´Ecole Polytechnique – Promotion 2011 Analyse num´erique et optimisation (MAP431) Contrˆole classant – 03 juillet 2013 – dur´ee 4 heures sujet propos´e par Alexandre Ern et Olivier Pantz

Ecole Polytechnique – Promotion 2011 ´ Analyse num´ erique et optimisation (MAP431) Contrˆ ole classant – 03 juillet 2013 – dur´ ee 4 heures

sujet propos´ e par Alexandre Ern et Olivier Pantz

Le sujet se compose de deux probl`emes ind´ependants. Il comporte huit pages en tout. Chaque probl`eme est `a r´ediger sur des copies de couleurs distinctes, rose pour le probl`eme 1 et verte pour le probl`eme 2. Il n’est pas n´ecessaire de tout faire pour obtenir la note maximale.

Probl` eme 1 (copies roses, 10 points) Vibrations d’un tambour non homog` ene

Partie A : Formulation du mod` ele

On consid`ere un tambour dont la membrane occupe un ouvert born´e r´egulier connexe Ω de R². Afin d’accorder le tambour, on propose d’appliquer un ”patch” sur un ouvert r´egulier Ω_b de Ω.

On note Ω_a= Ω\Ω_b la partie non modifi´ee du tambour.

Ωa

Ω = Ωa∪Ω_b Ωb

Figure 1 – Domaine Ω occup´e par le tambour et patch Ω_b

L’application du patch a pour cons´equence de modifier la densit´e de la membrane du tambour ainsi que sa rigidit´e. On noteρa,ρb∈R⁺∗ les densit´es respectives de Ωa et Ωb etka,kb∈R⁺∗ leur rigidit´e. Par ailleurs, la membrane du tambour est suppos´ee encastr´ee sur son bord. On d´esigne parule d´eplacement vertical de la membrane, solution de l’´equation des ondes suivante :





















 ρa

∂²u_|Ωa

∂t² −ka∆u_|Ωa= 0 dans Ωa×R⁺∗

ρb

∂²u|Ωb

∂t² −kb∆u_|Ωb= 0 dans Ωb×R⁺∗

u_|Ωa=u_|Ωb sur Γ×R⁺ ka

∂u_|Ωa

∂n =kb

∂u_|Ω

b

∂n sur Γ×R⁺

u= 0 sur∂Ω×R⁺∗

u(x,0) =U₀(x) dans Ω

∂u

∂t(x,0) =U1(x) dans Ω.

(1)

o`uu<sub>|Ωa</sub>etu<sub>|Ωb</sub>d´esignent respectivement la restriction deu`a Ω_aet Ω_b, Γ =∂Ω_a∩∂Ωbest l’interface entre les deux zones du tambour et nest la normale unit´e ext´erieure `a Ω<sub>b</sub>. De plus, on suppose que le d´eplacement initialU<sub>0</sub> appartient `aH₀¹(Ω) et que la vitesse initialeU₁appartient `aL²(Ω).

Pour toutes les questions (`a l’exception de la premi`ere), on supposera que Ωa et Ωbsont de mesure non nulle.

1. On consid`ere pour cette question le cas o`u Ωb est vide (autrement dit, les densit´e et rigidit´e du tambour sont constantes ´egales `a ρa et ka). D´eterminer la formulation variationnelle associ´ee au probl`eme (1) et montrer en appliquant un r´esultat du cours qu’elle admet une solution unique dans des espaces `a pr´eciser.

2. On consid`ere dor´enavant le cas o`u Ωb est non vide et on d´efinit les fonctions constantes par morceaux sur Ω suivantes

k(x) =

ka six∈Ωa,

kb six∈Ωb, ρ(x) =

ρa six∈Ωa,

ρb six∈Ωb. (2)

D´eterminer la formulation variationnelle associ´ee dans ce cas au probl`eme (1) et montrer qu’elle admet une solution unique dans des espaces `a pr´eciser.

