Second degré
D’après le cours, les fonctions polynômes du second degré peuvent être de 6 types différents selon que le discriminant est strictement positif, nul ou négatif et selon le signe dea. On se propose ici de trouver 6 exemples correspondants et de les étudier en intégralité. Ces exemples vous serviront à valider le projet algorithmique sur le second degré ... au boulot !
Exercice 1. Cas ∆ > 0 et a > 0 avec ici a 6= 1
On considère la fonctionf définie surRpar :f :x7−→f(x)=2x2+10x+12 . 1. Équation et interprétation graphique.
a= ···
b= ···
c= ···
⇒∆= ···
Puisque∆= ··· ··· >0 alors l’équation f(x)=0 admet deux solutions réelles qui sont :
( x1= x2=
Ces solutions sont les abscisses des points d’intersec- tion de la courbeCf avec l’axe des abscisses. Ces points sont de coordonnées :
A
³
··· ···;··· ···
´ ; B
³
··· ···;··· ···
´
2. Factorisation éventuelle def(x).
3. Inéquation, étude de signe et interprétation graphique.
Le trinôme du second degré f(x) est du signe dea=
··· ··· à l’extérieur des racines donc on obtient le ta- bleau de signe suivant :
x signe
f(x)
−∞ +∞
On a donc :
• f(x)>0⇐⇒x∈I=. . . . La courbeCf est donc··· ··· ··· ···de l’axe des abs- cisses quandx∈I.
4. Étude de la fonction et graphe.
4. a. On a :
a= ···
b= ···
c= ···
⇒
∆= ···
α= ···
β= ···
4. b. Donner la forme canonique : f(x)= ··· ··· ··· ··· ···
4. c. Donner le coordonnées du sommetSde la para- bole :
S(···;···)
4. d. Dresser le tableau de variation de la fonctionf et plaçant les éventuelles racines def :
x variations
de f
−∞ ··· +∞
4. e. Construire Cf, la courbe représentative de la fonction f et faisant figurer les éventuels points d’intersection avec l’axe des abscisses.
Exercice 2. Cas ∆ > 0 et a < 0 avec ici a 6= − 1
On considère la fonctionf définie surRpar :
f :x7−→f(x)= −2x2−6x+7
1. Équation et interprétation graphique.
a= ···
b= ···
c= ···
⇒∆= ···
Puisque∆= ··· ··· >0 alors l’équation f(x)=0 admet deux solutions réelles qui sont :
( x1= x2=
Ces solutions sont les abscisses des points d’intersec- tion de la courbeCf avec l’axe des abscisses. Ces points sont de coordonnées :
A³
··· ···;··· ···
´ ; B³
··· ···;··· ···
´
2. Factorisation éventuelle def(x).
3. Inéquation, étude de signe et interprétation graphique.
Le trinôme du second degré f(x) est du signe dea=
··· ··· à l’extérieur des racines donc on obtient le ta- bleau de signe suivant :
x signe
f(x)
−∞ +∞
On a donc :
• f(x)>0⇐⇒x∈I=. . . . La courbeCf est donc··· ··· ··· ···de l’axe des abs- cisses quandx∈I.
4. Étude de la fonction et graphe.
4. a. On a :
a= ···
b= ···
c= ···
⇒
∆= ···
α= ···
β= ···
4. b. Donner la forme canonique : f(x)= ··· ··· ··· ··· ···
4. c. Donner le coordonnées du sommetSde la para- bole :
S(···;···)
4. d. Dresser le tableau de variation de la fonctionf et plaçant les éventuelles racines def :
x variations
de f
−∞ ··· +∞
4. e. Construire Cf, la courbe représentative de la fonction f et faisant figurer les éventuels points d’intersection avec l’axe des abscisses.
Exercice 3. Cas ∆ = 0 et a > 0 avec ici a 6= 1
On considère la fonctionf définie surRpar :
f :x7−→f(x)=3x2+6x+3
1. Équation et interprétation graphique.
a= ···
b= ···
c= ···
⇒∆= ···
Puisque∆=0 alors l’équation f(x)=0 admet une so- lution réelle qui est :
x1= . . . .
Cette solution est l’abscisse du point d’intersection de la courbeCf avec l’axe des abscisses. Ce point est de coordonnée :
A³
··· ···;··· ···
´
2. Factorisation éventuelle def(x).
3. Inéquation, étude de signe et interprétation graphique.
Le trinôme du second degré f(x) est du signe dea=
··· ··· partout, donc on obtient le tableau de signe sui- vant :
x signe
f(x)
−∞ +∞
On a donc :
• f(x)>0⇐⇒x∈I=. . . .
