PROPOSITION DE CORRECTION DU CONTR ÔLE CLASSANT DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES Analyse numérique et optimisation (MAP431) Lundi 30 juin 2008 Problème 1 - Estimation d’erreur a posteriori

(1)

PROPOSITION DE CORRECTION DU CONTR ˆ OLE CLASSANT DE MATH´ EMATIQUES APPLIQU´ EES

Analyse num´ erique et optimisation (MAP431) Lundi 30 juin 2008

Probl` eme 1 - Estimation d’erreur a posteriori

1) La formulation variationnelle consiste `a d´eterminer

u∈X:={v∈H¹(Ω) : v= 0 sur ΓD} tel que quel que soitv∈X,

Z

Ω

∇u· ∇v dx= Z

Ω

f v dx+ Z

Γ_N

gv ds.

D’après le théorème de Lax-Milgram, cette formulation variationnelle admet une solution unique. La coer- civité de la forme bilinéaire découle de l’inégalité de type Poincaré rappelée dans l’énoncé.

2)

a. La formulation variationnelle est identique à celle obtenue précédemment, quitte à remplacerf par f(h) et gparg(h).

b. Pour toutv∈X, on a Z

Ω

(∇u− ∇u(h))· ∇v dx= Z

Ω

(f −f(h))v dx+ Z

Γ_N

(g−g(h))v ds.

En choisissantv=u−u(h), on en déduit en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz et le Théorème de trace que

Z

Ω

|∇u− ∇u(h)|²dx≤Cku−u(h)k_H1(Ω)(kf−f(h)k_L2(Ω)+kg−g(h)k_L2(Γn)).

D’après l’inégalité de type Poincaré rappelé dans l’énoncé, il vient

ku−u(h)kH¹(Ω)≤C(kf−f(h)kL²(Ω)+kg−g(h)kL²(Γ_n)).

c. SoitT un triangle du maillage. On notea₀, a₁et a₂ses sommets et A_T la matrice (a₁−a₀|a₂−a₀).

L’application affineF_T(x) =A_Tx+a₀ est telle queT =F_T(T₀).

On utilise la norme matricielle subordonn´ee `a la norme euclidienne. On a kATk= sup

kxk≤1

kATxk.

SoitB₀ la boule inscrite dansT₀de rayonρ₀ et de centrex₀. On a kATk=ρ⁻¹₀ sup

kxk≤ρ0

kATxk=ρ⁻¹₀ sup

kx−x0k≤ρ0

kATx−ATx0k=ρ⁻¹₀ sup

x∈B0

kFT(x)−FT(x0)k.

(2)

CommeB0 est incluse dansT0, on en d´eduit que pour toutx∈B0,FT(x) appartient `a T. AinsikFT(x)− FT(x0k ≤hT et

kATk ≤hT/ρ0. R´eciproquement, on a

kA⁻¹_T k ≤h_T₀/ρ_T,

où ρT est le diamètre du cercle inscrit dansT. Le maillage étant régulier, le diamètre du cercle inscrit dans T est du même ordre de grandeur que le diamètre du triangleT. Ainsi,

kA⁻¹_T k ≤Ch⁻¹_T ,

d. D’après l’inégalité de Poincaré-Wirtinger, pour toute fonctionϕ∈H¹(T0), on a Z

T0

|ϕ−m(ϕ)|²dx≤ Z

T0

|∇ϕ|²dx;

On pose ψ =ϕ◦F_T⁻¹. On a ∇ψ(y) = A⁻¹_T ∇ϕ. En effectuant un changement de variable dans l’inégalité précédente, on en déduit que

Z

T

|ψ−m(ψ)|²|detA_T|⁻¹dy≤ Z

T

|AT∇ψ|²|detA_T|⁻¹dy,

soit Z

T

|ψ−m(ψ)|²dy≤ Z

T

|AT∇ψ|²dy.

D’après la question précédente,kATk ≤ChT (oùC est une constante indépendante dehT) et Z

T

|ψ−m(ψ)|²dy≤ |hT|² Z

T

|∇ψ|²dy.

En appliquant cette inégalité à ψ=f, on en déduit que Z

T

|f −f(h)|²dx≤ |h_T|² Z

T

|∇f|²dx.

e. Un raisonnement similaire nous permet d’´etablir que Z

E

|g−g(h)|²≤Ch²_E Z

E

|∇g|².

En combinant cette in´egalit´e avec celles obtenues aux questions bet d, il vient ku−u(h)k_H1(Ω)≤Ch(k∇fk_L2(Ω)+k∇gk_L2(Γ_N)).

3) Il suffit d’appliquer le Théorème de Lax-Milgram pour obtenir l’existence d’une unique solution au problème discrétisé (3).

