Chapitre 15 : Fonction du second degré 1 Résolution de l’équation du second degré
Une équation du second degré, à une inconnuex, est une équation qui peut s’écrire sous la formeax2+bx+c= 0, oùa,b, etcsont trois nombres réels donnés, eta6= 0.
P(x) =ax2+bx+cest une fonction polynôme, ou trinôme, du second degré.
Résoudre l’équation P(x) = ax2 +bx +c = 0, c’est trouver tous les nombres réels x tels que P(x) = ax2+bx+c= 0.
Un tel nombre est dit solution de l’équationP(x) = 0ou encore . . . du polynômeP(x).
Définition
Exemple
• P(x) = 3x2−2x+ 4est un trinôme du second degré, avec . . . .
• Q(x) =−x2+ 16est un trinôme du second degré, avec. . . ..
Cas général : Résolution de l’équationP(x) =ax2 +bx+c= 0,a 6= 0:
P(x) =ax2+bx+c
=a
x2+ b ax+ c
a
=a
"
x+ b 2a
2
− b
2a 2
+ c a
#
=a
"
x+ b 2a
2
− b2 4a2 + c
a
#
=a
"
x+ b 2a
2
− b2
4a2 +4ac 4a2
#
=a
"
x+ b 2a
2
−b2−4ac 4a2
#
Cette expression s’appelle laforme canoniquedu polynômeP. On pose∆ =b2−4ac, et on a donc,
P(x) =a
"
x+ b 2a
2
− ∆ 4a2
#
Si∆<0 , alors ∆
4a2 <0, et donc,− ∆
4a2 >0, d’où, pour toutx∈R,
x+ b 2a
2
− ∆ 4a2 >0.
L’équationP(x) = 0n’a donc aucune solution.
Si∆ = 0 , alorsP(x) =a
x+ b 2a
2
, et l’équationP(x) =a
x+ b 2a
2
= 0admet une unique solutionx=− b 2a. Si∆>0 , alors√
∆existe et,∆ =√
∆2
, et donc, ∆ 4a2 =
√∆ 2a
!2 , et,
P(x) =a
"
x+ b 2a
2
− ∆
2a 2#
=a
x+ b 2a+ ∆
2a x+ b 2a− ∆
2a
=a x+b+√
∆ 2a
!
x+b−√
∆ 2a
!
On posex1 =−b+√
∆
2a = −b−√
∆
2a , et,x2=−b−√
∆
2a = −b+√
∆
2a , et on a alors : P(x) =a(x−x1)(x−x2)
et donc, l’équationP(x) =ax2+bx+c= 0admet deux solutions distinctes,x1etx2.
Le nombre∆ =b2−4acs’appelle le. . . .du trinôme du second degréP(x) =ax2+bx+c.
Définition
• Si∆<0, le trinôme n’a pas de racine ;
• Si∆ = 0, le trinôme a une racine "double"x0 = . . . ., et le trinôme se factorise suivantP(x) = a(x−x0)2.
• Si∆>0, le trinôme admet deux racines distinctes :
. . . et, . . . . et le trinôme se factorise suivantP(x) =a(x−x1)(x−x2).
Théorème
Exemple
Résoudre les équations ci-dessous :
(E1) : 2x2+ 4x+ 6 = 0 et (E2) :−x2−3x+ 4 = 0 Pour(E1):∆ =−32<0donc(E1)n’a pas de solution.
Pour(E2):∆ = (−3)2−4×(−1)×4 = 9 + 16 = 25>0donc(E2)a deux solutions : x1 = −(−3)−√
25
2×(−1) = 3−5
−2 = 1 et x2= −(−3) +√ 25
2×(−1) = 3 + 5
−2 =−4
2 Inéquation du second degré
SoitP(x) =ax2+bx+c,a6= 0un trinôme du second degré, alors,
— si∆<0, alorsP(x) =a
x+ b 2a
2
| {z }
>0
− ∆ 4a2
| {z }
>0
| {z }
>0
est toujours du signe dea.
— si∆ = 0, alorsP(x) =a(x−x0)2est toujours du signe dea, etP(x) = 0pourx=x0=− b 2a.
— si∆>0, alorsP(x) =a(x−x1)(x−x2), et (en supposant par exemplex1 < x2)
x −∞ x1 x2 +∞
a signe dea | signe dea | signe dea
x−x1 − 0| + | +
x−x2 − | − 0| +
P(x) signe dea 0| signe de−a 0| signe dea
SoitP(x) =ax2+bx+cun trinôme du second degré aveca6= 0, alors :
— si∆<0,P(x)est toujours du signe dea;
— si∆ = 0,P(x)s’annule pourx=x0=− b
2a, et pourx6=x0,P(x)est du signe dea;
— si∆ >0,P(x)admet deux racinesx1 etx2, etP(x)est du signe dea"à l’extérieur des racines" et du signe de−aà l’intérieur des racines.
Théorème
Trinôme du second degré : synthèse
Pour un trinôme du second degré :f(x) =ax2+bx+c, oùa,betcsont trois réels, eta6= 0.
Le discriminant du trinôme est ∆ =b2−4ac.
∆>0 ∆ = 0 ∆<0
Solution(s) de l’équation f(x) = 0
(racines def)
2 solutions réelles distinctes : x1 = −b−√
∆
2a et x2 =
−b+√
∆ 2a
une solution unique (double) :
x0= −b 2a
pas de solution
Factorisation def(x) f(x) =a(x−x1)(x−x2) f(x) =a(x−x0)2 pas de factorisation
Courbe représentative de f,
sia >0 −b
x1 2a x2 −b
2a
−b 2a
Courbe représentative de f, sia <0
−b 2a
x1 x2
−b 2a
−b 2a
Signe def(x) fx −∞Signe x1 x2 +∞
dea 0| Signe
de -a 0| Signe dea
x −∞ x0 +∞ f Signe
dea 0| Signe dea
x −∞ +∞
f Signe dea