3. Les valeurs propres et modes propres (λ_i, u_i)_i≥1 du tambour sont les solutions du probl`eme















−ka∆u_i|Ωa =λ_iρ_au_i|Ωa dans Ω_a

−kb∆u_i|Ωb=λiρbu_i|Ωb dans Ωb

u_i|Ωa =u_i|Ωb sur Γ ka

∂u_i|Ωa

∂n =kb

∂ui|Ωb

∂n sur Γ

u= 0 sur∂Ω,

(3)

o`u ui|Ωa et ui|Ωb sont respectivement les restrictions de ui `a Ωa et Ωb. En appliquant un r´esultat du cours, montrer qu’il existe une famille modes et valeurs propres (ui, λi)_i≥1 telle que (ui)_i≥1 forme une base hilbertienne deL²(Ω) pour le produit scalaire

(u, v)ρ= Z

Ω

ρuv dx,

tandis que (λ_i)_i≥1 est une suite croissante de r´eels positifs qui tend vers l’infini.

4. Exprimer la solution u de l’´equation (1) en fonction de la d´ecomposition des conditions initialesU0 etU1sur la base de modes propres obtenue.

5. On souhaite d´eterminer l’influence de l’application du patch sur la note associ´ee `a la plus petite valeur propre du tambour, appel´ee note fondamentale. Dans la suite, on consid`ere que les valeurs de k_a et ρ_a sont fix´es et quek_b et ρ_b d´ependent de param`etres de contrasteret sde sorte que

kb=rka etρb=sρa.

On noteraui(r, s) etλi(r, s) les solutions de (3) associ´ees `a un contraste donn´e et on notera par ailleursk(r) etρ(s) la rigidit´e et la densit´e de la membrane, constantes par morceaux, donn´ees par (2).

a) Quelle est l’influence du patch sur la note fondamentale sis= 1 etr >1 ? b) Quelle est l’influence du patch sur la note fondamentale sis >1 etr= 1 ?

Partie B : Patch de tr` es forte rigidit´ e

Dans les questions qui suivent, on va ´etudier l’influence d’un patch augmentant tr`es fortement la rigidit´e de la membrane sans en modifier la densit´e.

6. Montrer queλ1(r,1) est convergent lorsquer→ ∞. On noteraλ^∗ sa limite.

7. Montrer qu’il existe une suite (rn)_n≥0 de r´eels strictement positifs tendant vers l’infini telle queu1(rn,1) soit convergente dansL²(Ω). On noterau^∗ sa limite. D´eterminerR

Ωρa|u^∗|²dx.

8. Montrer que pour toutrmet rp dansR⁺∗, tels querm≤rp, on a Z

Ω

k(rm)

∇u1(rm,1)− ∇u1(rp,1) 2

2

dx

≤λ1(rm,1) +λ1(rp,1)

2 −λ1(rm,1) Z

Ω

ρa

u1(rm,1) +u1(rp,1) 2

2

dx.

On pourra `a cet effet utiliser l’´egalit´e de la m´ediane

∀a, b∈R

a+b 2

2

+

a−b 2

2

=|a|²+|b|²

2 .

9. Montrer que la suiteu₁(r_n,1) est convergente dansH₀¹(Ω).

10. Montrer que∇u^∗= 0 presque partout sur Ω_b.

11. En passant `a la limite sur la formulation variationnelle v´erifi´ee par (u1(rn,1), λ1(rn,1)), montrer que (u<sup>∗</sup>, λ<sup>∗</sup>) est solution d’un probl`eme spectral `a d´eterminer (Indication : on con- sid´erera des fonctions tests de gradient nul sur Ωb).

Partie C : Patch de tr` es grande densit´ e

Dans les questions qui suivent, on va ´etudier l’influence d’un patch augmentant tr`es fortement la densit´e de la membrane sans en modifier la rigidit´e.

12. Montrer ques7→sλ1(1, s) est une fonction croissante des. Montrer par ailleurs quesλ1(1, s) est major´ee ind´ependamment despour touts >1. En d´eduire quesλ1(1, s) est convergente vers un r´eel strictement positifβ lorsques→+∞.