4)

(3)

a. Un élément fini P1 est déterminé de manière unique par ses valeurs aux nœuds du maillage. La définition deIh détermine pour toutϕun élément finiP1 Ih(ϕ), car elle précise sa valeur en tous les nœuds du maillage. De plus, commeIh(ϕ) s’annule sur ΓD, il appartient àXh.

b. La famille de maillagesThétant supposée régulière, l’angle formé par deux cotés d’un triangleT ∈ Th

est borné inférieurement, indépendamment de h. Notonsθ_min>0 cette borne inférieure. Un sommetxdu maillage ne peut pas appartenir à plus de 2π/θ_min triangles du maillage et

|Card{T ∈ T_h ; T ⊂ω_x}| ≤2π/θ_min

L’ouvertωxest inclus dans la boule centr´ee enxde rayon maxT⁰⊂ωxhT⁰. Ainsi, il suffit de prouver que pour tout triangleT du maillage inclus dansωx, on a

max

T⁰⊂ωx

hT⁰ ≤ChT.

En fait, il suffit de montrer que le rapport h_T₁/h_T₂ entre deux triangles possédant une arête commune est borné par une constante c0. On en déduit alors, en raisonnant de proche en proche que

max

T⁰⊂ωx

hT⁰ ≤(c0)^m−1hT,

oùm= sup_x|Card{T ∈ T_h; T ⊂ω_x}|. SoitEl’arête commune àT₁etT₂le maillage étant régulier,h_T₁/h_E eth_E/h_T₂ sont tous deux majorés indépendamment de h. Il en est donc de même pourh_T₁/h_T₂.

c. Nous allons prouver que pour tout entiernil existe une constanteCntelle que pour tout sommetxdu maillage appartenant `antriangles distincts du maillage (c’est `a dire tel quen=|Card{T ∈ Th; T ⊂ωx}|), on a

kv−πxvk_L2(ωx)≤Cn(diam(ωx))k∇vk_L2(ωx). Etant donn´´ e quenest major´e parm, on en d´eduit alors que

kv−πxvk_L2(ωx)≤ sup

n≤m

Cn(diam(ωx))k∇vk_L2(ωx).

On suppose pour simplifier quexn’est pas un élément du bord du maillage (dans le cas contraire, on peut aisément adapter le raisonnement qui suit).

Soit ωn un polygône régulier de diamètre 1, centré à l’origine. On décompose ωn en n triangles notés Ti (i = 1,· · ·, n). Soit F un difféomorphisme, de déterminant positif, de ωn dans ωx, continue, dont la restriction à chacun des trianglesT_iest affine, tel queF(0) =xet tels queF(T_i) soit un triangle du maillage Th (une telle application existe et est définie à une rotation de 2kπ/nprès (k= 1,· · · , n) du polygôneω_n).

D’après l’inégalité (6) de l’énoncé, il existe C_n tel que pour toutv∈H¹(ω_x), kv−πxvk²_L2(ω_x)≤Cn

max detF

min detFk∇Fk²k∇ϕk²_L2(ω_x). Or max detF = max_K∈ω_x(n|K|/|ωn|), min detF = min_K∈ω_x(n|K|/|ωn|) et

k∇Fk= max

kyk=ρn

kF yk/ρn ≤hT/ρn,

oùρnest le diamètre du cercle circonscrit des trianglesTi. On obtient donc la majoration recherchée suivante kv−πxvk²_L2(ω_x)≤Cn

max|K|

min|K|h²_T/ρnk∇ϕk²_L2(ω_x).

(4)

d. L’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égale à un étant un espace de dimension fini, les normeskpk_L^∞_(T₀₎et kpk_L2(T0)sont équivalentes. Il existe donc des constantesC1 etC2telles que

kpkL^∞(T₀)≤C₁kpkL²(T₀)

et

kpk_L2(T0)≤C1kpk_L^∞_(T₀₎.

SoitT un triangle quelconque deR² et F une application affine, difféomorphisme deT0 versT. Pour tout polynômepde degré au plus un, on pose ˆp=p◦F⁻¹. ˆpest également un polynôme de degré au plus un sur R², et d’après les inégalités précédente,

kpkˆ L^∞(T₀)≤C1kpkˆ L²(T₀) (1) et

kpkˆ _L2(T₀)≤C₂kpkˆ _L∞(T₀). (2) Or

kpkˆ L^∞(T₀)=kpkL^∞(T)

et

kpkˆ ²_L2(T0)= Z

T

|p|²|det∇F|⁻¹=|T|⁻¹kpk²_L2(T)/2.

Ainsi, d’apr`es (1), on obtient

kpkL^∞(T)≤C₁|T|^−1/2kpkL²(T)/√ 2 et d’apr`es (1),

kpk_L2(T)≤C2

√2|T|^1/2kpk_L∞(T).

e. Soitϕ∈X, on a

(ϕ−Ihϕ)T = X

x∈N(T)

(ϕ−Ih(ϕ)(x))φx.= X

x∈N(T)

(ϕ−πxϕ)φx.

Ainsi,

kϕ−Ihϕk_L2(T)≤ X

x∈N(T)

kϕ−πxϕk_L2(T)

Ainsi, d’apr`es la question4.c., il vient kϕ−I_hϕkL²(T)≤C X

x∈N(T)

(diamω_x)k∇ϕkL²(ω_x)≤Ch_Tk∇ϕkL²(ωe_T). (3)

(Pour obtenir cette dernière inégalité, on utilise le fait que, le maillage étant régulier, le diamètre des ouvert ω_x est du même ordre de grandeur queh_T).

