Exercices 1 à 9 page 241
N°1 page 241 :
Pour la droite : les points A et B de coordonnées respectives (−4; 0) et (0; −2) appartiennent à cette droite.
Un vecteur directeur de cette droite est donc ⃗ de coordonnées −
− = 0 − (−4)−2 − 0 = 4
−2 Pour la droite : elle est verticale, tout vecteur de direction verticale en est un vecteur directeur, le vecteur de coordonnées 01 est solution (entre autres).
Pour la droite : elle est horizontale, tout vecteur de direction horizontale en est un vecteur directeur, le vecteur de coordonnées 10 est solution (entre autres).
Pour la droite : les points C et D de coordonnées respectives (−2; −1) et (1; 1) appartiennent à cette droite.
Un vecteur directeur de cette droite est donc ⃗ de coordonnées −
− = 1 − (−2)1 − (−1) = 3 2
N°2 page 241 :
Rappel de seconde : si une droite a pour équation cartésienne + " + # = 0 alors le vecteur de coordonnées −" est un vecteur directeur de cette droite.
a) 2 − 3 + 1 = 0 : = 2 et " = −3 donc −" = 3. Un vecteur directeur possible a donc pour coordonnées 32.
b) + − 3 = 0 : = 1 et " = 1 donc −" = −1. Un vecteur directeur possible a donc pour coordonnées −11 .
c) 3 − 1 = 0 ⇔ 0 + 3 − 1 = 0 : = 0 et " = 3 donc −" = −3. Un vecteur directeur possible a donc pour coordonnées −30 .
Remarque : 3 − 1 = 0 ⇔ −3 + 1 = 0 : = 0 et " = −3 donc −" = 3. Un autre vecteur directeur possible a donc pour coordonnées 30.
d) = √2 ⇔ 1 + 0 − √2 = 0 : = 1 et " = 0 donc −" = 0. Un vecteur directeur possible a donc pour coordonnées 01.
e) = − + 3 ⇔ + − 3 = 0 : = et " = 1 donc −" = −1. Un vecteur directeur possible a donc pour coordonnées &−1
'.
Remarque : + − 3 = 0⇔1 + 2 − 6 = 0 : = 1 et " = 2 donc −" = −2. Un autre vecteur directeur possible a donc pour coordonnées −21 .
N°3 page 241 :
On applique le critère de colinéarité )− )= 0.
1) )− ) = 2 × 2 − (−1) × (−1) = 4 − 1 = 3 ≠ 0 : les vecteurs ne sont pas colinéaires.
2) )− ) = 3 × 1 − 0 × 4 = 3 − 0 = 3 ≠ 0 : les vecteurs ne sont pas colinéaires.
3) )− ) = −3 ×,-. − 1 ×- =-. −- = 0 : les vecteurs sont colinéaires.
4) )− ) = 0 × (−32) − √5 × 0 = 0 : les vecteurs sont colinéaires.
Remarque : ces deux vecteurs ayant des directions verticales, ils sont colinéaires (sans calcul).
N°4 page 241 :
Rappel : le milieu du segment [AB] a pour coordonnées 0120 3;4124 3. 1) I a pour coordonnées ,2- ;2 = (1; 3).
2) Les coordonnée de B sont (5 ;4) mais peuvent aussi se calculer 0120 6;4124 6 Ainsi, 0120 6 = 5 et 4124 6= 4
+ = 10 ⇔ −3 + = 10 ⇔ = 13 + = 8 ⇔ 2 + = 8 ⇔ = 6 Les coordonnées de sont 13 et 6.
N°5 page 241 :
Dans un repère orthonormé, les produit scalaire de deux vecteurs 8⃗
et ;⃗ )
) se calcule avec la formule : 8⃗. ;⃗ = )+ ′
1)a) 8⃗. ;⃗ = )+ ) = −3 × 1 + 2 × 4 = −3 + 8 = 5
b) 8⃗. ;⃗ = )+ )= =√3 − 1> × =√3 + 1> + 0 × 1 = (3 − 1) + 0 = 2 c) 8⃗. ;⃗ = )+ )= √2 × √2 + 4 × − = 2 + (−2) = 0
2) Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
Les vecteurs orthogonaux sont donc ceux de la question c.
N°6 page 241 : cet exercice devrait vous étonner un peu mais ces rappels sont utiles pour les équations cartésiennes de cercles qui seront étudiées dans ce chapitre.
1) ( + 3) = + 2 × × 3 + 3 = + 6 + 9 2) ( − 7) = − 2 × × 7 + 7 = − 14 + 49 3) + = + 2 × ×+ = + +
4) = − √2> = − 2 × × √2 + =√2> = − 2√2 + 2
N°7 page 241 : Plusieurs méthode de résolution Méthode 1 : par substitution
A− + 5 − 4 = 04 + − 5 = 0 ⇔ A = 5 − 4
4(5 − 4) + − 5 = 0 ⇔ A = 5 − 4
21 − 21 = 0 ⇔ A = 5 × 1 − 4 = 1 = 1 La solution du système est le couple (1; 1).
Méthode 2 : par combinaison
A− + 5 − 4 = 0 B4 + − 5 = 0 B ⇔ A−4 + 20 − 16 = 0 4 × B4 + − 5 = 0 ⇔ A21 − 21 = 0 B+ B
4 + − 5 = 0 ⇔ C = 1 = 1 La solution du système est le couple (1; 1).
N°8 page 241 :
Le vecteur ⃗ est un vecteur directeur de la droite (AB), il a pour coordonnées 0 − (−8)3 − 4 = 8
−1 Rappel de seconde : si une droite a pour équation cartésienne + " + # = 0 alors le vecteur de coordonnées −" est un vecteur directeur de cette droite.
1) Ici, −" = 8 ⇔ " = −8 et = −1
(AB) a donc pour équation − − 8 + # = 0
Il reste à déterminer # à l’aide des coordonnées de l’un des points (B par exemple) :
−0 − 8 × 3 + # = 0 ⇔ # = 24
(AB) a donc pour équation − − 8 + 24 = 0
Remarque : On peut aussi déterminer # avec les coordonnées de A : −(−8) − 8 × 4 + # = 0 ⇔ # = 24 2) Ici, −" = −1 ⇔ " = 1 et = 2
La droite a donc pour équation 2 + + # = 0
Il reste à déterminer # à l’aide des coordonnées du point C (pas le choix du point ici) : 2 × (−2) + 5 + # = 0 ⇔ # = −1
La droite a donc pour équation 2 + − 1 = 0
N°9 page 241 :
On peut étudier si trois points sont alignés en testant la colinéarité des vecteurs ⃗ et ⃗ (ou ⃗ et ⃗ ou ⃗ et ⃗ …)
⃗ a pour coordonnées 4 − (−1)2 − 3 = 5
−1 et ⃗ a pour coordonnées 0 − (−1)1 − 3 = 1
−2. )− )= 5 × (−2) − (−1) × 1 = −10 + 1 = −9 ≠ 0
Les vecteurs ne sont pas colinéaires donc les points ne sont pas alignés.
