Ecole Polytechnique
Analyse Num´erique et Optimisation (MAP431) Mini-projet
Simulation num´erique de la migration chimiotactique
Propos´e par Bertrand Maury Bertrand.Maury@math.u-psud.fr
N.B. les r´ef´erences bibliographiques, accessibles sur le net (le lien est donn´ee `a la fin), sont donn´ees `a titre indicatif et permettront aux ´el`eves int´eress´es de se faire une id´ee plus pr´ecise des probl´ematiques sous-jacentes, mais leur lecture n’est pas n´ecessaire `a la compr´ehension du projet.
Ce projet porte sur la simulation num´erique de ph´enom`enes de migration chimiotactique: cer- taines bact´eries, ou levures, ont la capacit´e de se mouvoir dans une direction privil´egi´ee condi- tionn´ee en g´en´eral par la concentration d’une autre substance, appel´ee chimioattractant, mais qui peut d´ependre aussi directement de la concentration de l’esp`ece mobile elle-mˆeme.
Le premi`ere partie (A, en dimension 1 d’espace) traite d’un mod`ele mono-dimensionnel de lev- ure, sans chemoattractant, pour lequel la vitesse chimiotactique est uniforme sur l’ensemble du domaine, proportionnelle `a la densit´e de substance `a l’origine (l’origine jouant le rˆole d’attracteur).
La seconde partie (B, dimension 2 d’espace) aborde les ´equations dites de Keller-Segel, qui cou- plent une ´equation d’advection-diffusion sur la premi`ere esp`ece (bact´erie) et une ´equation sur le chimioattractant de type diffusion avec terme source (cette substance est ´emise par les bact´eries).
La difficult´e essentielle sur le plan num´erique est li´ee au fait que l’on doit prendre en compte un ph´enom`ene d’advection `a une vitesse dont le module n’est pas connua priori.
Partie A : Mod`ele monodimensionel
On consid`ere une population de levure repr´esent´ee par sa densit´eρ(x, t), qui se propage par dif- fusion sur le domaine [0,+∞[, et que l’on suppose soumise `a une vitesse de d´erive proportionnelle
`
a la concentration en 0. L’´equation s’´ecrit
∂tρ(x, t)−∂xxρ(x, t)−ρ(0, t)∂xρ= 0. (1) On suppose que le flux total entrant en 0 est nul, ce qui s’´ecrit (la somme des flux diffusif et advectif est ´egal `a 0) :
∂xρ(0, t) +ρ(0, t)2 = 0. (2)
De fa¸con a effectuer une r´esolution num´erique, on se restreint au domaine born´e [0,1], et l’on prescrit en 1 une condition de flux nul
−∂x(1, t)−ρ(0, t)ρ(1, t) = 0. (3)
1
On discr´etise l’intervalle ]0,1[ de fa¸con uniforme:
0 =x1< x2< . . . xN+1 = 1, xj+1−xj = ∆x , N = 1/∆x.
On propose le sch´ema de discr´etisation suivant ρn+1j −ρnj
∆t +
−ρn+1j−1 + 2ρn+1j −ρn+1j+1
(∆x)2 −ρn1ρnj+1−ρnj
∆x = 0, i= 2, . . . , N. (4) Pour les indices extrˆemes, on ´ecrit tout d’abord que l’´evolution de la concentration en 0 est conditionn´ee par le flux diffusif et le flux advectif (venant de la droite dans les deux cas, selon l’hypoth`ese qu’on n’a pas de flux de mati`ere venant des x n´egatifs):
ρn+11 −ρn1
∆t − ρn+12 −ρn1
∆x − ρn1ρn2
∆x = 0. (5)
Au bord droit du domaine (x= 1), le probl`eme est un peu plus d´elicat, car l’approche d´ecentr´ee du terme d’advection (vers la gauche) n´ecessite la connaissance de la densit´e `a l’ext´erieur du domaine. On dira simplement que cette densit´e `a l’ext´erieur est nulle, de telle sorte que le flux advectif se r´eduit `a un terme de perte faisant intervenir la densit´e courante `a l’extr´emit´e droite du domaine:
ρnN+1+1−ρnN+1
∆t +ρnN+1+1−ρnN
∆x +ρn1 ρnN+1
∆x = 0. (6)
On se donne d’autre part une condition initiale ρ0, que l’on discr´etise par simple interpolation:
ρ0j =ρ0((j−1)∆x), j= 1, . . . , N+ 1.
