´Ecole Polytechnique – Promotion 2011 Analyse num´erique et optimisation (MAP431) Contrˆole classant – 03 juillet 2013 – dur´ee 4 heures sujet propos´e par Alexandre Ern et Olivier Pantz

Ecole Polytechnique – Promotion 2011 ´ Analyse num´ erique et optimisation (MAP431) Contrˆ ole classant – 03 juillet 2013 – dur´ ee 4 heures

sujet propos´ e par Alexandre Ern et Olivier Pantz

Le sujet se compose de deux probl`emes ind´ependants. Il comporte huit pages en tout. Chaque probl`eme est `a r´ediger sur des copies de couleurs distinctes, rose pour le probl`eme 1 et verte pour le probl`eme 2. Il n’est pas n´ecessaire de tout faire pour obtenir la note maximale.

Probl` eme 1 (copies roses, 10 points) Vibrations d’un tambour non homog` ene

Partie A : Formulation du mod` ele

On consid`ere un tambour dont la membrane occupe un ouvert born´e r´egulier connexe Ω de R². Afin d’accorder le tambour, on propose d’appliquer un ”patch” sur un ouvert r´egulier Ω_b de Ω.

On note Ω_a= Ω\Ω_b la partie non modifi´ee du tambour.

Ωa

Ω = Ωa∪Ω_b Ωb

Figure 1 – Domaine Ω occup´e par le tambour et patch Ω_b

L’application du patch a pour cons´equence de modifier la densit´e de la membrane du tambour ainsi que sa rigidit´e. On noteρa,ρb∈R⁺∗ les densit´es respectives de Ωa et Ωb etka,kb∈R⁺∗ leur rigidit´e. Par ailleurs, la membrane du tambour est suppos´ee encastr´ee sur son bord. On d´esigne parule d´eplacement vertical de la membrane, solution de l’´equation des ondes suivante :





















 ρa

∂²u_|Ωa

∂t² −ka∆u_|Ωa= 0 dans Ωa×R⁺∗

ρb

∂²u|Ωb

∂t² −kb∆u_|Ωb= 0 dans Ωb×R⁺∗

u_|Ωa=u_|Ωb sur Γ×R⁺ ka

∂u_|Ωa

∂n =kb

∂u_|Ω

b

∂n sur Γ×R⁺

u= 0 sur∂Ω×R⁺∗

u(x,0) =U₀(x) dans Ω

∂u

∂t(x,0) =U1(x) dans Ω.

(1)

o`uu<sub>|Ωa</sub>etu<sub>|Ωb</sub>d´esignent respectivement la restriction deu`a Ω_aet Ω_b, Γ =∂Ω_a∩∂Ωbest l’interface entre les deux zones du tambour et nest la normale unit´e ext´erieure `a Ω<sub>b</sub>. De plus, on suppose que le d´eplacement initialU<sub>0</sub> appartient `aH₀¹(Ω) et que la vitesse initialeU₁appartient `aL²(Ω).

Pour toutes les questions (`a l’exception de la premi`ere), on supposera que Ωa et Ωbsont de mesure non nulle.

1. On consid`ere pour cette question le cas o`u Ωb est vide (autrement dit, les densit´e et rigidit´e du tambour sont constantes ´egales `a ρa et ka). D´eterminer la formulation variationnelle associ´ee au probl`eme (1) et montrer en appliquant un r´esultat du cours qu’elle admet une solution unique dans des espaces `a pr´eciser.

2. On consid`ere dor´enavant le cas o`u Ωb est non vide et on d´efinit les fonctions constantes par morceaux sur Ω suivantes

k(x) =

ka six∈Ωa,

kb six∈Ωb, ρ(x) =

ρa six∈Ωa,

ρb six∈Ωb. (2)

D´eterminer la formulation variationnelle associ´ee dans ce cas au probl`eme (1) et montrer qu’elle admet une solution unique dans des espaces `a pr´eciser.

3. Les valeurs propres et modes propres (λ_i, u_i)_i≥1 du tambour sont les solutions du probl`eme















−ka∆u_i|Ωa =λ_iρ_au_i|Ωa dans Ω_a

−kb∆u_i|Ωb=λiρbu_i|Ωb dans Ωb

u_i|Ωa =u_i|Ωb sur Γ ka

∂u_i|Ωa

∂n =kb

∂ui|Ωb

∂n sur Γ

u= 0 sur∂Ω,

(3)

o`u ui|Ωa et ui|Ωb sont respectivement les restrictions de ui `a Ωa et Ωb. En appliquant un r´esultat du cours, montrer qu’il existe une famille modes et valeurs propres (ui, λi)_i≥1 telle que (ui)_i≥1 forme une base hilbertienne deL²(Ω) pour le produit scalaire

(u, v)ρ= Z

Ω

ρuv dx,

tandis que (λ_i)_i≥1 est une suite croissante de r´eels positifs qui tend vers l’infini.

4. Exprimer la solution u de l’´equation (1) en fonction de la d´ecomposition des conditions initialesU0 etU1sur la base de modes propres obtenue.

5. On souhaite d´eterminer l’influence de l’application du patch sur la note associ´ee `a la plus petite valeur propre du tambour, appel´ee note fondamentale. Dans la suite, on consid`ere que les valeurs de k_a et ρ_a sont fix´es et quek_b et ρ_b d´ependent de param`etres de contrasteret sde sorte que

kb=rka etρb=sρa.

On noteraui(r, s) etλi(r, s) les solutions de (3) associ´ees `a un contraste donn´e et on notera par ailleursk(r) etρ(s) la rigidit´e et la densit´e de la membrane, constantes par morceaux, donn´ees par (2).

a) Quelle est l’influence du patch sur la note fondamentale sis= 1 etr >1 ? b) Quelle est l’influence du patch sur la note fondamentale sis >1 etr= 1 ?