13. Montrer ques^1/2u1(1, s) est born´e dansH₀¹(Ω) ind´ependamment des >1.

14. Montrer que

Z

Ω_b

ρa|s^1/2u1(1, s)|²dx→1 lorsques→+∞.

15. Montrer qu’il existe une suite de r´eels positifs (s_n)_n≥0croissante et tendant vers l’infini tels ques_n^1/2u₁(1, s_n) converge dansL²(Ω). On noterawsa limite. Montrer de plus que

Z

Ω_b

ρa|w|²dx= 1.

16. Montrer que pour tous r´eels strictement positifss_mets_p, on a Z

Ω

ka

∇

sm1/2u1(1, sm)−sp1/2u1(1, sp) 2

2

dx

≤s_mλ₁(1, s_m) +s_pλ₁(1, s_p)

2 −γ(sm, sp)smλ1(1, sm), o`u

γ(sm, sp) =sm−1Z

Ω_a

ρa

s_m^1/2u₁(1, s_m) +s_p^1/2u₁(1, s_p) 2

² dx

+ Z

Ωb

ρa

sm1/2u1(1, sm) +sp1/2u1(1, sp) 2

² dx.

En d´eduire que la suitesn1/2u1(1, sn) converge verswdansH¹(Ω).

17. Montrer quewest non nul et que (w, β) est solution du probl`eme spectral −k_a∆w=βχ_bρ_aw dans Ω

w= 0 sur∂Ω (4)

o`u χb est la fonction caract´eristique de Ωb (i.e. ´egale `a l’unit´e sur Ωb et nulle sur son compl´ementaire).

Probl` eme 2 (copies vertes, 10 points) Un mod` ele (simplifi´ e) de forces coh´ esives

Partie A : ´ Etude du mod` ele continu

On consid`ere un ouvert connexe, born´e, r´egulier Ω de R<sup>2</sup>. La fronti`ere ∂Ω de Ω est partitionn´ee en deux sous-ensembles connexes∂Ω_D et ∂Ω_∗, tous deux de mesure (superficielle) non-nulle. On consid`ere l’espace

V :={v∈H¹(Ω); v|_∂ΩD= 0}.

Muni de la norme kvkV :={kvk²_L2(Ω)+k∇vk²_L2(Ω)}^1/2, V est un espace de Hilbert. De plus, on dispose d’une in´egalit´e de Poincar´e surV si bien qu’il existe une constanteCΩ>0 telle que

∀v∈V, CΩkvkV ≤ k∇vk_L2(Ω).

Soitf ∈L²(Ω). On consid`ere la fonctionnelleE :V →Rtelle que

∀v∈V, E(v) :=1 2

Z

Ω

µ|∇v|²dx− Z

Ω

f v dx,

o`u µ >0 est un param`etre r´eel strictement positif.

1. Montrer (en d´etaillant les ´el´ements de la preuve) que la fonctionnelleE est diff´erentiable au sens de Fr´echet en toutv∈V et calculer sa d´eriv´ee envdans la directionw∈V (on utilisera la notation hE⁰(v), wiV⁰,V).

2. En utilisant la caract´erisation (10.11) du polycopi´e, montrer que la fonctionnelleEest forte- ment convexe surV. En d´eduire que la fonctionnelleE admet un unique minimiseur global surV.

Soitψ : R→R une fonction de classeC¹ telle que ψ⁰ est globalement Lipschitzienne sur R(ce qui signifie qu’il existe une constante L telle que, pour touts, t ∈R,|ψ⁰(s)−ψ⁰(t)| ≤ L|s−t|).

On d´efinit la fonctionnelle Ψ :V →Rtelle que

∀v∈V, Ψ(v) :=

Z

∂Ω∗

ψ(γ_∗v)ds,

o`u γ_∗ :V →L²(∂Ω_∗) est l’application trace sur∂Ω_∗ :

∀v∈V, γ_∗v:=v|∂Ω∗. Cette application est continue : il existe une constanteCγ∗telle que

∀v∈V, kγ_∗vk_L2(∂Ω∗)≤Cγ_∗kvkV.