A.1) Pour le probl`eme (1)(2)(3) (probl`eme continu en espace et en temps), v´erifier que, pour toute solution r´eguli`ere la masse totale de levure
M =
Z 1 0
ρ(x, t)dx ne varie pas au cours du temps.
A.2) On consid`ere le sch´ema (4)(5)(6). Montrer qu’il s’agit bien d’un algorithme num´erique, permettant de d´efinir ρn+1 (identifi´e `a un vecteur `a N + 1 composantes) de fa¸con unique `a partir de ρn; ´etudier la consistance et la stabilit´e (ℓ∞ et ℓ2) du sch´ema (4), en s’affranchissant du probl`eme des conditions aux limites (on se place comme habituellement sur un domaine p´eriodique), et en supposant que la vitesse d’advection −ρn1 est prise ´egale `a une constante −c, avec c >0.
A.3) Dans le cas de l’application du sch´ema (4)(5)(6) `a la situation pr´esente (la vitesse est maintenant variable, ´egale `a la valeur de la densit´e en 0), `a quelle difficult´e peut-on s’attendre ? Il est ´etabli dans [2] que l’on a explosion de la densit´e (plus pr´ecis´ement ph´enom`ene de concen- tration en 0) d`es que la masse totale, i.e.
M(t) =M(0) = Z 1
0
ρ0(x)dx 2
est strictement sup´erieure `a 1, et que l’on a en revanche existence en temps arbitrairement long (et de fait convergence vers un ´etat stationnaire) d`es que M <1.
A.4) Explorer num´eriquement cette alternative, en v´erifiant que l’on reproduit une explosion en temps fini pour des valeurs de M significativement sup´erieures `a 1, et convergence tranquille vers une solution stationnaire pourM <1. (On pourra prendre par exemple une densit´e initiale Gaussienne, multipli´ee par une constante permettant de “r´egler” la masse).
A.5)(*) Dans le cas M >1, proposer une approche pour simuler aussi pr´ecis´ement que possible le ph´enom`ene d’explosion, et d´efinir une strat´egie permettant d’estimer aussi pr´ecis´ement que possible le moment de l’explosion, c’est `a dire le temps de vie de la solution. (On prendra garde au fait que dans ce cas, la valeur de la densit´e en 0, qui est aussi le module de la vitesse d’advection, est susceptible de tendre vers +∞.)
Partie B : Equations de Keller-Segel en dimension 2
On consid`ere maintenant, dans un domaine bidimensionnel Ω (le carr´e unit´e, de fronti`ere Γ), deux esp`eces : une population de bact´eries dont la densit´e est not´eρ(x, t), et un chimioattractant (concentration c(x, t)) ´emis par les bact´eries, qui, comme son nom l’indique, attire l’esp`ece principale. On mod´elise cette attraction par une vitesse d’advection proportionnelle au gradient de c, du type χ∇c, o`u χ est un param`etre qui quantifie l’importance de la chimiotaxie. le chimioattractant est suppos´e diffuser instantan´ement dans le domaine, disparaitre spontan´ement avec un temps caract´eristique unitaire, et il est cr´e´e par les bact´eries, ce qui est mod´elis´e par un terme source proportionnel `aρ dans l’´equation sur c. En prenant la plupart des param`etres
´egaux `a 1 pour simplifier l’´ecriture, on obtient le syst`eme d’´equations suivant:
∂tρ−∆ρ+∇ ·(χρ∇c) = 0 (7)
c−∆c = ρ, (8)
avec les conditions aux limites
∂ρ
∂n = 0, ∂c
∂n = 0 sur Γ et une condition initiale (positive) donn´ee
ρ(x, t) =ρ0(x).
