Leçon 209

Universit´e Paris Sud Master 2 F.E.S.

Ann´ee 2020-2021 Pr´eparation `a l’agr´egation

Le¸con 209 (Approximation de fonctions par des fonctions r´eguli`eres.

Exemples et applications)

Exercice 1. Soit (K, d) un espace m´etrique compact. On consid`ere l’espace (de Banach)C(K) des fonctions continues f : (K, d)→R muni de la norme uniforme

kfk:= max

x∈K|f(x)|.

1. Soit δ >0, montrer qu’il existe a1, . . . , aN ∈K tels que K⊂SN

j=1B(aj, δ/2).

2. On pose, pour tout x∈K,

q_j(x) := max{0, δ−d(x, a_j)} pour tout 1≤j ≤N, et

q(x) :=

N

X

j=1

qj(x).

Montrer queq,q1, . . . , qN sont des fonctions continues surK et queq(x)≥δ/2 pour tout x∈K.

3. On pose pour toutx∈K et tout 1≤j≤N, θj(x) = q_j(x)

q(x).

Montrer que les fonctions θ1, . . . , θN sont continues sur K telles que que Supp(θj) ⊂ B(a_j, δ) et

N

X

j=1

θj = 1 surK.

4. Soit f ∈ C(K), on pose f(x) =˜

N

X

j=1

f(a_j)θ_j(x) pour toutx∈K.

Montrer que

kf−f˜k ≤ω(δ) := sup

x,y∈K, d(x,y)≤δ

|f(x)−f(y)|.

5. En choisissantδ = 1/n, la construction pr´ec´edente donne un ensemble finiJ_n={1, . . . , N_n}, une collection de points {aⁿ_j}j∈J_n et une collection de fonctions {θⁿ_j}j∈J_n. Montrer que Vect({θ_jⁿ}_{j∈Jn, n∈N}) est dense dansC(K).

6. En d´eduire queC(K) est s´eparable.

Exercice 2. On consid`ere l’espaceL^p(R^d) (pour la mesure de Lebesgue). D´eduire de l’exercice pr´ec´edent que L^p(R^d) est s´eparable pour 1≤p <∞.

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