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Année Scolaire 2010-2011 *** Enseignant : Abdessattar El-Faleh
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Année Scolaire 2010-2011 *** Enseignant : Abdessattar El-Faleh Série d'exercices *** 4ème Sciences Lycée Secondaire Ali Zouaoui Fonction exponentielle " Hajeb Laayoun "
EXERCICE 01
1- Résoudre dans les équations suivantes : ex 2ex 3 0 ; ex1 3 0 ; e2x 6ex 5 0 2- Calculer
1 1
2
0 0 0 1
lim ; lim ; lim ; lim ; lim
1
x x x x
x x
x x x x x
e e xe e x e e e
x x e x
1 1
2
0 0 0 1
lim ; lim ; lim ; lim ; lim
1
x x x x
x x
x x x x x
e e xe e x e e e
x x e x
3- a) Vérifier que pour tout
2
* 1 2
, on a : 1
1 1
x x
x
x x
e
x e e
e e
b) En déduire
ln 3 2
ln 2
1 1
x x
e dx
e
EXERCICE 02
Soit F la fonction définie sur 0, par
0 x
F x t e dtt
Cocher la réponse juste ( sans calculer F x ):
* F est strictement croissante sur 0,
* Pour tout x 0, , on a :
0 x
F x te dtt
* Pour tout x 0, , on a : F x x ex e1
* 0 est l’unique solution de l’équation F x 0
EXERCICE 03
Dans le plan muni d’un repère orthogonal O i j, , , on considère la courbe (Cf ) ci-dessous d’une fonction f définie et dérivable sur .
1- Déterminer 4
lim ; lim ; 1 et lim
4
x x x
f x f x f f x
x
2- Dresser le tableau de variation de f
3- a) Calculer 1 *
1 n ;
x
An xe dx n b) Déterminer lim n
nA
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Année Scolaire 2010-2011 *** Enseignant : Abdessattar El-Faleh 4- Soit ;g x f x x Tracer (Cg)
5- Soit un n*la suite définie par 1
1
n k
n k
u k e
a) Montrer que pour tout k* \ 1 , on a :
1 k
k
g k g t dt
b) En déduire que un n* est majorée par 3 . c) En déduire que un n* est convergente.
EXERCICE 04
Soit f x exln 1 ex
1- Déterminer Df 2- Calculer lim
x f x
3- a) Montrer que f est dérivable sur Df et que pour tout x D f, on a :
1
x x
f x f x e
e
b) En déduire ln 2
0
f x dx
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Année Scolaire 2010-2011 *** Enseignant : Abdessattar El-Faleh EXERCICE 05
Soit g x e1x 1- Déterminer Dg
2- a) Montrer que pour tout x 0, , il existe cx x, 1 tel que : g x g x 1 12 e1c
c
b) Déterminer lim 2 1x x11
x x e e
EXERCICE 06
Soit 2
1
x x
f x e
e
1- Déterminer Df
2- Dresser le tableau de variation de f
3- Montrer que f réalise une bijection de Df sur un intervalle Ique l’on précisera.
4- Tracer (Cf ) et (Cf1) dans un même repère orthonormé O i j, , .
EXERCICE 07
Soient 3 1
1
x x
f x e e
et (Cf ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé O i j, ,
1- Déterminer Df
2- Montrer que le point I 0,1 est un centre de symétrie de (Cf ).
3- Dresser le tableau de variation de f . 4- Tracer (Cf ).
5- Montrer que f réalise une bijection de Df sur un intervalle J que l’on précisera.
6- Déterminer f1 x et tracer (Cf1).
EXERCICE 08
Soit f x xe x ; x
1- Montrer que pour tout
2
1 2
1 , on a : 4 2
x
x
x f x
e
2- Calculer lim
x f x
3-a) Etudier la dérivabilité de f à droite en 0
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Année Scolaire 2010-2011 *** Enseignant : Abdessattar El-Faleh b) Montrer quef est dérivable sur 0, et que 10, ,on a: 22 xx f x x e
c) Dresser le tableau de variation de f .
4- Tracer (Cf ) dans un repère orthogonalO i j, , .
EXERCICE 09
Soient f x lnex ex ;x* et (Cf ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé O i j, , .
1- Calculer
lim ; lim et lim0
x f x x f x x f x
2- a) Montrer que f est dérivable sur *et que
*,on a: 2 1
2 1
x x
x f x e
e
b) Dresser le tableau de variation de f
3- a) Montrer que pour tout ,0 , on a : ln 1 2
x x
x f x e et en déduire la
branche infinie au voisinage de .
b) Montrer que pour tout x 0, , on a : f x x ln 1 e2x et en déduire la branche infinie au voisinage de .
4- a) Soit gla restriction de f à 0,. Montrer que g réalise une bijection de 0,sur un intervalle Ique l’on précisera.
b) Expliciter g x1
5- Tracer (Cf ) et (Cg1) dans un même repère orthonormé O i j, , .
