M1-SID 2018-2019 TD SUR LES CHAˆINES DE MARKOV

M1-SID 2018-2019

TD SUR LES CHAˆINES DE MARKOV

1. Jeux de pi` eces

On dispose de deux pi` eces, une non pip´ ee, et une qui est truqu´ ee et est Face des deux cˆ ot´ es. On commence par en choisir une des deux au hasard (de mani` ere uniforme) et ensuite on lancecelle-l` a une infinit´ e de fois.

(1) On observe Face au n-i` eme lancer. Quelle est la probabilit´ e qu?on obtienne Face au (n + 1)-i` eme lancer?

(2) On observe Pile au n-i` eme lancer. Quelle est la probabilit´ e qu?on obtienne Face au (n + 1)-i` eme lancer?

(3) On observe Pile au (n − 1)-i` eme lancer et Face au n-i` eme lancer. Quelle est la probabilit´ e qu?on obtienne Face au (n + 1)-i` eme lancer?

(4) La suite des r´ esultats des lancers obtenus forme-t-elle une chaˆıne de Markov?

2. Une chaˆıne ` a trois ´ etats

Soit, pour n ≥ 0, (X

) une chaˆıne de Markov sur {1, 2, 3} de matrice de transition P =





0 1 0

0

p 1 − p 0





(1) Dessiner le graphe de cette chaˆıne de Markov.

(2) Combien y a-t-il de composantes irr´ eductibles?

(3) Calculer P (X

= 1|X

= 1), P (X

= 1|X

= 1), P (X

= 1|X

= 1), P (X

= 1|X

= 1), P(X

= 2|X

= 2), P(X

= 2|X

= 2), P(X

= 2|X

= 2).

(4) Quelle est la loi de X

si X

a la loi uniforme sur {1, 2, 3}?

3. J’ai g` enes

On suppose qu’un trait de caract` ere est gouvern´ e par deux g` enes, qui peuvent tre de deux types, G et g. On suppose que G est dominant (c’est-` a-dire que c’est lui qui s’exprime si la paire est Gg) et g est donc r´ ecessif. L’´ etat Gg est appel´ e hybride, l’´ etat GG dominant, et l’´ etat gg r´ ecessif.

(1) Un ´ eleveur adopte la strat´ egie suivante : ` a chaque fois, il apparie l’individu de la n-i` eme g´ en´ eration avec un hybride. Mod´ eliser la situation par une chaˆıne de Markov, et classer les ´ etats.

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(2) Un ´ eleveur adopte la strat´ egie suivante : ` a chaque fois, il apparie l’individu de la n-i` eme g´ en´ eration avec un dominant. Mod´ eliser la situation par une chaˆıne de Markov, et classer les ´ etats.

(3) Comparer qualitativement l’´ evolution des deux chaˆınes.

4. Une chaˆıne ` a cinq ´ etats

Soit, pour n ≥ 0, (X

) une chaˆıne de Markov homog` ene sur E = {1, 2, 3, 4, 5} de matrice de transition

P =













1

2

0

0 0

1 4

1 2

1

4

0 0

1

2

0

0 0 0 0 0

0 0 0













(1) Dessiner le graphe de cette chaˆıne de Markov.

(2) D´ eterminer la ou les composantes irr´ eductibles de cette chaˆıne.

(3) D´ eterminer le(s) ´ etats transitoires.

(4) Donner la p´ eriode de chaque ´ el´ ement de E.

(5) V´ erifier que si X

suit la loi uniforme sur {4, 5} alors X

a la mˆ eme loi. Voyez-vous d’autres mesures de probabilit´ e invariantes?

(6) Qu’est-ce qui change si P

est chang´ e en 1/2 − ε (0 < ε < 1/2), et P

en ε?