Partie B : Patch de tr` es forte rigidit´ e

Dans les questions qui suivent, on va ´etudier l’influence d’un patch augmentant tr`es fortement la rigidit´e de la membrane sans en modifier la densit´e.

6. Montrer queλ1(r,1) est convergent lorsquer→ ∞. On noteraλ^∗ sa limite.

7. Montrer qu’il existe une suite (rn)_n≥0 de r´eels strictement positifs tendant vers l’infini telle queu1(rn,1) soit convergente dansL²(Ω). On noterau^∗ sa limite. D´eterminerR

Ωρa|u^∗|²dx.

8. Montrer que pour toutrmet rp dansR⁺∗, tels querm≤rp, on a Z

Ω

k(rm)

∇u1(rm,1)− ∇u1(rp,1) 2

2

dx

≤λ1(rm,1) +λ1(rp,1)

2 −λ1(rm,1) Z

Ω

ρa

u1(rm,1) +u1(rp,1) 2

2

dx.

On pourra `a cet effet utiliser l’´egalit´e de la m´ediane

∀a, b∈R

a+b 2

2

+

a−b 2

2

=|a|²+|b|²

2 .

9. Montrer que la suiteu₁(r_n,1) est convergente dansH₀¹(Ω).

10. Montrer que∇u^∗= 0 presque partout sur Ω_b.

11. En passant `a la limite sur la formulation variationnelle v´erifi´ee par (u1(rn,1), λ1(rn,1)), montrer que (u<sup>∗</sup>, λ<sup>∗</sup>) est solution d’un probl`eme spectral `a d´eterminer (Indication : on con- sid´erera des fonctions tests de gradient nul sur Ωb).

Partie C : Patch de tr` es grande densit´ e

Dans les questions qui suivent, on va ´etudier l’influence d’un patch augmentant tr`es fortement la densit´e de la membrane sans en modifier la rigidit´e.

12. Montrer ques7→sλ1(1, s) est une fonction croissante des. Montrer par ailleurs quesλ1(1, s) est major´ee ind´ependamment despour touts >1. En d´eduire quesλ1(1, s) est convergente vers un r´eel strictement positifβ lorsques→+∞.

13. Montrer ques^1/2u1(1, s) est born´e dansH₀¹(Ω) ind´ependamment des >1.

14. Montrer que

Z

Ω_b

ρa|s^1/2u1(1, s)|²dx→1 lorsques→+∞.

15. Montrer qu’il existe une suite de r´eels positifs (s_n)_n≥0croissante et tendant vers l’infini tels ques_n^1/2u₁(1, s_n) converge dansL²(Ω). On noterawsa limite. Montrer de plus que

Z

Ω_b

ρa|w|²dx= 1.

16. Montrer que pour tous r´eels strictement positifss_mets_p, on a Z

Ω

ka

∇

sm1/2u1(1, sm)−sp1/2u1(1, sp) 2

2

dx

≤s_mλ₁(1, s_m) +s_pλ₁(1, s_p)

2 −γ(sm, sp)smλ1(1, sm), o`u

γ(sm, sp) =sm−1Z

Ω_a

ρa

s_m^1/2u₁(1, s_m) +s_p^1/2u₁(1, s_p) 2

² dx

+ Z

Ωb

ρa

sm1/2u1(1, sm) +sp1/2u1(1, sp) 2

² dx.

En d´eduire que la suitesn1/2u1(1, sn) converge verswdansH¹(Ω).

17. Montrer quewest non nul et que (w, β) est solution du probl`eme spectral −k_a∆w=βχ_bρ_aw dans Ω

w= 0 sur∂Ω (4)

o`u χb est la fonction caract´eristique de Ωb (i.e. ´egale `a l’unit´e sur Ωb et nulle sur son compl´ementaire).

Probl` eme 2 (copies vertes, 10 points) Un mod` ele (simplifi´ e) de forces coh´ esives

Partie A : ´ Etude du mod` ele continu

On consid`ere un ouvert connexe, born´e, r´egulier Ω de R<sup>2</sup>. La fronti`ere ∂Ω de Ω est partitionn´ee en deux sous-ensembles connexes∂Ω_D et ∂Ω_∗, tous deux de mesure (superficielle) non-nulle. On consid`ere l’espace

V :={v∈H¹(Ω); v|_∂ΩD= 0}.

Muni de la norme kvkV :={kvk²_L2(Ω)+k∇vk²_L2(Ω)}^1/2, V est un espace de Hilbert. De plus, on dispose d’une in´egalit´e de Poincar´e surV si bien qu’il existe une constanteCΩ>0 telle que

∀v∈V, CΩkvkV ≤ k∇vk_L2(Ω). Soitf ∈L²(Ω). On consid`ere la fonctionnelleE :V →Rtelle que

∀v∈V, E(v) :=1 2

Z

Ω

µ|∇v|²dx− Z

Ω

f v dx,

o`u µ >0 est un param`etre r´eel strictement positif.

1. Montrer (en d´etaillant les ´el´ements de la preuve) que la fonctionnelleE est diff´erentiable au sens de Fr´echet en toutv∈V et calculer sa d´eriv´ee envdans la directionw∈V (on utilisera la notation hE⁰(v), wiV⁰,V).

2. En utilisant la caract´erisation (10.11) du polycopi´e, montrer que la fonctionnelleEest forte- ment convexe surV. En d´eduire que la fonctionnelleE admet un unique minimiseur global surV.

Soitψ : R→R une fonction de classeC¹ telle que ψ⁰ est globalement Lipschitzienne sur R(ce qui signifie qu’il existe une constante L telle que, pour touts, t ∈R,|ψ⁰(s)−ψ⁰(t)| ≤ L|s−t|).