On effectue un raisonnement similaire pour majorer kϕ−I_hϕk_L2(E). Tout d’abord, on montre, en effectuant un raisonnement identique à celui effectué à la question4.c. qu’il existe un constanteC telle que pour toute arêteE du maillage, tout sommetxdeE et toute fonctionv∈H¹(ω_x), on a

kv−πxvk_L2(E)≤Ch^1/2_E k∇ϕk_L2(ωx).

(5)

kϕ−IhϕkL²(E)≤ X

x∈N(E)

|ϕ(x)−πxϕ|kφxkL²(E). (4) Soitϕ∈X, on a

(ϕ−Ihϕ)E= X

x∈N(E)

(ϕ−Ih(ϕ)(x))φx.= X

x∈N(E)

(ϕ−πxϕ)φx.

Ainsi,

kϕ−I_hϕk_L2(E)≤ X

x∈N(E)

kϕ−π_xϕk_L2(E)

Ainsi, d’apr`es (4), il vient

kϕ−IhϕkL²(E)≤C X

x∈N(E)

h^1/2_E k∇ϕkL²(ω_x)≤Ch^1/2_E k∇ϕkL²(eω_E). (5)

5) Soitv∈X. On a

Z

Ω

∇uh· ∇v= X

T∈Th

Z

T

∇uh· ∇v

Sur chaque triangleT,uhest r´egulier, on peut donc effectuer l’int´egration par partie Z

T

∇uh· ∇v=− Z

T

∆uhv+ Z

∂T

(∇uh|T ·nT)v,

oùn_T est la normale extérieure qu triangleT. La restriction deu_hà tout triangleT du maillage étant affine,

∆u_h= 0 surT. On en d´eduit que Z

Ω

∇uh· ∇v= X

E∈Eh,N

Z

E

nE· ∇uhv+ X

E∈Eh,Ω

Z

E

(∇uh|T₁·nT₁+∇uh|T₂·nT₂)v.

Sans perte de généralité, on peut supposer quenE =nT₁. On a alors Or ∇uh|T₁ = lim_t→0+∇uh(x−tnE) et∇uh|T₁ = lim_t→0+∇uh(x+tnE). Ainsi,

∇uh|T₁·nT₁+∇uh|T₂·nT₂= lim

t→0⁺∇uh(x−tnE)·nE− ∇uh(x+tnE)·nE=−[∇uh·nE]E. Ainsi,

Z

Ω

∇uh· ∇v= X

E∈E_h,N

Z

E

nE· ∇uhv− X

E∈E_h,Ω

Z

E

[∇uh·nE]Ev et

Z

Ω

f(h)v+ Z

Γ_N

g(h)v− Z

Ω

∇uh· ∇v

= X

T∈Th

Z

T

f(h)v+ X

E∈Eh,N

Z

E

(g(h)−nE· ∇uh)v+ X

E∈Eh,Ω

[nE· ∇uh]v. (6)

(6)

6) Pour toutvh∈Xh, on a Z

Ω

f(h)v_h+ Z

Γ_N

g(h)v_h= Z

Ω

∇uh· ∇vh. Ainsi, pour toutv∈X, on a

Z

Ω

f(h)v+ Z

Γ_N

g(h)v− Z

Ω

∇uh· ∇v= Z

Ω

f(h)(v−vh) + Z

Γ_N

g(h)(v−vh)− Z

Ω

∇uh· ∇(v−vh).

D’après l’égalité établie à la question précédente, suite à l’application de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, il vient

Z

Ω

f(h)v+ Z

Γ_N

g(h)v− Z

Ω

∇uh· ∇v≤ X

T∈Th

kf(h)k_L2(T)kv−vhk_L2(T)

+ X

E∈Eh,N

kg(h)−n_E· ∇uhkL²(E)kv−v_hkL²(E)+ X

E∈Eh,Ω

k[nE· ∇uh]_EkL²(E)kv−v_hkL²(E).

En appliquant cette majoration `av_h=I_h(v) ainsi que les estimations (3) et (5), on obtient Z

Ω

f(h)v+ Z

Γ_N

g(h)v− Z

Ω

∇uh· ∇v≤C

X

T∈Th

kf(h)k_L2(T)hTkvk_H1(eωT)

+ X

E∈Eh,N

kg(h)−n_E· ∇u_hk_L2(E)h^1/2_E kvk_H1(eω_E)+ X

E∈Eh,Ω

k[n_E· ∇u_h]_Ek_L2(E)h^1/2_E kvk_H1(ωe_E)

et

Z

Ω

f(h)v+ Z

ΓN

g(h)v− Z

Ω

∇uh· ∇v≤C



 X

T∈T_h

kvk_H1(ωeT)2 + X

E∈E_h,N

kvk²_H1(ωe_E)+ X

E∈E_h,Ω

kvk²_H1(eω_E)





1/2



 X

T∈T_h

kf(h)k²_L2(T)h²_T + X

E∈E_h,N

kg(h)−nE· ∇uhk²_L2(E)hE+ X

E∈E_h,Ω

k[nE· ∇uh]Ek²_L2(E)hE





1/2

Enfin, comme chaque triangleT du maillage appartient à un nombre uniformément borné (par rapport àh) d’ouvertsωeT etωeE, on en déduit que

Z

Ω

f(h)v+ Z

ΓN

g(h)v− Z

Ω

∇u_h· ∇v≤Ckvk_H1(Ω)

X

T∈Th

kf(h)k²_L2(T)h²_T

+ X

E∈E_h,N

kg(h)−nE· ∇uhk²_L2(E)hE+ X

E∈E_h,Ω

k[nE· ∇uh]²_L2(E)hE

^1/2 .