• f(x)<0⇐⇒x∈J=. . . .
• Interprétation graphique : la courbeCf est . . . . . . . . . . . .
4. Étude de la fonction et graphe.
4. a. On a :
a= ···
b= ···
c= ···
⇒
∆= ···
α= ···
β= ···
4. b. Donner la forme canonique : f(x)= ··· ··· ··· ··· ···
4. c. Donner le coordonnées du sommetSde la para- bole :
S(···;···)
4. d. Dresser le tableau de variation de la fonctionf et plaçant les éventuelles racines def :
x variations
de f
−∞ ··· +∞
4. e. Construire Cf, la courbe représentative de la fonction f et faisant figurer les éventuels points d’intersection avec l’axe des abscisses.
Exercice 4. Cas ∆ = 0 et a < 0 avec ici a 6= − 1
On considère la fonctionf définie surRpar :
f :x7−→f(x)= −5x2+20x−20
1. Équation et interprétation graphique.
a= ···
b= ···
c= ···
⇒∆= ···
Puisque∆=0 alors l’équation f(x)=0 admet une so- lution réelle qui est :
x1= . . . .
Cette solution est l’abscisse du point d’intersection de la courbeCf avec l’axe des abscisses. Ce point est de coordonnée :
A³
··· ···;··· ···
´
2. Factorisation éventuelle def(x).
3. Inéquation, étude de signe et interprétation graphique.
Le trinôme du second degré f(x) est du signe dea=
··· ··· partout, donc on obtient le tableau de signe sui- vant :
x signe
f(x)
−∞ +∞
On a donc :
• f(x)>0⇐⇒x∈I=. . . .
• f(x)<0⇐⇒x∈J=. . . .
4. Étude de la fonction et graphe.
4. a. On a :
a= ···
b= ···
c= ···
⇒
∆= ···
α= ···
β= ···
4. b. Donner la forme canonique : f(x)= ··· ··· ··· ··· ···
4. c. Donner le coordonnées du sommetSde la para- bole :
S(···;···)
4. d. Dresser le tableau de variation de la fonctionf et plaçant les éventuelles racines def :
x variations
de f
−∞ ··· +∞
4. e. Construire Cf, la courbe représentative de la fonction f et faisant figurer les éventuels points d’intersection avec l’axe des abscisses.
Exercice 5. Cas ∆ < 0 et a > 0 avec ici a 6= 1
On considère la fonctionf définie surRpar :
f :x7−→f(x)=2x2+2x+2
1. Équation et interprétation graphique.
a= ···
b= ···
c= ···
⇒∆= ···
Puisque∆<0 alors l’équationf(x)=0 . . . . . . . . . . . .
2. Factorisation éventuelle def(x).
3. Inéquation, étude de signe et interprétation graphique.
Le trinôme du second degré f(x) est du signe dea=
··· ··· partout, donc on obtient le tableau de signe sui- vant :
x signe
f(x)
−∞ +∞
On a donc :
• f(x)>0⇐⇒x∈I=. . . .
• f(x)<0⇐⇒x∈J=. . . .
• Interprétation graphique : la courbeCf est . . . . . . . . . . . .
4. Étude de la fonction et graphe.
4. a. On a :
a= ···
b= ···
c= ···
⇒
∆= ···
α= ···
β= ···
4. b. Donner la forme canonique : f(x)= ··· ··· ··· ··· ···
4. c. Donner le coordonnées du sommetSde la para- bole :
S(···;···)
4. d. Dresser le tableau de variation de la fonctionf et plaçant les éventuelles racines def :
x variations
de f
−∞ ··· +∞
4. e. Construire Cf, la courbe représentative de la fonction f et faisant figurer les éventuels points d’intersection avec l’axe des abscisses.
Exercice 6. Cas ∆ < 0 et a < 0 avec ici a 6= − 1
On considère la fonctionf définie surRpar :
f :x7−→f(x)= −5x2+x−10
1. Équation et interprétation graphique.
a= ···
b= ···
c= ···
⇒∆= ···
Puisque∆<0 alors l’équationf(x)=0 . . . . . . . . . . . .
2. Factorisation éventuelle def(x).
3. Inéquation, étude de signe et interprétation graphique.
Le trinôme du second degré f(x) est du signe dea=
··· ··· partout, donc on obtient le tableau de signe sui- vant :
x signe
f(x)
−∞ +∞
On a donc :
• f(x)>0⇐⇒x∈I=. . . .
• f(x)<0⇐⇒x∈J=. . . .
4. Étude de la fonction et graphe.
