2
P A
P
A A
= { ∈ = }
∼
+ − ∼
A P
A P p A p p
P
P P
p q p q P
p q
p q p q
SUR LE DEGR ´ E MINIMUM DES CONNEXIONS POLYNOMIALES ENTRE LES PROJECTIONS
DANS UNE ALG ` EBRE DE BANACH
1. Introduction.
RENDICONTI DEL CIRCOLO MATEMATICO DI PALERMO Serie II, Tomo XLIX (2000), pp. 353-362
A. DAOUI
L’insieme degli elementi idempotenti di un’algebra di Banach `e in generale non connesso. J. Zemanek [7] e B. Aupetit [1] hanno dimostrato che le componenti connesse di tale insieme sono connesse per archi. Inoltre J. Esterle [4] ha dimostrato che due elementi di appartenti alla stessa componente connessa possono essere collegati attraverso un cammino polinomiale. In questo lavoro si studia il minimo grado di tali polinomi se `e un’algebra di Banach di dimensione finita oppure se `e l’algebra degli operatori limitati su uno spazio di Banach.
Soit une alg`ebre de Banach (r´eelle ou complexe). On notera par l’ensemble des idempotents (projections) de ; :
J. Zemanek [7] and B. Aupetit [1] ont d´emontr´e que les composantes connexes de sont connexes par arcs. Ensuite J. Esterle [4] a prouv´e qu’un chemin continu connectant deux idempotents dans la mˆeme composante connexe de peut ˆetre donn´e par un polyn ˆome `a valeurs dans . On note
lorsque et sont dans la mˆeme composante connexe de . Le degr´e minimum de ces polyn ˆomes a fait l’objet des travaux de J.
Esterle [4] et de M. Tremon [6]. J. Esterle a demontr´e que si et sont des projections telles que 1 est inversible alors et on peut les connecter par un polyn ˆome de degr´e fini.
On s’int´eresse au degr´e minimum de ces polyn ˆomes de connexion. On
obtient des g´en´eralisations des r´esultats de J. Esterle et de M. Tremon.
X X
X
X
0 0
= =
=
=
K
K
K K
K
K H ´ EOR ` EME
0 1 2 2
3 3
1 2
1 1
7 0
1
n
i
r i
er
r i
i
r i
i
i i i i i
i i
j j j
j
j r i
i j
i
j i
∼ + −
=
= + + + ∼ ∈
∈ = =
⊕ ⊕ ⊕ ≤ ≤ =
= =
≤ ≤ ∼
=
∈ ≤ ≤
= ∈ ≤ ≤
( )
φ( ) ( )
φ( ) φ( ) φ( )
. . .
ψ ( )
ψ ( ) α .
α
α α α , .
2. Connexions polynomiales entre les idempotents d’une alg`ebre semi- simple de dimension finie.
P A
p q p q
q q A
A M
Soit A une -alg`ebre semi-simple de dimension finie.
Si p et q sont des idempotents de A tels que p q , alors il existe une fonction polynomiale t a a t a t a t a A telle que
t P pour tout t dans , p et q .
Preuve. A A
A A A A i r
A
p p q q
p q A i r p q
P A t
p q P
t t
A j
P i i r
B. Aupetit, J. T. Laffey et J. Zemanek ont donn´e dans [2] une ca- ract´erisation des composantes connexes de dans le cas o`u est une -alg`ebre de dimension finie: si, et seulement si, 1 est in- versible pour tout dans un voisinage de dans . Cette caract´erisation a permis M. Tremon, en utilisant les techniques de J. Esterle [4], de d´emontrer que dans ce cas le degr´e minimum du polyn ˆome de connexion est inf´erieur ou ´egal `a 7 [6].
M. Tremon a d´emontr´e que dans le cas o`u , le degr´e minimum est inf´erieur ou ´egal `a 3. On voit ais´ement que le r´esultat reste vrai si on remplace par une -alg`ebre de division semi-simple de dimension finie.
T 2.1.
0 1
L’alg`ebre ´etant semi-simple de dimension finie, on a:
o`u les , 1 sont les composantes simples de (1 th´eor`eme de structure de Wedderburn). Donc:
et
o`u et sont des idempotents dans , 1 . De plus dans l’ensemble des idempotents de . En effet: il existe un polyn ˆome de degr´e au plus ´egal `a 7 connectant et dans :
Comme , 0 7, on a:
avec pour tout 1
=
=
X
X
L
L
L
K
D D
K
K
K
K
K
7 0
0 1 2
2 3
3
1
ROPOSITION
i i
j i
j
i i i i i
i i i
eme n
i i i i i j
i i
i i i i i i
r
i i
=
∈ ∈ = =
∼ ≤ ≤
→ + + + ∈
∈ = =
≤ ≤
=
∈ = =
k − k ≤ ∼ + −
=
+ −
⊕ = ⊕ =
ψ ( ) α ,
ψ ( ) , ψ ( ) ψ ( ) .
, ( )
φ ( )
φ ( ) φ ( ) φ ( )
,
φ( ) φ ( ) φ( )
φ( ) φ( ) φ( )
( )
( )
( )
3. Connexions polynomiales entre les projections dans l’alg`ebre des op´erateurs born´es sur un espace de Banach.
t t
t P t p q
p q i i r A
M
t a a t a t a t a A
t P t p q
i i r
t t t
t P p q
A
p q A p q
p q p q p q
P
A E
E
P
p q E
Soit E un -espace vectoriel. Si p et q sont deux projections dans E telles que p q est inversible alors
I mp K er q I mq K er p E D’apr`es l’unicit´e de la d´ecomposition on a:
et
pour tout 0 et 1
Donc: pour tout 1 . Chaque ´etant simple de
dimension finie, on peut l’identifier `a une alg`ebre o`u est une -alg`ebre de division de dimension finie. (2 th´eor`eme de structure de Wedderburn). Il existe alors
:
telle que: pour tout dans , 0 et 1 et ceci
pour tout 1 .