7) Il suffit de constater que pour toutv∈X, on a Z

Ω

f(h)v+ Z

ΓN

g(h)v= Z

Ω

∇u(h)· ∇v.

(7)

Ainsi, d’après la question précédente, Z

Ω

∇(u(h)−uh)· ∇v≤CkvkH¹(Ω)

X

T∈Th

η_T²

!^1/2

o`u η_T =

h²_Tkf_Tk²_L2(T)+1 2

X

E∈E_h,Ω∩E(T)

h_Ek[n_E· ∇u_h]_Ek²_L2(E)

+ X

E∈Eh,N∩E(T)

h_Ekg_E−n_E· ∇u_hk²_L2(E)

^1/2 , (7)

et E(T) est l’ensemble des arêtes du triangle T. En appliquant cette estimation à v = u(h)−uh et en utilisant l’inégalité de type Poincaré

kwk²_H1(Ω)≤C Z

Ω

|∇w|²,

pour toutw∈X, on obtient

ku(h)−uhk_H1(Ω)≤C X

T∈T_h

η_T²

!1/2

.

8)

a. La fonctionbT est continue, carλ1(x)λ2(x)λ3(x) est nul sur le bord du triangleT. On a maxx∈T bT(x) = max

λ∈K27λ1λ2λ3, o`u

K={λ∈R³ : λi≥0 etλ1+λ2+λ3= 1}.

Le maximum debT ne peut être atteint en un point tel que l’une des coordonnées deλs’annule. D’après les conditions d’optimalité du premier ordre, il existe donc un réel µtel que

27λ2λ3= 27λ1λ2= 27λ1λ3=µ

(les contraintes de typeλi≥0 sont inactives). Il s’en suit queλ1=λ2=λ3= 1/3 et maxx∈T bT(x) = 1.

b. D’apr`es la formule de quadrature (6.43) du cours, Z

T

λ₁λ₂λ₃=|T|1!1!1!2!/5! =|T|/60.

Ainsi,

Z

T

b_T = 27

60|T|= 9 20|T|.

Le maillage étant régulier, |T|est du même ordre de grandeur queh²_T.

(8)

c. SoitFT une application affine telle que FT(T0) =T. On abT ◦FT =bT₀ et kb_Tk²_L2(T₀)=

Z

T₀

|b_T₀|²|det∇F_T|=|det∇F_T|kb_T₀k²_L2(T₀) (8)

De plus,∇bT =∇F_T⁻¹∇bT₀ et k∇bTk²_L2(T)=

Z

T0

k∇bTk_L2(T)≤Ck∇F_T⁻¹kkbTk_L2(T).

On conclut en notant quek∇F_T⁻¹k= max_{kF xk=ρ}_T kxk/ρ(T)≤hT₀/ρT ≤Ch⁻¹_T 9)

a. Par intégration par partie, la restriction deu_h àT étant affine etb_T étant nul sur le bord deT, on a Z

T

∇uh· ∇bT = 0.

De plus, d’après le problème variationnel vérifié paru(h), on a Z

T

∇u(h)· ∇bT = Z

T

fTbT. Ainsi,

Z

T

∇(u(h)−uh)· ∇bT = Z

T

fTbT.

b. CommeR

TbT = 9|T|/20, on a 9|T||fT|/20 =

Z

T

∇(u(h)−uh)· ∇bT ≤ k∇(u(h)−uh)k_L2(T)k∇bTk_L2(T). Ork∇bTkL²(T)≤Ch⁻¹_T kbTkL²(T)≤Ch⁻¹_T |T|^1/2. Ainsi,

|T||fT| ≤Ck∇(u(h)−uh)k_L2(T)h⁻¹_T |T|^1/2. et

|T|^1/2|fT| ≤Ck∇(u(h)−uh)k_L2(T)h⁻¹_T . On en d´eduit que

kfTk²_L2 =|fT|²|T| ≤Ck∇(u(h)−uh)k²_L2(T)h⁻²_T . 10)

(9)

a. La fonctionbE est continue sur chaque triangle. De plus, on a continuit´e le long de chaque arˆete: bE

nulle sur le bord deT1∩T2égale à 4λ1(x)λ2(x) sur l’arête E. Elle est donc continue. On a

x∈Tmax1∪T2

bE(x) = max

0≤λ≤14λ(1−λ) = 1.

b. D’apr`es la formule (6.43) du cours, pour toutT ∈ω_E, Z

T

bE= Z

T

4λ1λ2= 4|T|2!/4! =|T|/3.