On d´efinit la fonctionnelle Ψ :V →Rtelle que

∀v∈V, Ψ(v) :=

Z

∂Ω∗

ψ(γ_∗v)ds,

o`u γ_∗ :V →L²(∂Ω_∗) est l’application trace sur∂Ω_∗ :

∀v∈V, γ_∗v:=v|∂Ω∗. Cette application est continue : il existe une constanteCγ∗telle que

∀v∈V, kγ_∗vk_L2(∂Ω∗)≤Cγ_∗kvkV.

On admet que, pour tout v ∈V, ψ(γ_∗v) est bien int´egrable sur ∂Ω_∗, queψ⁰(γ_∗v)∈L²(∂Ω_∗) et que la fonctionnelle Ψ est diff´erentiable en toutv∈V avec

∀w∈V, hΨ⁰(v), wiV⁰,V = Z

∂Ω∗

ψ⁰(γ_∗v)γ_∗w ds.

On d´efinit enfin la fonctionnelleJ :V →Rtelle que

∀v∈V, J(v) :=E(v) + Ψ(v).

Le lecteur curieux trouvera une motivation des bases physiques du mod`ele `a la fin de l’´enonc´e.

3. Montrer que sous la condition

µC_Ω² > LC_γ²_∗, (5)

la fonctionnelleJ est fortement convexe surV et qu’elle admet un unique minimiseur global sur V (on le notera u). ´Ecrire l’´equation satisfaite par ce minimiseur pour toute fonction test v∈V.

4. Sous l’hypoth`ese u∈H²(Ω), montrer que −µ∆u=f dans L²(Ω), puis, en admettant que les traces des fonctions de V sur∂Ω_∗ engendrent un sous-espace dense dans L²(∂Ω_∗), que µ^∂u_∂n +ψ⁰(γ_∗u) = 0 dansL²(∂Ω_∗).

Partie B : Discr´ etisation

L’objectif est maintenant de formuler un probl`eme de minimisation discret sur un sous-espace de dimension finie

V_h⊂V.

La construction deV_hrepose sur la m´ethode des ´el´ements finis. On suppose que Ω est un polygone deR² et on consid`ere un maillage triangulaire Th de Ω. On suppose que les arˆetes de Th situ´ees sur la fronti`ere ∂Ω se trouvent soit sur ∂ΩD soit sur ∂Ω_∗, et on note Ah l’ensemble des arˆetes qui se trouvent sur∂Ω_∗. L’espace discretVh est engendr´e par des fonctions continues, affines par morceaux surThet nulles sur∂ΩD. Pour toute arˆetea∈ Ah,had´esigne la longueur dea. De plus, pour toutvh∈Vh, la fonction γ_∗vh|a est affine sura; sa valeur moyenne suraest donn´ee par

hγ∗vhia:= 1 ha

Z

a

γ∗vhds.

La fonctionnelle Ψ ´etant non-lin´eaire, on introduit en pratique une fonctionnelle approch´ee afin d’´evaluer l’int´egrale sur∂Ω_∗. Partant de la formule des rectangles, on consid`ere la fonctionnelle approch´ee Ψ_h d´efinie par

∀vh∈V_h, Ψ_h(v_h) := X

a∈Ah

h_aψ(hγ∗v_hia),

et on pose

∀vh∈Vh, Jh(vh) :=E(vh) + Ψh(vh).

On admet que

∀wh∈Vh, hΨ⁰_h(vh), whi_V⁰

h,V_h = X

a∈Ah

haψ⁰(hγ_∗vhia)hγ_∗whia.

5. Montrer que

a) pour tout vh∈Vh,P

a∈Ahha|hγ∗vhia|²≤ kγ∗vhk²_L2(∂Ω∗);

b) sous la condition (5), la fonctionnelleJhest fortement convexe surVh;

c) sous cette mˆeme condition, la fonctionnelleJ_h admet un unique minimiseur global sur Vh (on le notera uh). ´Ecrire l’´equation satisfaite par ce minimiseur pour toute fonction testvh∈Vh.

6. L’objectif de cette question est d’estimer l’erreur d’approximation ku−u_hk_V. On suppose la condition (5) et on pose α:=µC_Ω² −LC_γ²_∗>0.

a) Montrer que, pour toutvh∈Vh, en posantδh:=uh−vh, on a αkδhk²_V ≤ hJ⁰(u)−J⁰(vh), δhi_V⁰

h,Vh+hJ⁰(vh)−J_h⁰(vh), δhi_V⁰

h,Vh.

b) En d´eduire que, pour toutvh∈Vh,

αkuh−v_hkV ≤(µ+LC_γ²_∗)ku−v_hkV +LC_γ∗ (

X

a∈Ah

Z

a

|γ∗v_h− hγ∗v_hia|²ds )^1/2

.

c) On consid`ere une suite (Th)_h>0 de maillages r´eguliers de Ω. On suppose queu∈H²(Ω) et on d´esigne parr_hul’interpol´e deudansV_h. On rappelle le r´esultat d’interpolation

ku−r_huk_V ≤C₁hkuk_H2(Ω), et on admet par ailleurs le r´esultat suivant :

( X

a∈A_h

Z

a

|γ_∗(rhu)− hγ_∗(rhu)ia|²ds )1/2

≤C2hkuk_H2(Ω),

avec des constantes C₁ etC₂ ind´ependantes de het de u. ´Etablir l’estimation d’erreur ku−u_hkV ≤C₃hkukH²(Ω),

en pr´ecisant la constanteC₃.

Partie C : R´ esolution num´ erique

Les ´equations obtenues `a la question 5c sontnon-lin´eairesenuh. Afin de contourner cette difficult´e, on utilise unem´ethode de d´ecomposition-coordinationdont le principe est d’introduire une inconnue auxiliaire pour la trace deu_h sur∂Ω_∗. On choisit pour cette inconnue auxiliaire l’espace discret

M_h:={η_h∈L²(∂Ω_∗); η_h|_a est constante sur toute arˆetea∈ A_h}.

On noteraM la dimension de Mh; celle-ci est ´egale au nombre d’arˆetes dans Ah. On supposera que la condition (5) est satisfaite.

