ECOLE POLYTECHNIQUE Analyse num´erique et optimisation (MAP431) Contrˆole classant Lundi 30 juin 2008

ECOLE POLYTECHNIQUE

Analyse num´ erique et optimisation (MAP431) Contrˆ ole classant

Lundi 30 juin 2008

Dur´ee : 4 heures

Les deux probl`emes sont totalement ind´ependants et `a r´ediger sur des copies de couleurs distinctes.

Probl` eme 1 - Estimation d’erreur a posteriori (Copies roses, not´ e sur 12)

Remarque: Les parties “Estimation a posteriori” (questions 4 `a 8) et “Efficacit´e” (questions 9 `a 13) peuvent ˆ

etre trait´ees ind´ependamment. De plus, ces deux parties ne d´ependent que de la question 2.a. de la partie

“Formulation variationnelle et approximation”. Tout au long de ce probl`eme,C est une constante g´en´erique (elle ne d´esigne pas la “mˆeme” constante d’une question `a l’autre).

Soit Ω un ouvert polygonal born´e connexe deR². On suppose que sa fronti`ere Γ =∂Ω se d´ecompose en deux parties ΓDet ΓN telles que ΓD soit de mesure non nulle. On consid`ere le probl`eme aux limites suivant







−∆u=f dans Ω u= 0 sur ΓD

∂u

∂n =g sur ΓN

(1)

o`u f ∈ L<sup>2</sup>(Ω) et g ∈ L<sup>2</sup>(ΓN). L’objet de ce probl`eme consiste `a estimer l’erreur effectu´ee lors du calcul d’une approximationuh deupar la m´ethode des ´el´ements finisP1 en fonction non pas de la solution udu probl`eme au limite (qui est inconnue) mais des donn´ees f, g et Ω ainsi que de la solution uh du probl`eme discr´etis´e.

Formulation variationnelle et approximation

1) D´eterminer la formulation variationnelle v´erifi´ee par la solution du probl`eme aux limites (1) et montrer que ce probl`eme admet une solution unique. On admettra le r´esultat du cours (cf. remarque du poly, p.73) qui affirme qu’il existe une constanteC d´ependant uniquement de Ω et de Γ_Dtelle que

kuk²_L2(Ω)≤Ck∇uk²_L2(Ω) pour toutu∈X, o`u

X:={u∈H¹(Ω) tel queu(x) = 0 presque partout sur ΓN}.

2) SoitTh une suite de maillages r´eguliers de Ω (voir cours, d´efinition6.3.11). On noteEh l’ensemble des arˆetes du maillage et on suppose que toute arˆete du maillage appartenant au bord du domaine Γ est incluse soit dans ΓN, soit dans ΓD. On note Eh,N les arˆetes du maillage incluses dans ΓN,Eh,D les arˆetes incluses dans ΓD et Eh,Ωles arˆetes du maillage incluses dans Ω.

Eh,Ω:={E∈ Eh : E⊂Ω},

Eh,N :={E∈ Eh : E⊂Γ_N}; Eh,D:={E∈ Eh : E⊂Γ_D}

On introduit les fonctions f(h) (respectivementg(h)), approximations def (respectivement deg), con- stantes par morceaux sur chaque triangle T de Th (respectivement sur chaque arˆete E de Eh,N), d´efinies par

f(h)(x) :=f_T :=|T|⁻¹ Z

T

f(y)dy pour toutx∈T (2)

et

g(h)(x) :=g_E:=|h_E|⁻¹ Z

E

g(y)dypour toutx∈E, (3) o`u |T|est l’aire du triangleT eth_E la longueur de l’arˆeteE.

On note u(h) la solution du probl`eme aux limites







−∆u(h) =f(h) dans Ω u(h) = 0 sur ΓD

∂u

∂n(h) =g(h) sur Γ_N

(4)

a. D´eterminer la formulation variationnelle v´erifi´ee paru(h) et ´etablir qu’elle admet une solution unique.

b. Montrer qu’il existe une constanteC ne d´ependant que de Ω et de ΓD telle que ku−u(h)k_H1(Ω)≤C(kf−f(h)k_L2(Ω)+kg−g(h)k_L2(ΓN)).

c. SoitT₀ le triangle de r´ef´erence d´efini par

T0:={x= (x1, x2)∈R² tel quex1≥0, x2≥0, et x1+x2≤1}.