Enfin, comme le maillage est r´egulier,|T|est du mˆeme ordre de grandeur queh²_E. Z

E

bE= Z 1

0

4s(1−s)hEds= 4hE(1/2−1/3) = 2hE/3.

c. Le même raisonnement que celui effectué à la question8.cs’applique et permet d’obtenir que k∇bEk_L2(T)≤Ch⁻¹_E kbEk_L2(T).

11)

a. Par int´egration par partie, Z

ω_E

∇uh· ∇bE= X

T⊂ωE

Z

T

∇uh· ∇bE =− Z

E

[n_E· ∇uh]_Eb_E. De plus, d’après le problème variationnel vérifié paru(h),

X

T⊂ωE

Z

T

f(h)b_E= Z

ω_E

∇u(h)· ∇bE. Ainsi,

Z

E

[nE· ∇uh]EbE= Z

ω_E

∇(u(h)−uh)· ∇bE− X

T⊂ωE

Z

T

f(h)bE.

b. D’après la question précédente, on a

|[nE· ∇uh]E| Z

E

bE≤ X

T∈ωE

kf(h)k_L2(T)kbEk_L2(T)+k∇(u(h)−uh)k_L2(T)k∇bEk_L2(T)

Et d’apr`es10.c,

|[n_E· ∇u_h]_E| Z

E

b_E≤ X

T∈ωE

kf(h)k_L2(T)+Ch⁻¹_E k∇(u(h)−u_h)k_L2(T)

kb_Ek_L2(T)

OrkbEkL²(T)≤Ch_E etR

Eb_E= 2h_E/3. Ainsi,

|[nE· ∇uh]E|hE≤C X

T∈ωE

kf(h)k_L2(T)+h⁻¹_E k∇(u(h)−uh)k_L2(T)

hE.

On obtient la majoration souhaitée en divisant cette inégalité parh^1/2_E .

(10)

c. On a prouv´e `a la question9.aque pour tout triangleT,

hTkfTkL²(T)≤Cku(u)−uhkH¹(T)

CommehT ethE sont du mˆeme ordre de grandeur, il s’en suit que

h^1/2_E kfTkL²(T)≤Ch^−1/2_E ku(u)−u_hkH¹(T).

D’apr`es la question11.b, on a donc

k[nE· ∇uh]_EkL²(E)=h^1/2_E |[nE· ∇uh]_E| ≤C X

T∈ωE

h^−1/2_E k∇(u(h)−u_h)kL²(T).

12)

a. Par int´egration par partie, Z

ω_E

∇uh· ∇bE= Z

E

n_E· ∇uhb_E.

En utilisant la formulation vérifiée paru(h), on en déduit que Z

E

(gE−nE· ∇uh)bE= Z

ω_E

∇(u(h)−uh)· ∇bE− Z

ω_E

f(h)bE.

En effectuant exactement le mˆeme calcul que lors des questions11.bet11.c(quitte `a remplacer−[nE·∇uh]_E parg_E−n_E· ∇uh ), on obtient

kg_E−n_E· ∇u_hk_L2(E)≤Ch^1/2_E ku(h)−u_hk_H1(ω_E).

13) En utilisant les r´esultats obtenus aux questions 10.c,11.cet12.a, on en d´eduit que η²_T ≤Cku(h)−uhk²_H1(ω_T),

d’o`u

X

T∈Th

η²_T ≤Cku(h)−uhk²_H1(Ω). L’estimation a posteriori est donc efficace.

(11)

Probl` eme 2 - Dynamique de Hellmann-Feynmann

Question 1.

1.a CommeE ety7→y(q) sont de classeC¹, il est en de mˆeme de la fonctionq7→V(q) =E(q, y(q)) et on a

∂V

∂q_i(q) = ∂E

∂q_i(q, y(q)) +hE_y⁰(q, y(q)), ∂y

∂q_i(q)i.

oùE_y⁰ désigne la différentielle par rapport àyde la fonctionE. Commec⁰(y(q))6= 0, on peut appliquer le théorème 10.2.8 : il existeλ∈Rtel que

E⁰_y(q, y(q)) +λc⁰(y(q)) = 0

Par ailleurs,c(y(q)) = 0 pour toutq∈R^d. En d´erivant par rapport `aqi, il vient hc⁰(y(q)), ∂y

∂qi

(q)i= 0.

En cons´equence,

∂V

∂q_i(q) = ∂E

∂q_i(q, y(q)) +hE⁰_y(q, y(q)), ∂y

∂q_i(q)i= ∂E

∂q_i(q, y(q))−λhc⁰(y(q)), ∂y

∂q_i(q)i=∂E

∂q_i(q, y(q)).

D’o`u (14).

1.b La formule (14) permet de calculer les composantes de la force −∇V(q) à partir de y(q) sans avoir à calculer les dérivées dey(q), ce que nécessiterait l’utilisation na¨ıve de la règle de la chaˆıne.

Question 2.