7. On consid`ere le probl`eme de minimisation avec contraintes d’´egalit´e inf

(v_h,η_h)∈KJh(vh, ηh), Jh(vh, ηh) :=E(vh) + X

a∈A_h

haψ(ηa),

o`u K:={(vh, ηh)∈Vh×Mh; hγ∗vhia=ηa pour touta∈ Ah} et avec la notation abr´eg´ee ηa:=ηh|a. Pour touta∈ Ah, on introduit l’applicationFa :Vh×Mh→Rtelle que

∀(vh, η_h)∈V_h×M_h, F_a(v_h, η_h) :=hγ∗v_hia−η_a.

a) Montrer que la fonctionnelleJhadmet un unique minimiseur global dansK, celui-ci ´etant

´

egal `a (u_h, ξ_h) avec unξ_h∈M_hque l’on pr´ecisera.

b) Montrer que la famille{F_a⁰(uh, ξh)}_a∈Ahest libre. (On pourra consid´erer une combinaison lin´eaire P

a∈AhωaF_a⁰(uh, ξh) et faire agir cette combinaison sur des vecteurs (vh, ηh) ∈ Vh×Mh bien choisis.)

c) Montrer qu’il existe une unique fonctionph∈Mh telle que, en notantpa:=ph|a, Z

Ω

µ∇u_h· ∇v_hdx+ X

a∈Ah

h_ahγ_∗v_hi_ap_a = Z

Ω

f v_hdx, ∀v_h∈V_h, (6a) X

a∈Ah

ha(ψ⁰(ξa)−pa)ηa= 0, ∀ηh∈Mh. (6b)

8. On pose Xh :=Vh×Mh et on introduit le Lagrangien Lr,h :Xh×Mh →Rtel que, pour tout ((vh, ηh), qh)∈Xh×Mh,

Lr,h((vh, ηh), qh) =Jh(vh, ηh) + X

a∈Ah

haqa(hγ∗vhia−ηa) +r 2

X

a∈Ah

ha|hγ∗vhia−ηa|²,

o`ur≥0 est un param`etre r´eel (avec les notationsqa :=qh|a et ηa :=ηh|a). Lorsquer= 0, on retrouve le Lagrangien usuel associ´e `a la minimisation de la fonctionnelle Jh dans K; lorsque r >0, on appelleLr,h unLagrangien augment´e. L’approche par d´ecomposition- coordination conduit `a l’algorithme it´eratif suivant (inspir´e de l’algorithme d’Uzawa) : ´etant donn´esξ⁰_h∈Mh etp⁰_h∈Mh, r´esoudre pour toutn≥0,

Lr,h((uⁿ⁺¹_h , ξⁿ_h), pⁿ_h) = inf

v_h∈Vh

Lr,h((vh, ξ_hⁿ), pⁿ_h), (7a) Lr,h((uⁿ⁺¹_h , ξⁿ⁺¹_h ), pⁿ_h) = inf

η_h∈Mh

Lr,h((uⁿ⁺¹_h , ηh), pⁿ_h), (7b) pⁿ⁺¹_a =pⁿ_a +ρ(hγ_∗uⁿ⁺¹_h ia−ξⁿ⁺¹_a ), ∀a∈ Ah, (7c) o`u ρ >0 est un param`etre fix´e. Noter que la minimisation de Lr,h se fait d’abord envh `a ηh=ξ<sub>h</sub><sup>n</sup> fix´e (´etape (7a)) puis en ηh `avh=uⁿ⁺¹_h fix´e (´etape (7b)).

(a) ´Ecrire l’´equation satisfaite paruⁿ⁺¹_h pour toute fonction testvh∈Vh (on poseraξⁿ_a :=

ξⁿ_h|a etpⁿ_a :=pⁿ_h|a). Montrer que la d´etermination deuⁿ⁺¹_h revient `a la r´esolution d’un syst`eme lin´eaire. On pr´ecisera le terme g´en´erique de la matrice et du second membre en utilisant les fonctions de base de l’espace discret Vh que l’on notera (ϕ1, . . . , ϕN).

V´erifier que la matrice obtenue est sym´etrique d´efinie positive.

(b) ´Ecrire l’´equation satisfaite par ξⁿ⁺¹_h pour toute fonction test η_h ∈ M_h (on posera ξⁿ⁺¹_a := ξ_hⁿ⁺¹|_a et η_a := η_h|_a). Montrer que la d´etermination de ξ_hⁿ⁺¹ revient `a la r´esolution de M (la dimension de Mh) probl`emes de minimisation unidimensionnels d´ecoupl´es. Montrer que sous la conditionr > L, chacun de ces probl`emes fait intervenir une fonctionnelle fortement convexe surRque l’on pr´ecisera.

Remarque sur la mod´elisation physique.Le minimiseur u: Ω → R d´ecrit le d´eplacement vertical d’une membrane tendue, occupant initialement le domaine Ω, soumise `a une densit´e sur- facique d’efforts verticaux f et fix´ee sur le sous-ensemble ∂ΩD de sa fronti`ere. Enfin, un mod`ele (simplifi´e) de forces coh´esives est appliqu´e sur le sous-ensemble ∂Ω_∗. Ces forces coh´esives sont

´

egales `a −ψ⁰(γ_∗u). La figure ci-dessous illustre la forme typique des graphes des fonctions ψ et ψ⁰. Lorsque le d´eplacement de la membrane est petit sur∂Ω∗, les forces coh´esives exercent une force de rappel sur le bord de la membrane et cette force de rappel augmente avec le d´eplacement.

Lorsque le d´eplacement devient plus grand, les forces coh´esives d´ecroissent (perte de coh´esion) et typiquement s’annulent pour de grands d´eplacements (o`u toute coh´esion est perdue).