EXERCICE 10
Soit 2 2
0 1
x x
e e
f x dt
t
1- Montrer que Df
2- a) Montrer que f est dérivable sur et calculer f x
b) En déduire f x
3- Calculer 1 2
0 1
dt t
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Année Scolaire 2010-2011 *** Enseignant : Abdessattar El-Faleh EXERCICE 11
Soit
0
sin ;
x
F x et t dt x
1- Montrer que 1 1 cos sin
2
F x x x ex 2- On pose 1 sin ;
k t k
k
I e t dt k
et Sn I0 I1 In a) Exprimer Sn à l’aide de F.
b) En déduire que lim n
nS
3- a) Donner suivant la parité de k le signe de Ik( sans calculer Ik) b) Calculer I0 puis Ik.
c) Vérifier que Ik 1 k e Ik 0
d) Calculer Tn I0 I1 I2 In puis lim n
nT
EXERCICE 12
Soit f x e3x ex ; x
1- Dresser le tableau de variation de f
2- a) Montrer que l’équation f x 1 admet une unique solution 0,1 b) Prouver que ln 1 e2
3- Soit gla fonction définie sur par g x 12ln 1 ex
a) Montrer que g x 0 ; x
b) Montrer que , on a : 1
x g x 4
4- On considère la suite un n définie par 0 1
0
n n ;
u
u g u n
a) Montrer que pour tout n, on a : 1 1
n 4 n
u u b) En déduire que pour tout n, on a : 1
4
n
un
et déterminer limnun
EXERCICE 13
Soit *
0 n ;
n x
In x e dx n 1- Calculer I1 et I2
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Année Scolaire 2010-2011 *** Enseignant : Abdessattar El-Faleh 2- Montrer que
0
1
n n
n n t
n
I e n e t dt
n
3- a) Montrer que pour tout x 0,1 , on a : ln 1 2
2 x x x
b) En déduire que pour tout t 0,n , on a :
2
1 2
n t
t t n
e e
n
4- a) Montrer que pour tout n*, on a : 2 2
0
2
n n
u n n
e I n e du
n
b) Montrer que pour tout u 1, , on a : eu2 eu
c) Montrer que pour tout n* \ 1 , on a : 1 1 2 1 2
0
2 2
n n
u n n
e I e du e e
n n n
d) En déduire lim 1
n n n n
e I n
EXERCICE 14
-A-
On considère la fonction définie sur par ln 1 si 0 1 si 0
x
x x
x e x
1- Montrer que x , on a : x x
2- Etudier la continuité et la dérivabilité de sur .
3- Etudier les variations de et construire sa courbe représentative dans un repère orthonormé O i j, , .
4- Montrer que l’équation x x admet une unique solution.
-B-
Soit g la fonction définie sur par
ln 1 0
1 0
1 2 si 0
1 2 t si 0
x
t t
x t e
e dt x
g x
e dt x
1- Montrer que g est dérivable sur .
2- a) Montrer que t , on a : ln 1 1 1
t t
e t
b) En déduire que x , on a : g x 1 2 ln 1 x
c) En déduire lim
x g x
3- a) Montrer que t , on a : et t 1 0 b) En déduire que x , on a : g x 1 2x
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Année Scolaire 2010-2011 *** Enseignant : Abdessattar El-Faleh c) En déduire lim
x g x
4- Dresser le tableau de variation de g.
-C-
Soit f la fonction définie sur par 2
0
; ,
x t t
f x a e dt b a b 1- Montrer que f est deux fois sur et que : f x 1 x f x 0
2- Soient pour tout
0 0
; et
x x
x x t t t t
x u x e v x e dt e dt
a) Montrer que et u v sont les primitives d’une même fonction.
b) En déduire que pour tout
0 0
on a: 1
x x
t t t t x x
x e dt e dt e
EXERCICE 15
-A- Soit g x 1 x 1ex ; x
1- Montrer que g x 0 ; x
2- Prouver que 0 est l’unique solution de l’équation g x 0 -B-
Soient si 0
la fonction définie par 1
1 si 0
x
f x x x
f e
x
et (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé O i j, ,
1- Déterminer lim et lim
x f x x xf x
2- a) Montrer que f est continue en 0 . b) Etudier la dérivabilité de f en 0 . c) Dresser le tableau de variation de f . 3- Pour tout x, on pose
0 x
J x t e dtt
a) Montrer que J x exex x 1
b) Montrer que pour tout x, on a : 2 2 2 2
2 2
x x x x
x e J x x e c) Montrer que pour tout x*, on a : 1 2 2 1 1 2
2 2
x
x x e x x x
e e
x
d) En déduire que f est dérivable en 0 et que 0 1 f 2
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Année Scolaire 2010-2011 *** Enseignant : Abdessattar El-Faleh 5- a) Montrer que pour tout *x , on a :
13 2 2
x
x x
f x e x e x
e b) Montrer que pour tout x*, on a : f x 0
c) Tracer (Cf )
-C-
On considère la suite un n définie par 0 1
1
n n ;
u
u f u n
1- Montrer que l’équation f x x admet une unique solution que l’on précisera.
2- a) Montrer que pour tout x, on a : 1
f x 2
b) Montrer que pour tout n, on a : 1
ln 2 1 ln 2
n 2 n
u u c) En déduire que un n est convergente et déterminer lim n
nu -D-
On considère la fonction F définie sur par :
2
si 0 1
0 0
x t x
F x t dt x
e F
1- a) Montrer que pour tout x*, on a : 22 2 2
1 1
x x
x x
e F x e
b) Montrer que F est continue en 0 .
c) Montrer que F est dérivable en 0 et que F 0 1
2-a) Montrer que F est dérivable sur * et que pour tout x* , on a :
3
1
x x
F x e f x
e
b) Dresser le tableau de variation de F.