2.a Pour x ∈ Rⁿ\ {0}, on pose φ_x(M) = ^x_|x|^∗^{M x}₂ . Il est clair que φ_x est une forme linéaire sur l’espace vectorielMS(n). De plus l’application trace est également une forme linéaire surMS(n). Comme la condition 0≤M ≤In équivaut à 0≤φx(M)≤1 pour toutx∈Rⁿ\ {0}, il vient

K= \

x∈Rⁿ

φ⁻¹_x ([0,1])

!

\Tr⁻¹({p}).

Les ensemblesφ⁻¹_x ([0,1]) et Tr⁻¹({p}) étant fermés (en tant qu’images réciproques d’ensembles fermés par une application continue) et une intersection quelconque d’ensembles fermés étant fermée, il en résulte queK est fermé.

SoitM ∈ K,λune valeur propre deM etx∈Rⁿ\ {0}un vecteur propre associ´e. Comme 0≤M ≤In, on a 0≤x^∗M x≤ |x|². Or x^∗M x=λ|x|². Donc 0≤λ≤1, ce qui implique que kMk2≤1. DoncK est born´e.

La matrice diagonale par blocM =

Ip 0 0 0n−p

est dansK. DoncK est non vide.

(12)

Enfin, si M1 et M2 sont dans K et si θ ∈ [0,1], alors la matrice θM1+ (1−θ)M2 est sym´etrique, Tr (θM1+ (1−θ)M2) =θTr (M1) + (1−θ)Tr (M2) =p, et

∀x∈Rⁿ\ {0}, φ_x(θM₁+ (1−θ)M₂) =θφ_x(M₁) + (1−θ)φ_x(M₂)∈[0,1].

DoncθM1+ (1−θ)M2∈ K, ce qui prouve queK est convexe.

2.b PosonsFq(M) =E(q, M). On a

Fq(M+P) = Tr (H(q)(M+P)) +1

2kM +Pk²_F=Fq(M) + Tr ((H(q) +M)P) +1 2kPk²_F. DonchF_q⁰(M), Pi= Tr ((H(q) +M)P) etF_q⁰⁰(M)(P, P) =kPk²_F.

Il en r´esulte

• queFq estα-convexe surMS(n) avecα= 1 (voir proposition 10.1.5 et exercice 10.1.9 du cours), et qu’en conséquence (15) admet un unique point de minimumM(q) surK(cf. théorème 9.2.6) ;

• queM(q) vérifie l’inéquation d’Euler (cf. théorème 10.2.1)

∀M ∈ K, hF_q⁰(M(q)), M −M(q)i ≥0, ce qui s’´ecrit aussi

∀M ∈ K, Tr ((H(q) +M(q))M)≥Tr ((H(q) +M(q))M(q)).

2.c Comme∇Fq(M) =H(q) +M, on reconnaˆıt dans

Mk+1= ΠK(Mk−µ(H(q) +Mk))

l’algorithme du gradient à pas fixe avec projection. Or on sait queF_q est α-convexe avec α= 1. De plusF_q⁰ est Lipschizienne de constante de Lipschitz égale à 1. En effet

k∇Fq(M1)− ∇Fq(M2)kF=kM1−M2kF.

Il résulte donc du théorème 10.5.8 que l’algorithme du gradient à pas fixe avec projection converge pour tout 0< µ <2.

Question 3.

3.a PosonsV =Rⁿ etJ(x) =Pn

i=1|xi−yi|². L’ensemble Xad est un compact, convexe non vide deV et la fonction J est α-convexe surV. Le problème (18) admet donc un unique point de minimumx⁰. On est dans le cadre d’application du théorème 10.2.19 avecN = 1, G(x) = Pn

i=1xi−p, M = 2n, Fi(x) =−xi,Fi+n(x) =xi−1. Les conditions d’optimalit´es s’´ecrivent donc

x⁰_i −yi+µ−λi+λi+N = 0, λj≥0, 0≤x⁰_i ≤1, λix⁰_i =λi+N(x⁰_i −1) = 0.

Pour chaque 1≤i≤N, on a donc trois possibilit´es : 1. x⁰_i =yi−µ

(13)

2. x⁰_i = 0, auquel casλi ≥0,λi+N = 0, et 0 =x⁰_i =yi−µ+λi ≥yi−µ 3. x⁰_i = 1, auquel casλi = 0,λi+N ≥0, et 1 =x⁰_i =yi−µ−λi+N ≤yi−µ.

Il en r´esulte que

x⁰_i = max(0,min(y_i−µ,1)).

Il reste `a d´eterminer la valeur du multiplicateur de Lagrangeµ. CommePn

i=1x⁰_i =p,µest n´ecessairement solution de l’´equationfy(µ) =p.

Notons que la fonctionfy est continue et d´ecroissante sur R, et telle quefy(−∞) =n, fy(+∞) = 0.

L’équationf_y(µ) =padmet donc au moins une solution (ce qu’on savait déjà puisque (18) a un point de minimum). Il est possible que f_y⁻¹({p}) soit un intervalle compact deR, mais dans ce cas chacun des x⁰_i est égaal soit à 0, soit à 1, et la valeur dex⁰ est la même quel que soit le choix deµdans cet intervalle. On peut vérifier cela soit directement, soit en invoquant le théorème de Kuhn et Tucker, qui s’applique ici car toutes les contraintes sont affines.