On admet que, pour tout v ∈V, ψ(γ_∗v) est bien int´egrable sur ∂Ω_∗, queψ⁰(γ_∗v)∈L²(∂Ω_∗) et que la fonctionnelle Ψ est diff´erentiable en toutv∈V avec

∀w∈V, hΨ⁰(v), wiV⁰,V = Z

∂Ω∗

ψ⁰(γ_∗v)γ_∗w ds.

On d´efinit enfin la fonctionnelleJ :V →Rtelle que

∀v∈V, J(v) :=E(v) + Ψ(v).

Le lecteur curieux trouvera une motivation des bases physiques du mod`ele `a la fin de l’´enonc´e.

3. Montrer que sous la condition

µC_Ω² > LC_γ²_∗, (5)

la fonctionnelleJ est fortement convexe surV et qu’elle admet un unique minimiseur global sur V (on le notera u). ´Ecrire l’´equation satisfaite par ce minimiseur pour toute fonction test v∈V.

4. Sous l’hypoth`ese u∈H²(Ω), montrer que −µ∆u=f dans L²(Ω), puis, en admettant que les traces des fonctions de V sur∂Ω_∗ engendrent un sous-espace dense dans L²(∂Ω_∗), que µ^∂u_∂n +ψ⁰(γ_∗u) = 0 dansL²(∂Ω_∗).

Partie B : Discr´ etisation

L’objectif est maintenant de formuler un probl`eme de minimisation discret sur un sous-espace de dimension finie

V_h⊂V.

La construction deV_hrepose sur la m´ethode des ´el´ements finis. On suppose que Ω est un polygone deR² et on consid`ere un maillage triangulaire Th de Ω. On suppose que les arˆetes de Th situ´ees sur la fronti`ere ∂Ω se trouvent soit sur ∂ΩD soit sur ∂Ω_∗, et on note Ah l’ensemble des arˆetes qui se trouvent sur∂Ω_∗. L’espace discretVh est engendr´e par des fonctions continues, affines par morceaux surThet nulles sur∂ΩD. Pour toute arˆetea∈ Ah,had´esigne la longueur dea. De plus, pour toutvh∈Vh, la fonction γ_∗vh|a est affine sura; sa valeur moyenne suraest donn´ee par

hγ∗vhia:= 1 ha

Z

a

γ∗vhds.

La fonctionnelle Ψ ´etant non-lin´eaire, on introduit en pratique une fonctionnelle approch´ee afin d’´evaluer l’int´egrale sur∂Ω_∗. Partant de la formule des rectangles, on consid`ere la fonctionnelle approch´ee Ψ_h d´efinie par

∀vh∈V_h, Ψ_h(v_h) := X

a∈Ah

h_aψ(hγ∗v_hia),

et on pose

∀vh∈Vh, Jh(vh) :=E(vh) + Ψh(vh).

On admet que

∀wh∈Vh, hΨ⁰_h(vh), whi_V⁰

h,V_h = X

a∈Ah

haψ⁰(hγ_∗vhia)hγ_∗whia.

5. Montrer que

a) pour tout vh∈Vh,P

a∈Ahha|hγ∗vhia|²≤ kγ∗vhk²_L2(∂Ω∗);

b) sous la condition (5), la fonctionnelleJhest fortement convexe surVh;

c) sous cette mˆeme condition, la fonctionnelleJ_h admet un unique minimiseur global sur Vh (on le notera uh). ´Ecrire l’´equation satisfaite par ce minimiseur pour toute fonction testvh∈Vh.

