M45 Analyse Num´erique, S4 2011-2012 Interrogation ´Ecrite II, 12 avril 2012
Dur´ee 45 minutes
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R´epondre dans les espaces pr´evus `a cet effet.
Exercice On consid`ere sur l’intervalle [−1,1] les formules de quadrature
´
el´ementaires de la forme
Iapp(f) = 2 (λ0f(−α) +λ1f(0) +λ2f(α)), o`u λ0, λ1, λ2 ∈R, 0< α≤1.
(i) [1 pt] Rappeler la d´efinition d’ordre d’une formule de quadrature
´
el´ementaire.
(ii) [2 pts] ´Ecrire les conditions satisfaites par α, λ0, λ1 et λ2 pour que la m´ethode soit d’ordre 4 au moins.
(iii) [2 pts] Trouver les uniques valeurs de α, λ0, λ1 et λ2 pour que la m´ethode soit d’ordre 4 au moins.
(iv) [1 pts] Montrer que la m´ethode ainsi obtenu est d’ordre 5.
(v) [2 pts] On consid`ere maintenant un intervalle [a, b], avec −∞ < a <
b < +∞. ´Ecrire la formule d’int´egration compos´ee qui correspond `a la for- mule ´el´ementaire ´etabli en (iii).
(vi) [2 pts] Comment se compare cette m´ethode `a celles des rectangles, du point milieu et de Simpson?