Montrer que pour tout triangleT du maillage, il existeAT matrice 2×2 etbT ∈R² tels queT =FT(T0) o`u FT est l’application affine d´efinie parFT(x) =ATx+bT. Prouver qu’il existe une constanteCind´ependante dehtelle que pour tout triangleT du maillage on ait

kA_Tk ≤Ch_T,

o`u hT est le diam`etre du triangleT. (c.f. poly, page 126 pour un rappel de la d´efinition du diam`etre deT.) Indication : La propri´et´e `a d´emontrer est ind´ependante de la norme matricielle consid´er´ee. On pourra par exemple ´etablir ce r´esultat pour la norme matricielle subordonn´ee `a la norme vectorielle euclidienne, voir poly p.131. Dans ce cas,C=ρ⁻¹_T

0 o`uρT<sub>0</sub> est le diam`etre du cercle inscrit dansT0).

De mˆeme, monter qu’il existe une constanteCind´ependante dehtelle que kA⁻¹_T k ≤Ch⁻¹_T .

d. On rappelle que l’in´egalit´e de Poincar´e-Wirtinger assure que siωest un domaine born´e r´egulier (note:

les coins sont autoris´es), il existe une constante Cω ne d´ependant que deω telle que pour toutf ∈H¹(ω),

on a Z

ω

|f−m(f)|²≤Cω

Z

ω

|∇f|²,

o`u m(f) est la moyenne de f sur ω (c.f. poly, equation (5.28)). En appliquant l’in´egalit´e de Poincar´e- Wirtinger au triangle de r´ef´erence T0, montrer, en effectuant un changement de variable appropri´e, qu’il

existe une constante C (ind´ependante de h) telle que pour tout triangle T du maillage et toute fonction f ∈H¹(Ω), on a

Z

T

|f−f(h)|²≤Ch²_T Z

T

|∇f|². On rappelle quehT est le diam`etre du triangleT.

e. Montrer que sig∈H¹(ΓN), il existe une constanteC ind´ependante de het deg telle que pour toute arˆeteE∈ Eh,N,

Z

E

|g−g(h)|²≤Ch²_E Z

E

|∇g|².

En d´eduire que sif ∈H¹(Ω) etg∈H¹(ΓN), alorsu(h) converge vers ulorsque htend vers z´ero et donner une estimation de l’erreurku−u(h)k_H1(Ω).

3) On noteXhl’espace des ´el´ements finisP1 deThs’annulant sur ΓD

Xh:={v∈ C(Ω) : v_|T ∈P1 pour tout triangleT ∈ Th, v= 0 sur ΓD}.

Soitu_h∈X_hla solution du probl`eme variationnel Z

Ω

∇uh· ∇vh= Z

Ω

f(h)vh+ Z

ΓN

g(h)vh (5)

pour toutvh∈Xh. Montrer que (5) admet une solution unique.

Estimation a posteriori

On souhaite d´eterminer une majoration de l’erreurkuh−u(h)kH¹(Ω)en fonction deu_het des donn´ees du probl`eme (o`uu_hest la solution du probl`eme (5) etu(h) du probl`eme (4)). Pour chaque arˆeteEdu maillage, on note n_E sa normale unitaire. On oriente n_E de mani`ere arbitraire, sauf pour les ´el´ements deE<sub>h,N</sub> pour lesquels on suppose que n<sub>E</sub> co¨ıncide avec la normale ext´erieure `a Ω. On noteN_h l’ensemble des nœuds du maillage. Pour chaque triangleT du maillage, on noteN(T) l’ensemble de ses sommets. De plus, pour tout nœudx∈ Nhdu maillage, on note

ω_x:= [

x∈N(T)

T,

l’union des triangles du maillage dont l’un des sommet est le nœudx.

4) Soit x ∈ Nh. Pour tout ϕ ∈ X, on note πxϕ ∈ R la moyenne de ϕ sur l’ouvert ωx. On d´efinit Ih

l’op´erateur deX `a valeurs dansX_h par

I_hϕ(x) = (π_xϕ)(x) pour toutx∈ Nh\Γ_D et

I_hϕ(x) = 0 pour toutx∈ N_h∩Γ_D.

a. Expliquer pourquoi la d´efinition introduite permet de d´efinirIhϕ∈Xh de mani`ere univoque.

b. Montrer qu’il existe un entier mind´ependant dehtel que pour toutx, sommet du maillage, Card{T ∈ Th ; T ⊂ωx} ≤m

(On rappelle queThest une suite de maillages r´eguliers). En d´eduire qu’il existe une constanteCind´ependante dehtelle que pour tout sommetxet tout triangleT du maillage

T ∈ω_x=⇒diam(ω_x)≤Ch_T.

c. On peut g´en´eraliser le r´esultat obtenu `a la question2.e. Plus pr´ecis´ement, soit ˆΩ et Ω deux ouverts born´es, r´eguliers et connexes deR² etF une application continue et bijective de ˆΩ vers Ω,C¹ par morceaux.