6. L’objectif de cette question est d’estimer l’erreur d’approximation ku−u_hk_V. On suppose la condition (5) et on pose α:=µC_Ω² −LC_γ²_∗>0.

a) Montrer que, pour toutvh∈Vh, en posantδh:=uh−vh, on a αkδhk²_V ≤ hJ⁰(u)−J⁰(vh), δhi_V⁰

h,Vh+hJ⁰(vh)−J_h⁰(vh), δhi_V⁰

h,Vh.

b) En d´eduire que, pour toutvh∈Vh,

αkuh−v_hkV ≤(µ+LC_γ²_∗)ku−v_hkV +LC_γ∗ (

X

a∈Ah

Z

a

|γ∗v_h− hγ∗v_hia|²ds )^1/2

.

c) On consid`ere une suite (Th)_h>0 de maillages r´eguliers de Ω. On suppose queu∈H²(Ω) et on d´esigne parr_hul’interpol´e deudansV_h. On rappelle le r´esultat d’interpolation

ku−r_huk_V ≤C₁hkuk_H2(Ω),

et on admet par ailleurs le r´esultat suivant : (

X

a∈A_h

Z

a

|γ_∗(rhu)− hγ_∗(rhu)ia|²ds )1/2

≤C2hkuk_H2(Ω),

avec des constantes C₁ etC₂ ind´ependantes de het de u. ´Etablir l’estimation d’erreur ku−u_hkV ≤C₃hkukH²(Ω),

en pr´ecisant la constanteC₃.

Partie C : R´ esolution num´ erique

Les ´equations obtenues `a la question 5c sontnon-lin´eairesenuh. Afin de contourner cette difficult´e, on utilise unem´ethode de d´ecomposition-coordinationdont le principe est d’introduire une inconnue auxiliaire pour la trace deu_h sur∂Ω_∗. On choisit pour cette inconnue auxiliaire l’espace discret

M_h:={η_h∈L²(∂Ω_∗); η_h|_a est constante sur toute arˆetea∈ A_h}.

On noteraM la dimension de Mh; celle-ci est ´egale au nombre d’arˆetes dans Ah. On supposera que la condition (5) est satisfaite.

7. On consid`ere le probl`eme de minimisation avec contraintes d’´egalit´e inf

(v_h,η_h)∈KJh(vh, ηh), Jh(vh, ηh) :=E(vh) + X

a∈A_h

haψ(ηa),

o`u K:={(vh, ηh)∈Vh×Mh; hγ∗vhia=ηa pour touta∈ Ah} et avec la notation abr´eg´ee ηa:=ηh|a. Pour touta∈ Ah, on introduit l’applicationFa :Vh×Mh→Rtelle que

∀(vh, η_h)∈V_h×M_h, F_a(v_h, η_h) :=hγ∗v_hia−η_a.

a) Montrer que la fonctionnelleJhadmet un unique minimiseur global dansK, celui-ci ´etant

´

egal `a (u_h, ξ_h) avec unξ_h∈M_hque l’on pr´ecisera.

b) Montrer que la famille{F_a⁰(uh, ξh)}_a∈Ahest libre. (On pourra consid´erer une combinaison lin´eaire P

a∈AhωaF_a⁰(uh, ξh) et faire agir cette combinaison sur des vecteurs (vh, ηh) ∈ Vh×Mh bien choisis.)

c) Montrer qu’il existe une unique fonctionph∈Mh telle que, en notantpa:=ph|a, Z

Ω

µ∇u_h· ∇v_hdx+ X

a∈Ah

h_ahγ_∗v_hi_ap_a = Z

Ω

f v_hdx, ∀v_h∈V_h, (6a) X

a∈Ah

ha(ψ⁰(ξa)−pa)ηa= 0, ∀ηh∈Mh. (6b)

