Analyse Num´ erique - TP 2 L2 MATH ´ EMATIQUES, 2015-2016
L’objet de ce TP est d’utiliser les interpolations polynˆomiales pour r´esoudre le probl`eme :
Etant donn´´ en+ 1 points {(xi, yi)}ni=0, trouver une fonctionf :x7→f(x) telle quef(xi) =yi pour touti.
Dans le r´epertoireTP-AN-2015 de votre espace de travail, enregistrez le fichiertp2-1516.pydepuis le site http://champion.univ-tln.fr/
en suivant les liensEnseignementpuisAnalyse Num´erique de semestre 3.
Vous transmettrez votre rapport par courriel `a l’adressechampion@univ-tln.fr sous la forme : tp2-VOTRENOM.pdf.
Exercice 1.
(1) Rappeler les d´efinitions des polynˆomes d’interpolation de Lagrange et Hermite.
(2) Lire et comprendre les deux fonctions du fichiertp2-1516.py.
Exercice 2. En utilisant les fonctions donn´ees dans le programme :
(1) Programmer une fonction qui calcule la valeur du polynˆome de Lagrange P qui interpole les points (0,2), (1,1), (2,2) et (3,3).
(2) ´Evaluer le polynˆomeP en plusieurs points d’un intervalle bien choisi.
(3) Programmer une fonction qui calcule la valeur du polynˆome de Hermite Q qui interpole les points (−1,0,1) et (2,0,−1) et ´evaluer le polynˆomeQen plusieurs points d’un intervalle bien choisi.
(4) Afficher sur le mˆeme graphique les courbes des deux polynˆomes ainsi obtenus sur un l’intervalle [−2,4].
Exercice 3. Soitf la fonction de Rungef : R→Rd´efinie parf(x) = 1 1 +x2.
(1) Programmer une fonction qui calcule la valeur des polynˆomesLn d’interpolation de Lagrange def avec nnoeuds (points d’interpolation) ´equir´epartis sur l’intervalle [a, b] = [−5,5], pourn= 3, 4, 5 et 8.
Rappel. Les points x0, . . . , xk sont ´equir´epartis dans l’intervalle [a, b] si x0 = a, xi+1 = xi+δ pour tout i∈ {0, . . . , k−1}etxk=b, avecδbien choisi.
(2) Dessiner dans un mˆeme plan les graphes def et deLn sur l’intervalle [−5,5].
(3) Faire de mˆeme avec les polynˆomesHn d’interpolation de Hermite.
(4) Comparer ces deux r´esultats : pour cela, on tracera les graphes de f, Ln et Hn dans un mˆeme plan.
On calculera aussi les ´ecarts maximaux observ´es pour chaque m´ethode : kf−Pk= max{|f(x)−P(x)|:x∈X50} o`u X50=
−5 + k5 : 0≤k≤50 .
(5) R´ep´eter les questions pr´ec´edentes en rempla¸cant les moeuds ´equir´epartis par les noeuds de Chebychev d´efinis parxi=1
2
a+b+ (b−a) cos
2i+ 1 n+ 1
π 2
pouri∈ {0, . . . , n}.