3.b PosonsPe= (

N = diag(N11,· · ·, Nnn), 0≤Nii ≤1,

n

X

i=1

Nii =p )

.

Soit N ∈ P. Comme N ∈ ∆(n), N = diag(N11,· · ·, Nnn) et la condition Tr (N) = p s’´ecrit Pn

i=1Nii=p. On a montré par ailleurs précédemment que toutes les valeurs propres d’un élément de K étaient dans l’intervalle [0,1]. Donc 0≤Nii ≤1 pour tout i. Ceci prouve queN∈Pe.

R´eciproquement, soitN ∈P. Il est clair quee N ∈∆(n) et que Tr (N) =p. Pour toutx∈Rⁿ\ {0}, φ_x(N) =

Pn

i=1Nii|xi|² Pn

i=1|xi|² .

D’o`u 0 ≤ min_1≤i≤nNii ≤ φx(N) ≤ max_1≤i≤nNii ≤ 1, ce qui prouve que 0 ≤ N ≤ In. Donc N ∈∆(n)∩ K=P.

3.c Soit M ∈ MS(n) et N ∈ MS(n) d´efinie par Nij = Mijδij. Il est clair que N ∈ ∆(n). De plus M −N =Mij(1−δij)∈∆(n)^⊥. DoncN = Π∆(n)(M).

SoitM ∈ KetN = Π_∆(n)(M). CommeN_ij =M_ijδ_ij, on a d´ej`aN∈∆(n) etPn

i=1N_ii=Pn

i=1M_ii= Tr (M) =p. Soitei est le vecteur deRⁿ dont la i-`eme composante vaut 1 et dont toutes les autres composantes sont nulles. Comme 0≤M ≤In, on a 0≤e^∗_iM ei≤ |ei|² = 1. OrNii =Mii =e^∗_iM ei. D’o`u 0≤Nii≤1 pour touti, ce qui montre queN ∈ P.

3.d SoitN ∈∆(n) une matrice diagonale. On a (N−Π_∆(n)(Π_K(N)))∈∆(n) et (Π_K(N)−Π_∆(n)(Π_K(N)))∈

∆(n)^⊥. Donc

kN−Π_K(N)k²_F =

N−Π_∆(n)(Π_K(N))

+ Π_∆(n)(Π_K(N))−Π_K(N)

2 F

=

N−Π∆(n)(ΠK(N))

2 F+

Π∆(n)(ΠK(N))−ΠK(N)

2 F.

D’après la question précédente, Π_∆(n)(ΠK(N)) ∈ K. Or ΠK(N) est caractérisé par ΠK(N) ∈ K et kN −Π_K(N)k²_F = min

Ne∈K

kN −Nek²_F. Il en r´esulte que Π_K(N) = Π_∆(n)(Π_K(N)), ce qui montre que Π_K(N)∈∆(n). Ainsi, Π_K(N)∈∆(n)∩ K=P.

(14)

3.e Pour toutNe = diag(x1,· · · , xn)∈∆(n),

kN−Nek²_F=

n

X

i=1

|xi−Nii|².

Les éléments diagonaux de Π_K(N) peuvent donc être obtenus en résolvant le problème d’optimisation min

( _n X

i=1

|xi−N_ii|², 0≤x_i≤1,

n

X

i=1

x_i=p )

.

Un algorithme de calcul de Π_K(N) est donc :

1. Chercher par dichotomie une solutionµ∗ de l’´equationfN(µ) =po`u fN(µ) =

n

X

i=1

max(0,min(Nii−µ,1)).

Cette étape ne pose pas de difficulté car fN est continue et décroissante sur R et qu’on a fN(min(Nii)−1) =netfN(max(Nii)) = 0.

2. Poser

Π_K(N) = diag(max(0,min(N11−µ_∗,1)),· · ·max(0,min(Nnn−µ_∗,1))).

3.f SoitU ∈ M(n) une matrice orthogonale etKU =U^∗KU. SoitMf∈ KU etM ∈ Ktel que Mf=U^∗M U. On aMf^∗= (U^∗M U)^∗=U^∗M^∗U =U^∗M U =Mf, Tr (Mf) = Tr (U^∗M U) = Tr (U U^∗M) = Tr (M) =p et pour toutx∈Rⁿ\ {0},φ_x(Mf) = ^x^∗^(U_|x|^∗^{M U)x}₂ =^{(U x)}_{|U x|}^∗^M₂^{(U x)} =φ_{U x}(M). Donc 0≤φ_x(Mf)≤1. On a donc bienMf∈ K et doncKU ⊂ K.

Ceci ´etant vrai pour tout matrice orthogonale U, on a en particulier KU^∗ ⊂ K. Par suite K = U^∗KU^∗U ⊂U^∗KU =KU ⊂ K. FinalementKU =K.