ψ ψ⁰

perte de coh´esion γ∗u

Figure 2 – Exemple de fonctionψ (`a gauche) et de fonctionψ<sup>0</sup> (`a droite)

Probl` eme 1 : corrig´ e

Vibrations d’un tambour non homog` ene

Partie A : Formulation du mod` ele

1. Dans le cas Ω_b=∅, la formulation variationnelle associ´ee consiste `a d´etermineru∈C⁰([0, T];H₀¹(Ω))∩

C¹([0, T];L²(Ω)) tel que pour tout v∈H₀¹(Ω), on ait pour tout 0< t < T, d²

dt² Z

Ω

ρauv dx+ Z

Ω

ka∇u· ∇v dx= 0,

avecu(t= 0) =U0 etdu/dt(t= 0) =U1. Commeρa et ka sont strictement positifs, (u, v)7→

Z

Ω

ρ_auv dx

d´efini un produit scalaire surL²(Ω) et (u, v)7→

Z

Ω

ka∇u· ∇v dx

est une forme bilin´eaire continue et coercive (d’apr`es l’in´egalit´e de Poincar´e) sur H₀¹(Ω).

D’apr`es le th´eor`eme 8.3.1 d’existence du cours sur les ´equations d’´evolution hyperboliques, il existe une solution unique.

2. La formulation variationnelle dans ce cas est identique, quitte `a remplacerρaparρetka par k. D’apr`es le th´eor`eme 8.3.1 du cours, il existe `a nouveau une solution unique appartenant

`

a u∈C⁰([0, T];H₀¹(Ω))∩C¹([0, T];L²(Ω)).

3. La formulation variationnelle associ´ee au probl`eme spectral consiste `a d´eterminer les solu- tions (u, λ)∈H₀¹(Ω)×Rtelles que pour toute fonction testv∈H₀¹(Ω), on ait

Z

Ω

k∇u· ∇v dx=λ Z

Ω

ρuv dx.

D’apr`es le th´eor`eme 7.3.2 du cours, il existe une base orthonormale de vecteurs propres de L²(Ω) muni du produit scalaire

(u, v)7→

Z

Ω

ρuv dx.

4. On noteU₀ⁱetU₁ⁱles coefficients deU₀et deU₁dans la base spectrale. On note de plusα_i(t) les coefficients de udans la base spectrale, c’est `a dire

u(t) =

∞

X

i=1

α_i(t)u_i.

En injectant l’expression deudans la formulation variationnelle, il vient pour touti >0, α⁰⁰_i(t) +λiαi(t) = 0,

avecαi(0) =U₀ⁱ etα⁰_i(0) =U₁ⁱ. On en d´eduit que

α_i(t) =U₀ⁱcos(ω_it) +U₁ⁱsin(ω_it)/ω_i, avecω_i =√

λ_i. 5. On a

λ₁(r, s) = inf

v∈H¹₀(Ω)

R

Ωak_a|∇v|²dx+R

Ω_brk_a|∇v|²dx R

Ω_aρa|v|²dx+R

Ω_bsρa|v|²dx

Le terme de droite ´etant croissant par rapport `ar, une augmentation de la rigidit´e entraine une augmentation de la plus petite valeur propre et produit un son plus aig¨ue. L’augmenta- tion de la densit´e `a un effet inverse et conduit donc `a une note fondamentale plus grave.

Partie B : Patch de tr` es forte rigidit´ e

6. La fonctionr7→λ₁(r,1) est croissante. Par ailleurs,

λ₁(r,1) = inf

v∈H₀¹(Ω)

R

Ω_aka|∇v|²dx+R

Ω_brka|∇v|²dx R

Ωρa|v|²dx ≤ inf

v∈W

R

Ω_aka|∇v|²dx R

Ωρa|v|²dx

o`uW est l’ensemble des ´el´ements deH₀¹(Ω) tels que ∇v= 0 sur Ω_b. Cet ensemble est non vide. On en d´eduit que λ₁(r,1) est major´e et croissant en r et donc convergent lorsque r tend vers l’infini vers une limiteλ^∗.

7. On a pour toutr≥1,

Z

Ω

ka∇|u1(r,1)|²dx≤λ^∗.

D’apr`es l’in´egalite de Poincar´e, l’ensemble des ´el´ements u<sub>1</sub>(r,1) avec r≥1 est born´ee dans H<sup>1</sup>(Ω). L’ouvert Ω ´etant born´e et r´egulier, il existe, d’apr`es le Th´eor`eme de Rellich une suite u1(rn,1) (avec (rn)_n≥0croissante, tendant vers l’infini) convergente vers un ´el´ementu^∗ dans L²(Ω).

8. D’apr`es l’´egalit´e de la m´ediane, on a Z

Ω

k(r_m)

∇u₁(r_m,1)− ∇u₁(r_p,1) 2

2

dx= 1

2 Z

Ω

k(r_m)|∇u₁(r_m,1)|²dx+ Z

Ω

k(r_m)|∇u₁(r_p,1)|²dx

− Z

Ω

k(rm)

∇u1(rm,1) +∇u1(rp,1) 2

2

dx.

On a Z

Ω

k(rm)|∇u1(rm,1)|²dx=λ1(rm,1).

Commerm≤rp, Z

Ω

k(rm)|∇u1(rp,1)|²dx≤ Z

Ω

k(rp)|∇u1(rp,1)|²dx=λ1(rp,1), et

Z

Ω

k(rm)

∇u1(rm,1) +∇u1(rp,1) 2

2

dx≥λ1(rm,1) Z

Ω

ρa

u1(rm,1) +u1(rp,1) 2

2

.

On en d´eduit que Z

Ω

k(rm)

∇u1(rm,1)− ∇u1(rp,1) 2

2

dx

≤λ1(rm,1) +λ1(rp,1)

2 −λ1(rm,1) Z

Ω

ρa

u1(rm,1) +u1(rp,1) 2

2

dx.