4. a. On a :
a= ···
b= ···
c= ···
⇒
∆= ···
α= ···
β= ···
4. b. Donner la forme canonique : f(x)= ··· ··· ··· ··· ···
4. c. Donner le coordonnées du sommetSde la para- bole :
S(···;···)
4. d. Dresser le tableau de variation de la fonctionf et plaçant les éventuelles racines def :
x variations
de f
−∞ ··· +∞
4. e. Construire Cf, la courbe représentative de la fonction f et faisant figurer les éventuels points d’intersection avec l’axe des abscisses.
Correction
Exercice 1. Correction
L’expression¡
2x2+ 10x+ 12¢
est un expression du second degré de la forme¡
ax2+bx+c¢ . Avec :
a=2 b=10 c=12
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=⇒
∆ =(10)2−4×(2)×(12)=4>0 α = −10
2×(2)=−5 2 β = −4
4×(2)=−1 2 Le discriminant∆étant positif, la fonction polynôme du second degréx7−→¡
2x2+ 10x+ 12¢
admet deux racines réelles distinctes :
x1=−10−p 4
4 = −3 et x2=−10+p 4
4 = −2
• Le sommet de la parabole estS µ−5
2 ; −1 2
¶ .
• La forme canonique est :
f(x)=2 µ
x+5 2
¶2
−1 2
• La forme factorisée est :
f(x)=2(x+2)(x+3)
• Variations def :
x
Variations de f
−∞ −5
2 +∞
−1 2
−1 2
−2
0
−3
0
• Signe def(x) du signe dea=2 à l’extérieur des racines :
x
Signe de f(x)
−∞ −2 −3 +∞
+ 0 − 0 +
Exercice 2. Correction
L’expression¡
−2x2−6x+ 7¢
est un expression du second degré de la forme¡
ax2+bx+c¢ . Avec :
a= −2 b= −6 c=7
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=⇒
∆ =(−6)2−4×(−2)×(7)=92>0 α = 6
2×(−2)=−3 2 β = −92
4×(−2)=23 2
Le discriminant∆étant positif, la fonction polynôme du second degré x7−→¡
−2x2−6x+ 7¢
admet deux racines réelles distinctes :
x1=6−p 92
−4 ≈0.9 et x2=6+p 92
−4 ≈ −3.9
• Le sommet de la parabole estS µ−3
2 ; 23 2
¶ .
• La forme canonique est :
f(x)= −2 µ
x+3 2
¶2
+23 2
• La forme factorisée est :
f(x)= −2(x−x1)(x−x2)
• Variations def :
x
Variations de f
−∞ −3
2 +∞
23 2 23
2 x2≈ −3.9
0
x1≈0.9
0
• Signe def(x) du signe dea= −2 à l’extérieur des racines :
x
Signe de f(x)
−∞ x2≈ −3.9 x1≈0.9 +∞
− 0 + 0 −
Exercice 3. Correction
L’expression¡
3x2+ 6x+ 3¢
est un expression du second degré de la forme¡
ax2+bx+c¢ . Avec :
a=3 b=6 c=3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=⇒
∆ =(6)2−4×(3)×(3)=0 α = −6
2×(3)= −1 β = −0
4×(3)=0 Le discriminant∆étant nul, la fonction polynôme du second degréx7−→¡
3x2+ 6x+ 3¢
admet une unique racine réelle : x1=−6
6 = −1
• Le sommet de la parabole estS(−1 ; 0).
• La forme canonique est :
f(x)=3(x+1)2
• La forme factorisée est :
f(x)=3(x+1)2
• Variations def :
x
Variations de f
−∞ −1 +∞
00
• Signe def :
x
Signe de f(x)
−∞ −1 +∞
+ 0 +
Exercice 4. Correction
L’expression¡
−5x2+ 20x−20¢
est un expression du second degré de la forme¡
ax2+bx+c¢ . Avec :
a= −5 b=20 c= −20
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=⇒
∆ =(20)2−4×(−5)×(−20)=0 α = −20
2×(−5)=2 β = −0
4×(−5)=0 Le discriminant∆étant nul, la fonction polynôme du second degréx7−→¡
−5x2+ 20x−20¢
admet une unique racine réelle :
x1=−20
−10=2
• Le sommet de la parabole estS(2 ; 0).
• La forme canonique est :
f(x)= −5(x−2)2
• La forme factorisée est :
f(x)= −5(x−2)2
• Variations def :
x
Variations de f
−∞ 2 +∞
00
• Signe def :
x
Signe de f(x)
−∞ 2 +∞
− 0 −
