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M45 Analyse Num´erique, S4 2011-2012 Interrogation ´Ecrite I, 23 f´evrier 2012 Dur´ee 1 heure

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(1)

M45 Analyse Num´ erique, S4 2011-2012 Interrogation ´ Ecrite I, 23 f´ evrier 2012

Dur´ ee 1 heure

Documents, calculettes et t´ el´ ephones portables ne sont pas autoris´ es.

R´ epondre dans les espaces pr´ evus ` a cet effet.

Exercice 1. (4 pts) On consid` ere la fonction f(x) = sin(πx

2

) sur [−1, 1].

(i) D´ eterminer le polynˆ ome P

4

(x) d’interpolation de f en les points x

0

=

0, x

1

= 1/2, x

2

= −1/2, x

3

= 1, x

4

= −1.

(2)

(ii) (2 pts) Calculer (intelligemment) une valeur approch´ ee de P

4

(0.4). On pourra utiliser √

2 ' 1.4.

(iii) (3 pts) [[Cette question est ind´ ependante des deux pr´ ec´ edentes]] Donner une estimation de l’erreur |f (x)−P

4

(x)| en termes de M

5

= max

t∈[−1,1]

|f

(5)

(t)|, et de x. On admettra que M

5

' 7000. Peut-on conclure de cette estimation que P

4

(0.4) est une valeur approch´ ee int´ eressante de f (0.4)?

(iv) (1 pt) D´ eterminer une autre valeur approch´ ee de f (0.4), en utilisant une

autre m´ ethode, vue l’ann´ ee pass´ ee. Donner une estimation de l’erreur dans

cette autre m´ ethode. La m´ ethode vous paraˆıt-elle efficace ici?

Références

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