9. D’apr`es la convergence de u1(rm,1) et u1(rp,1) dans L²(Ω) ainsi que la convergence de λ1(rm,1) et λ1(rp,1), on constate que le terme de droite de l’in´egalit´e pr´ec´edente converge vers z´ero lorsque m et ptendent vers l’infini. Ainsi, la suite u1(rn,1) est de Cauchy dans H₀¹(Ω) donc convergente.

10. On a

Z

Ω_a

ka|∇u1(rn,1)|²dx+ Z

Ω_b

karn|∇u1(rn,1)|²dx≤λ^∗.

On en d´eduit que

Z

Ω_b

|∇u1(rn,1)|²dx

tend vers z´ero lorsque n tend vers l’infini. Par ailleurs, comme u1(rn,1) converge vers u^∗ dansH₀¹(Ω), on a∇u^∗= 0 presque partout sur Ω_b.

11. Tout d’abord, on a

u^∗∈W :={v∈H₀¹(Ω) tel que∇v= 0 sur Ωb}.

En passant `a la limite dans la formulation variationnelle, on obtient que pour toutv∈W, Z

Ω_a

ka∇u^∗· ∇v dx=λ^∗ Z

Ω

ρau^∗v dx. (8)

Partie C : Patch de tr` es grande densit´ e

12. On a, pour toutv∈H₀¹(Ω_b) prolong´e par 0 sur Ω_a,

λ1(1, s)≤ R

Ωka|∇v|² sR

Ωbρ_a|v|²dx. Ainsi,sλ1(1, s) est born´e ind´ependamment de s.

On rappelle que

sλ1(1, s) = inf

v∈H₀¹(Ω)

R

Ωka|∇v|²dx R

Ωas⁻¹ρ_a|v|²dx+R

Ωbρ_a|v|²dx.

Le terme de droite ´etant croissant en fonction de s, on en d´eduit que l’application s 7→

sλ1(1, s) est croissante. ´Etant par ailleurs major´ee et strictement positive, elle admet une limite β >0 lorsquestend vers l’infini.

13. On a

Z

Ω

ka|∇u1(1, s)|²dx≤λ1(1, s).

Comme sλ1(1, s) est born´e, on en d´eduit que s^1/2u1(1, s) est born´e dans H₀¹(Ω), d’apr`es l’in´egalit´e de Poincar´e. Cela implique en particulier queu1(1, s) tend vers z´ero dansH¹. 14. On a

Z

Ω_a

ρa|u1(1, s)|²dx+ Z

Ω_b

ρa|s^1/2u1(1, s)|²dx= 1.

Commeu₁(1, s) converge vers z´ero dansL²(Ω), on en d´eduit que Z

Ωb

ρa|s^1/2u1(1, s)|²dx→1

lorsque stend vers l’infini.

15. Commes^1/2u1(1, s) est born´e dansH₀¹(Ω) ind´ependamment des, il existe une suite (sn)n≥0

croissante, tendant vers l’infini telle quesn1/2u1(1, sn) soit convergente dansL²(Ω) (d’apr`es le Th´eor`eme de Rellich). On note wsa limite, et on a

Z

Ωb

ρa|w|²dx= lim

n→∞

Z

Ωb

ρa|sn1/2u1(1, sn)|²dx= 1.

16. Il suffit d’utiliser l’´egalit´e de la m´ediane. En effet, on obtient ainsi

Z

Ω

ka

∇

sm1/2u1(1, sm)−sp1/2u1(1, sp) 2

2

dx= 1

2

sm

Z

Ω

ka|∇u1(1, sm)|²dx+sp

Z

Ω

ka|∇u1(1, sp)|²dx

− Z

Ω

ka

∇

s_m^1/2u₁(1, s_m) +s_p^1/2u₁(1, s_p) 2

2

dx.

On a Z

Ω

k_a|∇u₁(1, s_m)|²dx=λ₁(1, s_m), Z

Ω

ka|∇u1(1, sp)|²dx=λ1(1, sp), et

Z

Ω

ka

∇

sm1/2u1(1, sm) +sp1/2u1(1, sp) 2

2

dx≥smλ1(1, sm)γ(sm, sp).

On en d´eduit l’in´egalit´e demand´ee. De plus, on aγ(sm, sp) qui converge versR

Ω_bρa|w|²dx= 1 lorsquemetptendent vers l’infini. Ainsi,s_n^1/2u₁(1, s_n) est une suite de Cauchy dansH₀¹(Ω) et est donc convergente dans H₀¹(Ω) et par unicit´e de la limite dans L²(Ω), celle-ci est la fonctionw.

17. Pour toutv∈H₀¹(Ω), on a Z

Ω

ka∇u1(1, sn)· ∇v dx=λ1(1, sn) Z

Ωa

ρau1(1, sn)v dx+sn

Z

Ω_b

ρau1(1, sn)v dx

.

Soit encore Z

Ω

k_a∇s_n^1/2u₁(1, s_n)· ∇v dx= s_nλ₁(1, s_n)

s_n^−1/2

Z

Ω_a

ρ_au₁(1, s_n)v dx+ Z

Ω_b

ρ_as_n^1/2u₁(1, s_n)v dx

.

En utilisant la convergence des_n^1/2u₁(1, s_n) verswdansH₀¹(Ω), des_nλ₁(1, s_n) versβ et de u₁(1, s_n) vers z´ero dansL²(Ω), on en d´eduit que

Z

Ω

ka∇w· ∇v dx=β Z

Ωb

ρawv dx.

Par ailleurs,

Z

Ω_b

ρa|w|²dx= 1.

Probl` eme 2 : corrig´ e

Un mod` ele (simplifi´ e) de forces coh´ esives

Partie A : ´ Etude du mod` ele continu

1. On utilise la d´efinition 10.1.1. Soitv∈V. Pour toutw∈V, un calcul direct donne E(v+w) =E(v) +L(w) +R(w),

avec

L(w) = Z

Ω

µ∇v· ∇w dx− Z

Ω

f w dx, R(w) =1 2

Z

Ω

µ|∇w|²dx.

