L.S.Marsa Elriadh
Liste 25
M : Zribi4 ème Maths Exercices
Exercice1 :
1) Montrer que l’équation : 8x3+6x-1=0 admet dans IR une solution unique et que 0,1
2
.
2) Soit la fonction f définie par f(x)=2x4+3x2-x-1.
a- Dresser le tableau de variation de f.
b- Montrer que f( )=3 ( 1) 1
2 2 et que - 11 ( ) 1 8 f .
3) a- Montrer que l’équation f(x)=0 admet dans IR deux solutions x1 et x2 telle que x1 x2 .
Exercice 2:
1) Soit la fonction définie sur IR par f(x)=x3+x2+x-1.
a- Montrer que l’équation f(x)=0 admet sur IR une solution unique
0,1 .b- En déduire que est le seul réel vérifiant = 1 1
. 2) Soit g la fonction définie sur [0,1] par g(x)= 1
1 x x
.
a- Montrer que g réalise une bijection de [0,1] sur lui même.
b- Expliciter g-1(x), pour tout x
0,1 .3) Soit 0, 4
tel que cos 2 ; Montrer que est l’unique solution dans 0,4
de l’équation : tgx-cos2x=0.
Exercice 3 :
soit f la fonction définie par f(x)=
1
² 1
²
x x
x
pour x[-1,1]1/ montrer que f réalise une bijection de [-1,1] sur un intervalle J que l’on précisera.
2/ soit g la fonction définie sur [-1,1] par g(x)=f(x)-x
a/ montrer que l’équation g(x)=0 admet une unique solution [-1,1]
b/ vérifier que ]2/3,1[
c/ en déduire que la droite :y=x coupe la courbe de f en un point unique
3/ a/ tracer les courbes et ’ respectives de f et f-1 dans un même repère orthonormé 4/ montrer que pour tout xJ : f-1(x)=
x x x
x
) 2 )(
2 3 (
) 1 ( 2
Exercice 4:
soit la fonction f définie sur IR par : f(x)=
2 x 2
² x
1 x
. 1/ montrer que f est dérivable sur IR et calculer f’(x).
2/ étudier les variations de f.
3/ a/ montrer que f possède une fonction réciproque f –1 définie sur un intervalle I à préciser.
b/ montrer que f –1(x)=-1+
² x 1
x
; xI.
4/ soit g la fonction définie sur IR par : g(x)=f(x)-x .
L.S.Marsa Elriadh
Liste 25
M : Zribi4 ème Maths Exercices
étudier les variation de g et montrer qu’il existe un unique réel ]0,1[ tel que g()=0.
5/ soit U la suite définie sur IN par : U0=0 et Un+1 = f(Un) , nIN.
a/ montrer que pour tout nIN : 0 Un .
b/ étudier les variations de U ; en déduire que U est convergente et calculer sa limite.
Exercice 5:
soit la fonction f définie sur [0,/2] par f(x)= 1
1 sin x et g la fonction définie sur ]0,/2] par g(x)=1 x
sin x x
1/ a/ étudier les variations de g
b/ en déduire que l’équation f(x)=x admet une solution unique ]0,/2[
2/ montrer que f établit une bijection de [0,/2] sur un intervalle J à préciser.
3/ a/ soit xJ, exprimer sin(f-1(x)) et cos(f-1(x)) en fonction de x.
b/ en déduire les réels f-1(2/3) et f-1(2-2) c/ calculer f-1(
)
cos 1
1
x
pour x[0,/2]Exercice 6:
Soit n et fn la fonction définie sur IR par : fn(x)=x3+3(n+1)x+1.
1)a- Dresser le tableau de variation de fn.
b- Montrer que l’application fn(x)=0 admet dans IR une solution unique notée net quen
1,0
.2)a- Montrer que pour tout x
1,0
et pour tout n on a : fn+1(x) fn(x).b-En déduire que la suite (n) est strictement croissante et qu’elle est convergente.
c- Montrer que pour tout n ; 2 1 3( 1)
n
n n
puis calculer lim n
n
. Exercice 7 :
Soit f la fonction définie sur
1,
par f(x)= 21 x x . 1)a- Etudier les variations de f.
b- Montrer que f réalise une bijection de
1,
sur lui même.2)a- Soit x
1,
, calculer fof(x) et en déduire f -1(x).b- Que peut-on déduire pour la courbe de f ?
3)a- Soit n *, montrer que l’équation (En) : f(x)=xn admet une solution unique
net que n
1, 2 .b- Montrer que f(n)nn1 , en déduire que (n) est décroissante et qu’elle converge vers un réel que l’on notera l.
c- Montrer que pour tout p , on a lp. d- Montrer que si l 1 alors lim nn
n
=f(l). En déduire que l=1.