On admettra qu’il existe une constanteC ne d´ependant que de ˆΩ telle que pour toutϕ∈H¹(Ω) kϕ− |Ω|⁻¹

Z

Ω

ϕk²_L2(Ω)≤Cmax_{x∈ˆ Ωˆ}det(∇F(ˆx)) min_ˆx∈Ωˆdet(∇F(ˆx)) max

x∈ˆ Ωˆ

k∇F(ˆx)k²k∇ϕk²_L2(Ω) (6)

D´eduire de l’in´egalit´e (6) et de la question4.bqu’il existe une constanteCind´ependante dehtelle que pour tout sommetxdu maillage et tout ´el´ementv∈H¹(ω_x), on a

kv−πxvk_L2(ωx)≤C(diam(ωx))k∇vk_L2(ωx).

Indication: Montrer que pour tout sommetxdu maillage,ωxest l’image d’un polygone r´egulier (d´ependant de x mais dont le nombre de cot´e est born´e ind´ependamment de h et x) par une application affine par morceaux.

d. Montrer qu’il existe une constanteC ind´ependante de htelle que pour tout triangleT du maillage et toutp∈P1, on a

kpkL^∞(T)≤C|T|^−1/2kpkL²(T)

et

kpkL²(T)≤C|T|^1/2kpkL^∞(T).

e. Montrer que pour tout triangleT ∈ T_h, toute arˆeteE∈ E_h et toute fonctionϕ∈X, on a kϕ−Ihϕk_L2(T)≤ChTkϕk_H1(eωT)

et

kϕ−Ihϕk_L2(E)≤Ch^1/2_E kϕk_H1(eωE), o`u

ωeT = [

x∈N(T)

ωx etωeE= [

x∈N(E)

ωx

etN(T) etN(E) d´esignent respectivement l’ensemble des sommets deT et E.

Indication: On pourra utiliser la relation (ϕ−Ihϕ)|T =P

x∈N(T)(ϕ−Ihϕ(x))φx, o`u φx est la fonction de base associ´ee au nœudxdu maillage.

5) Pour toute fonction ϕ∈L²(Ω) dont la restriction ϕ|T `a chaque triangleT ∈ Th est continue et toute arˆeteE∈ Eh,Ω, on note [ϕ]E le saut de la fonctionϕle long de l’arˆete Ed´efinie pour toutx∈E par

[ϕ]_E(x) = lim

t→0⁺(ϕ(x+tn_E)−ϕ(x−tn_E)).

Montrer que pour toutv∈X, Z

Ω

f(h)v+ Z

ΓN

g(h)v− Z

Ω

∇uh· ∇v

= X

T∈Th

Z

T

f(h)v+ X

E∈Eh,N

Z

E

(g(h)−n_E· ∇u_h)v+ X

E∈Eh,Ω

[n_E· ∇u_h]_Ev. (7)

6) D´eduire des deux questions pr´ec´edentes et du probl`eme variationnel v´erifi´e par uh qu’il existe une constanteC telle que pour toutv∈X, on a

Z

Ω

f(h)v+ Z

ΓN

g(h)v− Z

Ω

∇uh· ∇v≤Ckvk_H1(Ω)

X

T∈T_h

Z

T

h²_Tkf(h)k²_L2(T)

+ X

E∈Eh,N

hEkg(h)−nE· ∇uhk²_L2(E)+ X

E∈Eh,Ω

hEk[nE· ∇uh]Ek²_L2(E)

1/2

. (8)

7) En conclure qu’il existe une constanteC ind´ependante dehtelle que ku(h)−uhk²_H1(Ω)≤C X

T∈Th

η²_T, (9)

o`u ηT =

h²_TkfTk²_L2(T)+1 2

X

E∈Eh,Ω∩E(T)

hEk[nE· ∇uh]Ek²_L2(E)