L:V →Rest une application lin´eairecontinue car

|L(w)| ≤(µk∇vk_L2(Ω)+kfk_L2(Ω))kwkV,

et R(w) =o(w) car|R(w)| ≤ ¹₂µkwk²_V. Par suite,E est diff´erentiable env∈V et on a hE⁰(v), wiV⁰,V =

Z

Ω

µ∇v· ∇w dx− Z

Ω

f w dx.

2. On utilise la proposition 10.1.15, formule (10.11). Pour tout (v, w)∈V ×V, il vient hE⁰(v)− E⁰(w), v−wiV⁰,V =

Z

Ω

µ|∇(v−w)|²dx≥µC_Ω²kv−wk²_V.

La fonctionnelle E est donc fortement convexe surV de param`etreα=µC<sub>Ω</sub><sup>2</sup>. Enfin, comme la diff´erentiabilit´e implique la continuit´e, l’existence et unicit´e du minimiseur global de E sur V est fournie par le th´eor`eme 9.2.6 (appliqu´e avecK=V qui est un espace de Hilbert d’apr`es l’´enonc´e).

3. Pour tout (v, w)∈V ×V, il vient commeψ⁰ est globalement Lipschitzienne et γ_∗ lin´eaire continue,

hJ⁰(v)−J⁰(w), v−wiV⁰,V = Z

Ω

µ|∇(v−w)|²dx+ Z

∂Ω_∗

(ψ⁰(γ∗v)−ψ⁰(γ∗w))γ∗(v−w)ds

≥µC_Ω²kv−wk²_V −L Z

∂Ω∗

|γ_∗(v−w)|²ds

=µC_Ω²kv−wk²_V −Lkγ_∗(v−w)k²_L2(∂Ω∗)

≥(µC_Ω² −LC_γ²_∗)kv−wk²_V,

d’o`u la forte convexit´e deJsous la condition (5) avec param`etreα=µC_Ω²−LC_γ²_∗. L’existence et unicit´e du minimiseur global deJsurV est `a nouveau fournie par le th´eor`eme 9.2.6. Enfin, en appliquant la remarque 10.2.2 au minimiseur global deJsurV, la condition d’Euler s’´ecrit J⁰(u) = 0 dansV⁰, c’est-`a-dire

Z

Ω

µ∇u· ∇v dx+ Z

∂Ω∗

ψ⁰(γ_∗u)γ_∗v ds= Z

Ω

f v dx, ∀v∈V.

4. En prenant v arbitraire dans C_c^∞(Ω) dans la condition d’Euler, on d´eduit que−µ∆u= f dansL²(Ω). Puis, en appliquant la formule de Green, il vient (puisquev est nulle sur∂ΩD)

Z

∂Ω∗

n

µ^∂u_∂n +ψ⁰(γ_∗u)o

γ_∗v ds= 0, ∀v∈V.

La fonction ^∂u_∂n ´etant dansL²(∂Ω∗) caru∈H²(Ω) et commeψ⁰(γ∗u)∈L²(∂Ω∗), le r´esultat de densit´e qu’on a admis permet de conclure que µ_∂n^∂u+ψ⁰(γ_∗u) = 0 dansL²(∂Ω_∗).

Remarque.Pour toutt∈R, on aψ(t) =ψ(0) +tψ⁰(0) +Rt

0(ψ⁰(s)−ψ⁰(0))dset ψ⁰(t) =ψ⁰(0) + (ψ⁰(t)−ψ⁰(0)), si bien que

|ψ(t)| ≤ |ψ(0)|+t|ψ⁰(0)|+¹₂t²L, |ψ⁰(t)| ≤ |ψ⁰(0)|+tL.

En appliquant ces in´egalit´es avec t=γ∗v(x) pour presque toutx∈∂Ω∗, en int´egrant sur∂Ω∗ et en utilisant l’in´egalit´e de Cauchy–Schwarz, on d´eduit que

kψ(γ∗v)kL¹(∂Ω∗)≤ |ψ(0)||∂Ω∗|+|ψ⁰(0)||∂Ω∗|^1/2kγ∗vkL²(∂Ω∗)+¹₂Lkγ∗vk²_L2(∂Ω∗), kψ⁰(γ_∗v)kL²(∂Ω∗)≤n

2|ψ⁰(0)|²|∂Ω∗|+ 2L²kγ∗vk²_L2(∂Ω∗)

o^1/2 ,

o`u|∂Ω_∗|d´esigne la mesure (superficielle) de∂Ω_∗, ce qui montre queψ(γ_∗v)∈L¹(∂Ω_∗) etψ⁰(γ_∗v)∈ L²(∂Ω_∗). Comme ψ⁰(γ_∗v)∈L²(∂Ω_∗), l’application lin´eairew7→R

∂Ω∗ψ⁰(γ_∗v)γ_∗w ds est continue surV. Enfin, comme

Ψ(v+w)−Ψ(v)− Z

∂Ω∗

ψ⁰(γ_∗v)γ_∗w ds= Z

∂Ω∗

Z 1 0

(ψ⁰(γ_∗v+tγ_∗w)−ψ⁰(γ_∗v))dt

γ_∗w ds,

on conclut quant `a la diff´erentiabilit´e de la fonctionnelle Ψ en majorant le membre de droite par

1

2LC_γ²_∗kwk²_V.