8. On pose Xh :=Vh×Mh et on introduit le Lagrangien Lr,h :Xh×Mh →Rtel que, pour tout ((vh, ηh), qh)∈Xh×Mh,

Lr,h((vh, ηh), qh) =Jh(vh, ηh) + X

a∈Ah

haqa(hγ∗vhia−ηa) +r 2

X

a∈Ah

ha|hγ∗vhia−ηa|²,

o`ur≥0 est un param`etre r´eel (avec les notationsqa :=qh|a et ηa :=ηh|a). Lorsquer= 0, on retrouve le Lagrangien usuel associ´e `a la minimisation de la fonctionnelle Jh dans K; lorsque r >0, on appelleLr,h unLagrangien augment´e. L’approche par d´ecomposition- coordination conduit `a l’algorithme it´eratif suivant (inspir´e de l’algorithme d’Uzawa) : ´etant donn´esξ⁰_h∈Mh etp⁰_h∈Mh, r´esoudre pour toutn≥0,

Lr,h((uⁿ⁺¹_h , ξⁿ_h), pⁿ_h) = inf

v_h∈Vh

Lr,h((vh, ξ_hⁿ), pⁿ_h), (7a) Lr,h((uⁿ⁺¹_h , ξⁿ⁺¹_h ), pⁿ_h) = inf

η_h∈Mh

Lr,h((uⁿ⁺¹_h , ηh), pⁿ_h), (7b) pⁿ⁺¹_a =pⁿ_a +ρ(hγ_∗uⁿ⁺¹_h ia−ξⁿ⁺¹_a ), ∀a∈ Ah, (7c) o`u ρ >0 est un param`etre fix´e. Noter que la minimisation de Lr,h se fait d’abord envh `a ηh=ξ<sub>h</sub><sup>n</sup> fix´e (´etape (7a)) puis en ηh `avh=uⁿ⁺¹_h fix´e (´etape (7b)).

(a) ´Ecrire l’´equation satisfaite paruⁿ⁺¹_h pour toute fonction testvh∈Vh (on poseraξⁿ_a :=

ξⁿ_h|a etpⁿ_a :=pⁿ_h|a). Montrer que la d´etermination deuⁿ⁺¹_h revient `a la r´esolution d’un syst`eme lin´eaire. On pr´ecisera le terme g´en´erique de la matrice et du second membre en utilisant les fonctions de base de l’espace discret Vh que l’on notera (ϕ1, . . . , ϕN).

V´erifier que la matrice obtenue est sym´etrique d´efinie positive.

(b) ´Ecrire l’´equation satisfaite par ξⁿ⁺¹_h pour toute fonction test η_h ∈ M_h (on posera ξⁿ⁺¹_a := ξ_hⁿ⁺¹|_a et η_a := η_h|_a). Montrer que la d´etermination de ξ_hⁿ⁺¹ revient `a la r´esolution de M (la dimension de Mh) probl`emes de minimisation unidimensionnels d´ecoupl´es. Montrer que sous la conditionr > L, chacun de ces probl`emes fait intervenir une fonctionnelle fortement convexe surRque l’on pr´ecisera.

Remarque sur la mod´elisation physique.Le minimiseur u: Ω → R d´ecrit le d´eplacement vertical d’une membrane tendue, occupant initialement le domaine Ω, soumise `a une densit´e sur- facique d’efforts verticaux f et fix´ee sur le sous-ensemble ∂ΩD de sa fronti`ere. Enfin, un mod`ele (simplifi´e) de forces coh´esives est appliqu´e sur le sous-ensemble ∂Ω_∗. Ces forces coh´esives sont

´

egales `a −ψ⁰(γ_∗u). La figure ci-dessous illustre la forme typique des graphes des fonctions ψ et ψ⁰. Lorsque le d´eplacement de la membrane est petit sur∂Ω∗, les forces coh´esives exercent une force de rappel sur le bord de la membrane et cette force de rappel augmente avec le d´eplacement.

Lorsque le d´eplacement devient plus grand, les forces coh´esives d´ecroissent (perte de coh´esion) et typiquement s’annulent pour de grands d´eplacements (o`u toute coh´esion est perdue).

ψ ψ⁰

perte de coh´esion γ∗u

Figure 2 – Exemple de fonctionψ (`a gauche) et de fonctionψ<sup>0</sup> (`a droite)