+ X

E∈Eh,N∩E(T)

hEkgE−nE· ∇uhk²_L2(E)

1/2

, (10)

etE(T) est l’ensemble des arˆetes du triangle T. Efficacit´e

L’in´egalit´e (9) nous permet de majorer l’erreur induite par l’utilisation de la m´ethode des ´el´ements finisP1. Cependant, il est naturel de se demander si la majoration obtenue n’est pas trop grossi`ere. Une estimation a posteriori est dite efficace si l’erreur ku(h)−uhk<sub>H</sub>1(Ω) est du mˆeme ordre de grandeur que l’estimateur, c’est `a dire (dans notre cas) s’il existe une constanteC >0 ind´ependante dehtelle que

C X

T∈Th

η²_T ≤ ku(h)−u_hk²_H1(Ω), (11)

o`u ηT est d´efini par (10), uh est la solution du probl`eme (5) et u(h) du probl`eme (4). Si l’estimateur et l’erreur sont ´equivalents (lorsquehtend vers z´ero), on dit que l’estimation est asymptotiquement exacte.

8) On associe `a chaque triangleT du maillage une fonction dite bullebT d´efinie par bT(x) =

27λ1(x)λ2(x)λ3(x) six∈T 0 six∈Ω\T , o`u λ₁(x),λ₂(x) etλ₃(x) sont les coordonn´ees barycentriques dexdansT.

a. Montrer queb_T est une fonction continue sur Ω, que 0≤b_T ≤1 et que max_x∈Tb_T(x) = 1.

b. Montrer qu’il existe deux constantes positives c₁ et c₂ (ind´ependantes de h) telles que pour tout triangleT du maillage,

c1h²_T ≤ Z

T

bT = 9

20|T| ≤c2h²_T. c. Montrer qu’il existe une constanteCtelle que

k∇bTk_L2(T)≤Ch⁻¹_T kbTk_L2(T).

(Indication: On pourra se ramener `a un triangle de r´ef´erenceT0 afin d’´etablir cette relation, en s’inspirant des questions2.cet 2.d).

9) Dans cette question, on va chercher `a obtenir une majoration du premier terme de l’estimateurηT en fonction de l’erreur due `a la discr´etisation par ´el´ements finisP1.

a. Montrer que pour tout triangleT ∈ Th, Z

T

f_Tb_T = Z

T

∇(u(h)−u_h)· ∇b_T.

b. Montrer qu’il existe une constanteC, ind´ependante def que pour tout triangle T ∈ Th,

|fT||T|^1/2≤Ch⁻¹_T k∇(u(h)−u_h)kL²(T). En d´eduire que

h²_Tkf_Tk²_L2(T)≤Cku(h)−u_hk²_H1(T).

10) On introduit un nouveau type de fonctions bulles. SoitE∈ EΩetT1,T2les triangles situ´es de part et d’autres de celle-ci. On notebE la fonction d´efinie par

bE(x) :=

4λ1(x)λ2(x) six∈T1∪T2

0 six∈Ω\(T1∪T2) ,

o`uλ1(x),λ2(x) sont les deux coordonn´ees barycentriques dexdans le triangleTi (i= 1 ou 2) associ´ees aux sommets de l’arˆeteE. On pose ωE=T1∪T2.

a. Montrer quebE est continue sur Ω, que 0≤bE ≤1 et que maxx∈T₁∪T₂bE(x) = 1.

b. Montrer qu’il existe deux constantesc3etc4(ind´ependantes deh) telles que pour toute arˆeteE∈ Eh,Ω

et pour tout triangleT du maillage inclus dansωE, c3h²_E ≤

Z

T

bE= 1

3|T| ≤c4h²_E. Montrer de plus que

Z

E

b_E= 2h_E/3.

c. Montrer qu’il existe une constanteC telle que pour toute arˆeteE∈ Eh,Ω et pour tout triangleT du maillage inclus dansωE,

k∇bEkL²(T)≤Ch⁻¹_E kbEkL²(T).

