : l’expression est du signe dea= −3 (coefficient dex2) pour toutx.

x −∞ +∞

−3x2+x−2<0 − L’expression est toujours négative, donc l’ensemble des solutions est S =R.

III

Voici la courbe représentative d’une fonctionf.

1

2 1 2 3

1 2 3

1

2

3

4

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

C

D

À l’aide du graphique :

1. Déterminer l’ensemble de définition de f.

f est définie sur l’intervalle [−2si,e t seul ement si,4] : D=[2 ; 4]. 2. Déterminer f(−2);f(2) et f(0).

f(−2)=3, f(2)=0 et f(0)=1.

3. Déterminer tous les antécédents de -1 par f.

On cherche les abscisses des points de la courbe ayant une ordonnée égale à 1 : l’ensemble des solutions est

S ={1,6 ; 0 ; 1,5).

(4)

4. Résoudre graphiquement l’inéquation (I1) : f(x)>1.

On cherche l’ensemble des abscisses des points de la courbe ayant une ordonnée strictement supérieure à 1 :

S =]1,6 ; 0[]2,5 ; 4].

5. Résoudre graphiquement l’inéquation (I2) : f(x)> −x+1.

Pour cela, on trace la droiteDd’équationy= −x+1.

Les solutions de cette inéquation sont les abscisses des points pour lesquels la courbeC est au-dessus de la droiteD.

L’ensemble des solutions est S =]1,4 ; 0[]1,8 ; 4[. 6. Etablir le tableau de variations de f.

On obtient :

x −2 −1 1 4

f(x)

−1

3

−1,5

2 7. Etablir le tableau de signes de f.

On obtient :

x −2 −1,8 0,2 2 4 f(x) − 0 + 0 −0+

IV Décrypteur de trinôme

Soitf la fonction définie surRpar f(x)= −2x2−4x+3.

1. Décrire l’allure de la courbe représentative de f.

f est une fonction polynôme du second degré; sa courbe représentative est une parabole, tournée vers le bas puisque le coefficient dex2est égal à -2, nombre négatif.

2. Déterminer les coordonnées du sommet deCf.

−2x2−4x+3=ax2+bx+caveca= −2,b= −4 etc=3.

L’abscisse du sommet estα= − b

2a= − −4

2×(−2)= −1.

l’ordonnée estβ=f(α)=f(−1)=5.

Le sommet estS(−1 ; 5).

3. En déduire la forme canonique de f.

La forme canonique de f est : f(x)=a(xα)2+βdonc f(x)= −2(x+1)2+5. 4. Décrire les variations de f.

a<0 donc f est croissante sur ]− ∞; −1] puis décroissante sur [−1 ; +∞[.

5. Etablir le tableau de variations de f.

Le tableau de variation de f est :

x −∞ −1 +∞

f(x)

−∞

5

−∞

6. Résoudre l’équation (E) : f(x) = 0.

f(x)=0⇔ −2x2−4x+3=0.

(5)

On calcule le discriminant :

∆=(−4)2−4×(−2)×3=16+24=40>0.

il y a deux solutions : x1=−b−p

2a =4−p 40

−4 =4−p 22×10

−4 =4−2p 10

2×(−2) =2(2−p 10)

2×(−2) =2−p 10

−2 = −2−p 10

2 et x2= −2+p 10

2 .

S = (

−2+p 10

2 ; −2−p 10 2

! . 7. En déduire la position deCf.

Remarque: cette question ne veut rien dire! Position deCf par rapport à quoi?.

Je suppose que l’enseignant attend les positions d cela courbe par rapport à l’axe des abscisses.

Cf est en dessous de l’axe des abscisses sur

#

−∞; −2+p 10 2

#

ainsi que sur

"

−2−p 10

2 ; +∞

"

et en dessous sur

"

−2+p 10

2 ; −2−p 10 2

# . 8. En déduire la forme factorisée de f.

La forme factorisée de f(x) est : f(x)=a(x−x1)(x−x2).

On en déduit :f(x)= −2 Ã

x+2+p 10 2

! Ã

x+1+p 10 2

! . 9. Etablir le tableau de signes de f.

D’après le cours, on sait que f(x) est du signe dea= −2 (donc négatif) pourxappartenant à l’espérer de l’intervalle formé par les racontes et du signe deaentre les racines.

Par conséquent :

x −∞ −2+p 10

2 −2−p 10

2 +∞

f(x) − 0 + 0 −

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