3.g Si M ∈ MS(n) etMf∈ MS(n), on a pour toute matrice unitaireU ∈ M(n),

kU^∗M U−U^∗M Uf k²_F = kU^∗(M −Mf)Uk²_F= Tr (U^∗(M −Mf)U U^∗(M−Mf)U)

= Tr ((M−Mf)²) =kM−Mfk²_F. CommeU^∗KU =K, on aU^∗Π_K(M)U ∈ Ket

kU^∗M U −U^∗Π_K(M)Uk²_F = kM−Π_K(M)k²_F= min

M∈Kf

kM−Mfk²_F

= min

Mf∈K

kU^∗M U−U^∗M Uf k²_F

= min

Q∈U^∗KUkU^∗M U −Qk²_F= min

Q∈KkU^∗M U−Qk²_F. En cons´equence ΠK(U^∗M U) =U^∗ΠK(M)U. Pour calculer ΠK(M), on peut donc

1. DiagonaliserM dans une base orthogonale, i.e. exhiber une matrice orthogonaleU ∈ M(n) telle queN =U^∗M U ∈∆(n).

(15)

2. Calculer Π_K(N) en utilisant l’algorithme construit `a la question 3.e.

3. Calculer ΠK(M) par la formule ΠK(M) =UΠK(N)U^∗. Question 4.

4.a U est une matrice orthogonale et M(q) ∈ K. Il découle donc du résultat de la question 3.f que U^∗M(q)U ∈ K. En utilisant le résultat de la question 3.c, on obtientN(q) = Π_∆(n)(U^∗M(q)U)∈ P.

CommeS(q) =U D(q)U^∗, l’in´equation d’Euler s’´ecrit

∀M ∈ K, Tr (U D(q)U^∗M)≥Tr (U D(q)U^∗M(q)), soit

∀M ∈ K, Tr (D(q)U^∗M U)≥Tr (D(q)U^∗M(q)U) soit encore

∀Mf∈ KU =K, Tr (D(q)fM)≥Tr (D(q)U^∗M(q)U).

Etant donn´e queP ⊂ K, on a donc aussi

∀N∈ P, Tr (D(q)N)≥Tr (D(q)U^∗M(q)U).

En notant queD(q)∈∆(n) et que N(q) = Π_∆(n)(U^∗M(q)U), on obtient

Tr (D(q)U^∗M(q)U) = (D(q), U^∗M(q)U)_F= (D(q), N(q))_F= Tr (D(q)N(q)).

Finalement,

∀N ∈ P, Tr (D(q)N)≥Tr (D(q)N(q)).

4.b L’ensemble P est un poly`edre puisque c’est l’intersection des 2n+ 2 demi-espaces de ∆(n) d´efinis par Nii ≥0, 1−Nii≥0,Pn

i=1Nii−p≥0 etp−Pn

i=1Nii≥0.

NotonsPe l’ensemble des éléments deP dontpcoefficients diagonaux sont égaux à 1, les n−pautres coefficients diagonaux étant égals à 0. Nous allons montrer quePext=Pe.

Soit N ∈ P \ Pe. Tous les coefficients diagonaux de N ne sont pas dans l’ensemble{0,1}. Sinon, la contrainte Tr (N) = p contredirait le fait que N /∈ Pe. Comme par ailleurs, p∈ N, au moins deux coefficients diagonaux de N sont dans ]0,1[. Soit donc 1 ≤ i₁ < i₂ ≤ n tel que 0 < N_i₁_i₁ < 1 et 0 < N_i₂_,i₂ <1. Soit N^± ∈ Rⁿ obtenu `a partir de N en rempla¸cantN_i₁_i₁ parN_i₁_i₁ ± et N_i₂_i₂ par N_i₂_i₂∓. Il est clair que pour > 0 assez petitN^± ∈ P, N⁺ 6=N⁻ et N = ¹₂(N⁺+N⁻). Donc N /∈ P_ext.

R´eciproquement soitN ∈ Pe,P ∈ P,Q∈ P avecP6=Qetθ∈[0,1] tel queN=θP+ (1−θ)Q. Soit 1 ≤i ≤n tel que Pii 6=Qii. Il vientθPii+ (1−θ)Qii ∈ {0,1}. Comme 0 ≤Pii ≤1, 0≤Qii ≤1, Pii6=Qii et θ∈[0,1], on a n´ecessairementθ∈ {0,1}. DoncN ∈ Pext.

Le cardinal de l’ensemblePext est donc ´egal `a n

p

.

(16)

La fonction N 7→Tr (D(q)N) est linéaire. Son minimum sur le polyèdre convexeP est donc atteint en l’un des points extrémaux deP. Donc

Tr (D(q)N(q)) = min

N∈PTr (D(q)N) = min

N∈Pext

Tr (D(q)N) = min

1≤i1≤···≤ip≤n p

X

j=1

_i_j(q) =

p

X

j=1

_j(q).

4.c Si_p(q)< _p+1(q) l’unique point de minimum surPde la fonctionN7→Tr (D(q)N) est le point extr´emal N0=

I_p 0 0 0_n−p

. DoncN(q) =N₀. D’o`u

M(q) =U N(q)U^∗. On pourra remarquer que

M(q) =

p

X

i=1

xi(q)xi(q)^∗

o`u (x1(q),· · ·, xn(q)) est une base orthonormale de vecteurs propres de M(q) telle que pour tout 1≤i≤n,S(q)xi(q) =i(q)xi(q).