11) Dans cette question, on va chercher `a obtenir une majoration du deuxi`eme terme de l’estimateurη_T en fonction de l’erreur due `a la discr´etisation par ´el´ements finisP1.

a. Montrer que pour toutE∈ Eh,Ω,

− Z

E

[n_E· ∇uh]_Eb_E= X

T⊂ωE

Z

T

(f(h)b_E− ∇(u(h)−u_h)· ∇bE).

b. Montrer qu’il existe une constanteC telle que pour tout arˆeteE ∈ Eh,Ω,

|[n_E· ∇u_h]_E|h^1/2_E ≤ X

T⊂ωE

h^−1/2_E k∇(u(h)−u_h)k_L2(T)+h^1/2_E kf_Tk_L2(T)

c. En d´eduire qu’il existe une constanteC ind´ependante de htelle que k[n_E· ∇u_h]_Ek_L2(E)≤Ch^−1/2_E ku(h)−u_hk_H1(ω_E).

12) On ´etend (de mani`ere ´el´ementaire) la d´efinition de bE au cas o`uE ∈ Eh,N. En d’autres termes, pour toutE∈ Eh,N, siT d´esigne l’unique triangle du maillageTh contenant l’arˆeteE, on pose

bE(x) :=

4λ1(x)λ2(x) six∈T 0 six∈Ω\T ,

o`uλ1(x) etλ(x) sont les coordonn´ees barycentriques dexdans le triangleTassoci´ees aux sommets de l’arˆete E.

a. Montrer que pour toute arˆeteE∈ Eh,N, Z

E

(gE−nE· ∇uh)bE= Z

ωE

∇(u(h)−uh)· ∇bE− Z

ωE

f(h)bE. En d´eduire qu’il existe une constanteC telle que pour toute arˆeteE∈ Eh,N,

kg_E−n_E· ∇u_hk_L2(E)≤Ch^−1/2_E ku(h)−u_hk_H1(ω_E). 13) Pour conclure... L’estimation a posteriori (9) est elle efficace ?

Probl` eme 2 - Dynamique de Hellmann-Feynmann (Copies vertes, not´ e sur 8)

On consid`ere un point mat´eriel de massem >0 ´evoluant dansR^dsous l’action d’un potentielV. On rappelle que la dynamique de ce point mat´eriel est r´egie par les ´equations de Newton





 dq

dt(t) =v(t) mdv

dt(t) =−∇V(q(t))

(12)

o`u q(t) etv(t) d´esignent respectivement la position et la vitesse dans R<sup>d</sup> du point mat´eriel `a l’instant t.

On s’int´eresse au cas o`u la valeurV(q) du potentiel en un point q∈R<sup>d</sup> est obtenue en r´esolvant un certain probl`eme d’optimisation param´etr´e parq(dynamiques d’Hellmann-Feynmann).

1) On suppose dans cette question que

V(q) = inf

y∈EE(q, y) (13)

avec

E={y∈ Htel quec(y) = 0},

o`u Hest un espace de Hilbert et o`uE : R^d× H −→Retc : H −→Rsont des fonctions de classeC¹. On suppose que pour touty∈ H tel quec(y) = 0, on ac⁰(y)6= 0. On suppose en outre que pour toutq∈R^d, le probl`eme d’optimisation (13) admet un unique point de minimumy(q), et que la fonctionq7→y(q) est de classeC<sup>1</sup>. On note∇qE(q, y) le gradient partiel deE par rapport `aq.

a. Montrer que

∇V(q) =∇qE(q, y(q)). (14)

Indication : on rappelle que la r`egle de la chaˆıne conduit `a

∂V

∂q_i(q) =∂E

∂q_i(q, y(q)) +hE_y⁰(q, y(q)), ∂y

∂q_i(q)i o`uE<sub>y</sub><sup>0</sup> d´esigne la diff´erentielle par rapport `ay de la fonction E.

b. Quel est l’int´erˆet de la formule (14) ?

2) Soitnet pdeux entiers naturels tels quen≥2 et 1≤p≤n−1. On note M(n) l’espace des matrices r´eelles de taillen×n,MS(n) l’espace des matrices r´eelles sym´etriques de taillen×n,Inla matrice identit´e de rangnetA^∗ la transpos´ee de la matriceA. On munitM(n) du produit scalaire de Frobenius d´efini par

∀(A, B)∈ M(n)× M(n), (A, B)_F= Tr (A^∗B) =

n

X

i,j=1

A_ijB_ij

et on notek · kF la norme associ´ee. On rappelle que siA et B sont deux matrices deMS(n), la notation A≤B signifiex^∗Ax≤x^∗Bxpour toutx∈Rⁿ.

