L2 MIMP S4 – Analyse num´ erique

UNIVERSIT´E LILLE 1 2011–2012

L2 MIMP S4 – Analyse num´ erique

Responsable : S. De Bi`evre DS Samedi 23 Juin 2012 – 10h30-12h30

Il est important de donner des arguments complets, bien r´ edig´ es.

L’UTILISATION DE DOCUMENTS OU DE CALCULATRICES EST INTERDITE PENDANT L’´ EPREUVE

Le barˆ eme est donn´ e ` a titre indicatif

I. [5 pts] On consid`ere sur l’intervalle [−1,1] les formules de quadrature ´el´ementaires de la forme

I_app(f) = 2 (λ₀f(−1) +λ₁f(0) +λ₂f(1)), o`u λ₀, λ₁, λ₂ ∈_R.

(i) [1 pt] Rappeler la d´efinition d’ordre d’une formule de quadrature ´el´ementaire.

(ii) [2 pts] D´eterminer les poids λ0, λ1, λ2 pour que la m´ethode soit d’ordre le plus ´elev´e possible. Quel est cet ordre ?

(iii) [1 pt] On consid`ere maintenant un intervalle [a, b], avec −∞ < a < b < +∞. ´Ecrire la formule d’int´egration compos´ee qui correspond `a la formule ´el´ementaire ´etablie en (ii).

(iv) [1 pt] Quelle m´ethode reconnaissez-vous ? Comment se compare-t-elle `a celles des rectangles et du point milieu ?

II. [4 pts] R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes.

(i) [2 pts] y⁰(t) = texp(y(t)), y(0) = 0. Identifier l’intervalle maximal d’existence de la solution.

(ii) [2 pts]y⁰(t) + cos(t)y(t) = cos(t) sin(t), y(0) = 0. Montrer que la solution est globale, et p´eriodique.

III. [11 pts] Soit f une fonction de classe C³(_R,_R). On dit que f v´erifie la condition de Lipschitz s’il existe un r´eel L >0 tel que

∀y₁, y₂ ∈_R,|f(y₂)−f(y₁)| ≤L|y₂−y₁|.

(i) [2 pts] Pour chacune des fonctions suivantes, d´eterminer si elles satisfont, oui ou non, la condition de Lipschitz :

f1(y) = cos(y) ; f2(y) = cos(y²).

Soit y0 ∈ R. Dans la suite, nous supposons que f satisfait la condition de Lipschitz. On sait alors que le probl`eme de Cauchy

y⁰(t) = f(y(t)), y(0) =y₀,

admet une solution unique y ∈C⁴([0, T],_R) pour une certaine valeur T >0. Soit h_∗ >0.

On donneN ∈_N^∗ tel que le pas de tempsh=T /N v´erifieh < h∗. Soit Φ∈C³(_R×[0, h∗]).

1

On consid`ere la m´ethode `a un pas

y_n+1 =y_n+hΦ(y_n, h).

(ii) [1 pt] Rappeler la d´efinition de “m´ethode `a un pas convergente”.

On consid`ere par la suite l’erreur de consistance de la m´ethode, d´efinie par _n =y(t_n+1)−[y(t_n) +hΦ(y(t_n), h)] avec t_n =nh= n

NT.

(iii) [2 pts] Rappeler la d´efinition de “m´ethode `a un pas consistante”, et de “m´ethode d’ordre p(p∈_N)”.

(iv) [2 pts] Soit y : t ∈[0, T]→ y(t) ∈_R une solution du probl`eme de Cauchy ci-dessus.

Montrer que, pour tout 0≤n ≤N, on a

y⁰⁰(t_n) = f⁰(y(t_n))f(y(t_n)), y⁰⁰⁰(t_n) =f⁰⁰(y(t_n))f²(y(t_n)) + (f⁰)²(y(t_n))f(y(t_n)).

(v) [1 pt] ´Ecrire, pour tout z ∈ _R, le d´eveloppement de Taylor-Lagrange `a l’ordre 2 de Φ(z, h) autour deh= 0.

(vi) [3 pts] En utilisant le r´esultat du (iv) pour effectuer le d´eveloppement de Taylor- Lagrange `a l’ordre 3 de y(t_n+1) autour de t_n, montrer que l’erreur de consistance _n satisfait

_n = O(h⁴), pourvu que

Φ(z,0) =f(z), ∂Φ

∂h(z,0) = 1

2f⁰(z)f(z), ∂²Φ

∂h²(z,0) = 1

3 f⁰⁰(z)f²(z) + (f⁰)²(z)f(z) . Sous cette hypoth`ese, que peut-on dire de l’ordre de la m´ethode ?

IV. [4 pts] (i) [2 pts] ´Enoncer la m´ethode de Newton pour la solution d’une ´equation du type f(x) = 0, o`u f est une fonction de classe C¹. Expliquer la m´ethode graphiquement par un dessin.

(ii) [1 pt] Montrer que la m´ethode de Newton appliqu´ee `a la solution de l’´equationx<sup>2</sup> = 3 m`ene `a :

x_n+1 = 1

2(x_n+ 3 x_n).

(iii) [1 pt] On pose x₀ = 1,8. Calculer x₁ sous forme de fraction et sous forme d´ecimale.

Mon ordinateur me donne x₂ = 1,73205128. . .. Et comme valeur approch´ee de √ 3 : 1,732050807569. . .. Commenter sur l’efficacit´e de la m´ethode de Newton.

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