B.1) Montrer formellement (en supposant qu’il existe une solution, et que cette solution est r´eguli`ere), que la quantit´e totale de bact´erie se conserve au cours du temps:
M(t) = Z
Ω
ρ(x, t)dx=M(0) = Z
Ω
ρ0(x)dx.
3
On souhaite r´esoudre le syst`eme ci-dessus par un sch´ema num´erique de type ´el´ements finis bas´e sur la formulation variationnelle suivante (ρn etcn sont suppos´es connus):
1
∆t Z
Ω
ρn+1ρ˜+ Z
Ω
∇ρn+1· ∇ρ˜− Z
Ω
χρn∇cn· ∇ρ˜= 1
∆t Z
Ω
ρnρ˜ ∀ρ˜∈H1(Ω), (9) Z
Ω
cn+1˜c+ Z
Ω
∇cn+1· ∇˜c= Z
Ω
ρn+1˜c ∀˜c∈H1(Ω). (10) B.2) Montrer que, ρn et cn ´etant suppos´es connus dans H1(Ω), les probl`emes (9) et (10) sont bien pos´es, et v´erifier que la masse discr`ete (int´egrale de ρn sur le domaine) se conserve.
La prise en compte de l’advection dans ce sch´ema est de type centr´e (la direction du flux n’est
`a aucun moment prise en compte dans le traitement du terme d’advection), et l’on sait qu’une telle approche est en g´en´eral instable. Comment expliquer que ce sch´ema puisse n´eanmoins se comporter de fa¸con stable dans certains cas ?
B.3) Implanter sur ordinateur (Freefem++) le sch´ema (9)(10), et explorer num´eriquement l’´evolution de la densit´e dans diff´erentes situations. On pourra en particulier confronter les calculs aux r´esultats th´eoriques connus (voir par exemple [1] pour les r´esultats principaux):
1. Pour le probl`eme pos´e sur le plan entier, lorsque la condition χM >8π est v´erifi´ee, on a un ph´enom`ene de concentration (chemotactic collapse en anglais) en temps fini (cr´eation d’une ou plusieurs masse de Dirac en temps fini). C’est a fortiori vrai pour le probl`eme en domaine born´e.
2. LorsqueχM <2π(en domaine born´e ou non born´e), on a existence d’une solution r´eguli`ere pour tout temps.
3. Pour les valeurs interm´ediaires, en domaine born´e, on peut avoir plusieurs comportements possible. Mais s’il y a explosion en temps fini (chemotactic collapse), alors elle se produit n´ecessairement sur le bord.
(On pourra prendre par exemple, comme en dimension 1, une densit´e initiale Gaussienne, multipli´ee par une constante permettant de “r´egler” la masse.)
B.4)(⋆) Proposer des moyens d’enrichir le mod`ele de fa¸con `a limiter le ph´enom`ene de concen- tration, et explorer num´eriquement la viabilit´e des approches propos´ees.
References
[1] A. Blanchet, J. Dolbeault, B.Perthame Two-dimensional Keller-Segel model: Optimal criti- cal mass and qualitative properties of the solutions, Electronic Journal of Differential Equa- tions 44 (2006).
http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/06/38/74/PDF/Keller-Segel-30.pdf
[2] V. Calvez, N. Meunier, A one dimensional Keller Segel equation with a drift issued from the boundary, [hal-00424649 - version 1] (2009-10-16).
http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/42/46/49/PDF/Calvez.Meunier.Note.1D.KS.Boundary.SUBMITTED.pdf
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