Partie B : Discr´ etisation

5. ´Etude de la fonctionnelle discr`eteJh.

a) De par l’in´egalit´e de Cauchy–Schwarz, il vient, pour touta∈ Ah,

|hγ_∗vhia|²=h⁻²_a Z

a

γ_∗vhds ²

≤h⁻²_a Z

a

ds Z

a

|γ_∗vh|²ds

=h⁻¹_a kγ_∗vhk²_L2(a), d’o`u la majoration demand´ee en sommant sura∈ Ah.

b) Pour tout (v_h, w_h)∈V_h×V_h, il vient hJ_h⁰(vh)−J_h⁰(wh), vh−whi_V⁰

h,Vh = Z

Ω

µ|∇(vh−wh)|²dx

+ X

a∈A_h

ha(ψ⁰(hγ_∗vhia)−ψ⁰(hγ_∗whia)hγ_∗(vh−wh)ia

≥µC_Ω²kvh−whk²_V −L X

a∈Ah

ha|hγ∗(vh−wh)ia|²

≥µC_Ω²kvh−whk²_V −Lkγ∗(vh−wh)k²_L2(∂Ω∗)

≥(µC_Ω²−LC_γ²_∗)kvh−whk²_V,

en utilisant le fait queψ⁰ est Lipschitzienne,γ_∗lin´eaire continue et la question pr´ec´edente appliqu´ee `a la fonction (vh−wh). D’o`u la forte convexit´e deJh surVh.

c) L’existence et unicit´e du minimiseur global de Jh sur Vh r´esulte toujours du th´eor`eme 9.2.6 (on peut aussi appliquer le th´eor`eme 9.1.3 en dimension finie avecK=Vh, Jh est continue car diff´erentiable et tend vers l’infini `a l’infini car fortement convexe de par la proposition 9.2.5). Le minimiseuruh∈Vhsatisfait l’´equation d’Euler dansV<sub>h</sub><sup>0</sup>, c’est-`a-dire

Z

Ω

µ∇uh· ∇vhdx+ X

a∈A_h

haψ⁰(hγ_∗uhia)hγ_∗vhia= Z

Ω

f vhdx, ∀vh∈Vh.

6. Estimation d’erreur.

a) En utilisant la forte convexit´e deJh surVh avec le param`etre α, le fait que J_h⁰(uh) = 0 dansV_h⁰, queJ⁰(u) = 0 dansV⁰ et queVh⊂V, il vient

αkδhk²_V ≤ hJ_h⁰(uh)−J_h⁰(vh), δhi_V⁰

h,Vh

=−hJ_h⁰(vh), δhiV_h⁰,V_h

=−hJ⁰(v_h), δ_hi_V⁰

h,V_h+hJ⁰(v_h)−J_h⁰(v_h), δ_hi_V⁰

h,V_h

=hJ⁰(u)−J⁰(vh), δhi_V⁰

h,Vh+hJ⁰(vh)−J_h⁰(vh), δhi_V⁰

h,Vh, d’o`u le r´esultat.

b) On d´esigne parT₁ etT₂les deux termes du membre de droite de la majoration ci-dessus.

On a

T₁= Z

Ω

µ∇(u−v_h)· ∇δ_hdx+ Z

∂Ω∗

(ψ⁰(γ_∗u)−ψ⁰(γ_∗v_h))(γ_∗u−γ_∗v_h)ds

≤(µ+LC_γ²_∗)ku−v_hk_Vkδ_hk_V. Par ailleurs,

T2= X

a∈A_h

Z

a

(ψ⁰(γ_∗vh)−ψ⁰(hγ_∗vhia))γ_∗δhds,

carR

aψ⁰(hγ∗vhia)γ∗δhds=haψ⁰(hγ∗vhia)hγ∗δhia. D’o`u T2≤LCγ∗

( X

a∈Ah

Z

a

|γ_∗vh− hγ_∗vhia|²ds )^1/2

kδhkV.

En simplifiant parkδhkV, on obtient l’in´egalit´e demand´ee.

c) On choisitvh:=rhuet on utilise les propri´et´es d’interpolation derh pour obtenir αkuh−rhukV ≤

(µ+LC_γ²_∗)C1+LCγ∗C2 hkuk_H2(Ω).

En utilisant l’in´egalit´e triangulaire et `a nouveau l’estimation surku−rhukV, on obtient l’estimation d’erreur avecC3=C1+α⁻¹((µ+LC_γ²_∗)C1+LCγ∗C2).

Remarque.Pour montrer le r´esultat d’interpolation qui a ´et´e admis, on proc`ede comme suit. En notant Π∗ la projection L<sup>2</sup>-orthogonale sur Mh (qui revient `a prendre les moyennes sur chaque arˆete de Ah), il s’agit d’estimer krhu−Π∗(rhu)kL²(∂Ω_∗). De par l’in´egalit´e triangulaire,

krhu−Π∗(r_hu)kL²(∂Ω∗)≤ krhu−ukL²(∂Ω∗)+ku−Π∗(u)kL²(∂Ω∗)+kΠ∗(u−rhu)kL²(∂Ω∗). Le troisi`eme terme du membre de droite est inf´erieur au premier, et celui-ci est ma- jor´e parC<sub>2</sub><sup>0</sup>h<sup>3/2</sup>kukH<sup>2</sup>(Ω). Le deuxi`eme terme est major´e parC₂⁰⁰hkukH¹(∂Ω∗)et la norme kukH¹(∂Ω∗)est contrˆol´ee parkukH²(Ω).

Partie C : R´ esolution num´ erique

7. M´ethode de d´ecomposition-coordination.

a) Soitu_hle minimiseur global deJ_hsurV_h. On d´efinitξ_h∈M_hen posant, pour touta∈ Ah, ξ_a:=ξ_h|a =hγ∗u_hia. On constate que (u_h, ξ_h)∈K. De plus, pour tout (v_h, η_h)∈K,

Jh(u_h, ξ_h) =J_h(u_h)≤J_h(v_h) =Jh(v_h, η_h),

ce qui montre que (u_h, ξ_h) est minimiseur global de Jh dans K. R´eciproquement, si (v_h, η_h) est minimiseur global deJ_h dansK, il vient

J_h(v_h) =J_h(v_h, η_h)≤ J_h(u_h, ξ_h) =J_h(u_h), si bien quev_h=u_h caru_h est le minimiseur global deJ_h dansV_h.