On examine dans la suite de ce probl`eme le cas o`u V(q) = inf

M∈KE(q, M) (15)

avec

K={M ∈ MS(n) tel que 0≤M ≤I_n et Tr (M) =p}

et

E(q, M) = Tr (H(q)M) +1 2kMk²_F, H(·) d´esignant une fonction deR^d `a valeurs dansMS(n) de classeC¹.

a. Montrer queK est un sous-ensemble compact, convexe, et non vide deMS(n).

b. Montrer que pour toutq∈R^d, (15) admet un unique point de minimumM(q)∈ Ket que la condition d’optimalit´e est

∀M ∈K, Tr ((H(q) +M(q))M)≥Tr ((H(q) +M(q))M(q)). (16) c. On se donneM₀∈ K et on note (M_k)_k∈Nla suite d’´el´ements deKd´efinie par la r´ecurrence

M_k+1= Π_K(M_k−µ(H(q) +M_k)) (17)

o`u Π<sub>K</sub> : MS(n)→ Kest le projecteur orthogonal surK(pour le produit scalaire de Frobenius) et o`uµest un r´eel strictement positif. Montrer que pour 0< µ <2, la suite (Mk)_k∈Nconverge versM(q).

3) Pour mettre en œuvre l’algorithme it´eratif (17), il faut disposer d’une m´ethode efficace de calcul de Π_K(M) pour une matrice M ∈ MS(n) quelconque. La construction d’une telle m´ethode est l’objet de la pr´esente question.

a. Soity∈Rⁿ. V´erifier que le probl`eme d’optimisation

x∈Xminad

n

X

i=1

|xi−yi|² (18)

o`u

X_ad= (

x∈Rⁿ tels que 0≤x_i≤1 pour tout i= 1,· · ·, net

n

X

i=1

x_i=p )

admet un unique point de minimum, puis montrer qu’on peut calculer facilement ce point de minimum en r´esolvant l’´equationfy(µ) =po`u la fonctionfy est d´efinie surRpar

f_y(µ) =

n

X

i=1

max(0,min(y_i−µ,1)).

b. Soit ∆(n) l’espace vectoriel des matrices diagonales de taillen×net P = ∆(n)∩ K. Montrer que P =

(

N = diag(N11,· · · , Nnn), 0≤Nii≤1,

n

X

i=1

Nii=p )

.

c. On note Π_∆(n) : MS(n) → ∆(n) le projecteur orthogonal (pour le produit scalaire de Frobenius) de MS(n) sur ∆(n). V´erifier que (Π_∆(n)(M))ii =Mii et (Π_∆(n)(M))ij = 0 sii 6=j, puis montrer que si M ∈ K, alors Π_∆(n)(M)∈ P.

d. SoitN ∈∆(n). Montrer que ΠK(N)∈ P.

e. Proposer un algorithme simple permettant de calculer Π_K(N) pourN ∈∆(n).

f. SoitU ∈ M(n) une matrice orthogonale, i.e. telle queU U^∗=U^∗U =I_n. On pose U^∗KU ={U^∗M U, M ∈ K}.

Montrer queU^∗KU =K.

g. En d´eduire que pour toute matrice M ∈ MS(n) et toute matrice U ∈ M(n) orthogonale, on a Π_K(U^∗M U) =U^∗Π_K(M)U. Proposer une m´ethode de calcul de Π_K(M) pourM ∈ MS(n).

4) Caract´erisation du point de minimum de (15).

a. On poseS(q) =H(q) +M(q) et on note₁(q)≤ · · · ≤_n(q) les valeurs propres deS(q) compt´ees avec leur multiplicit´e et rang´ees par ordre croissant. SoitU une matrice orthogonale telle que U^∗S(q)U =D(q) o`u D(q) est la matrice diagonale diag(₁(q),· · · , _n(q)). Soit enfinN(q) = Π_∆(n)(U^∗M(q)U). Montrer que N(q)∈ Pet que la condition (16) implique

∀N∈ P, Tr (D(q)N)≥Tr (D(q)N(q)). (19)

b. Montrer que P = K ∩∆(n) est un poly`edre convexe (cf. page 241 du polycopi´e) et caract´eriser l’ensemble Pext des points extr´emaux de P. Quel est le cardinal de Pext ? D´eduire de la connaissance de Pper la valeur de Tr (D(q)N(q)).

c. On suppose quep(q)< p+1(q). Montrer que la fonction N 7→Tr (D(q)N) admet un unique point de minimum surP. En d´eduire l’expression deN(q), puis deM(q).