Si on pose , alors est un polyn ˆome de degr´e au
plus ´egal `a 3 tel que: , 0 et 1 .
Soit une -alg`ebre de Banach. J. Esterle a d´emontr´e dans [4] que si et sont des idempotents de tels que 1 est inversible, ce qui est vrai si 1, alors et on peut connecter et par un polyn ˆome `a valeurs dans de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 3.
Dans le cas o`u , l’alg`ebre des op´erateurs born´es sur un -espace de Banach , nous donnons une condition plus faible pour qu’il existe un polyn ˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 3 joignant deux projections dans la mˆeme composante connexe de .
Nous d´emontrons aussi que si et sont des projections dans de mˆeme rang fini alors on peut toujours les connecter par un polyn ˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 5.
P 3.1.
1
N
L
L
L
∈
≥
≥
K K R C
K
n n
n n n n
i
H ´ EOR ` EME
2
0 1
0 1 2
0 1 2 2
3 3
2
2
( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) .
( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
φ( ) ( ( ) φ( )
φ( ) φ( )
( ) ,
( ) ( )
( ) .
( )( ) ( )( ) .
( ) .
∩ = { } ∈
∈ = ∈
+ − = − + =
+ − =
∈ + − ∈
= + − = + − ;
= ⊕
⊕ = ⊕ =
+
⊕ = ∩ { }
⊕ = =
⊕ = ∼
= + + + ∈ ∈
= =
⊕ =
= =
− =
− = − = = =
− =
+ − + − + − + − =
+ − =
Preuve. I mp K er q y I mp
x E y p x y K er q
p q y p x p x q y
p q y
y E p q x E
y p q x p x q x
E I mp K er q
Remarque I mp K er q E I mq K er p E
H e
p q H
I mp e K er p
H e I mq
e e e
I mp K er q H I mq K er p
Soit E un -espace de Banach ( ou ) et p et q deux projections dans E telles que I mp K er q E ou I mq K er p E . Alors p q et il existe une fonction polynomiale t a a t a t a t a E ) telle que t P pour tout t
dans , p et q .
Preuve. K er p I mq E
r I mp K er q r
pr r r p p
p r
q r r q qr q r q r
q r
q r p r p r p r q q
p r p p
Montrons d’abord que 0 : soit ; il
existe alors tel que . Si alors:
1 0
1 ´etant injectif, on a: 0.
Soit . Comme 1 est surjectif, il existe tel que:
1 1
d’o`u .
3.2. Les deux conditions et
ne sont pas ´equivalentes.
En effet: soit un espace de Hilbert s´eparable et soit une base orthonorm´ee de H. Consid´erons les projections et dans telles que: est la droite engendr´ee par , est le sous-espace ferm´e de engendr´e par , est le sous- espace ferm´e engendr´e par
et .
On a: mais n’est pas reduite `a 0 .
T 3.3.
0 1
Comme , on peut consid´erer la projection sur parall`element `a . v´erifie les propri´et´es suivantes: d’une
part: , et par suite
0
d’autre part 1 1 0 d’o`u , et par suite
0 On a:
1 1 1 1
De plus:
1
i
L
L
L
F
K
K
K K R C
2 2
1 1
1
0 1 2 2
3 3 3
1
H ´ EOR ` EME
EMME
−
−
−
−
0 0 0
0
0 0 0
0
0 0
= + − + − + −
= − = −
= = = = + − −
= + − −
∈ ∈ + = −
+ = − = =
⊕ = ⊕ =
= ∼
= + + + ∈
∈ = =
= −
− = − = − =
⊕ = =
= − = ⊕ =
= = = = ;
− = − = − =
=
= ⊕ = ⊕
∩ = ∩ = { }
( ) ( )( ).
v
v , ( v) ( )( v)
φ( ) ( v) ( )( v).
φ( ) ( ( )
( v) v) φ( ) φ( )
( ) σ
( ) σ σ
φ( ) ( ( )
φ( ) φ( ) φ( )
θ
( θ) θ, θ ( θ) .
σ σ θ
, θ θ θ
( θ) θ, θ , ( θ) .
. Donc:
1 1 1
Si on pose et , on a alors:
0 0 et 1 1 1
Prenons
1 1 1
On a: pour tout 1 1 et
1 1 , 0 et 1 .
Nous donnons une g´en´eralisation du th´eor`eme 1 [5] adapt´ee `a la proposition 2-1.
T 3.4.
0 1
1
Il suffit de construire une projection telle que:
1 1 0 et 1
Supposons que et que .
Soit 1 . On a et alors .
Soit la projection sur parall`element `a . On a alors:
et ce qui entraine que:
1 1 0 1
L 3.5.
Soit l’ensemble des sous-espaces de tels que 0
q q r p r p r q
u p q q r
u up q p u
t t p tu t
t P t car tu tu
t t p q
Soient p et q deux projections dans E telles que K er p K er q E (ou I mp I mq E ). S’il existe un ´el´ement inversible dans E tel que: q p , alors p q et il existe un polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 3, t a a t a t a t a E ) tel
que t P pour tout t dans , p et q .
Si en particulier q p, alors a est non nul.
Preuve.
p p p p
K er p K er q E q q
p p I mp K er p I mp K er q E
I mp K er q
p q p q q q p q
p p p p
Soit E un -espace de Banach ( ou ). Si F et G sont deux sous-espaces ferm´es de E de mˆeme codimension finie n, alors il existe un sous-espace S de E tel que E S F S G .
Preuve. S E
S F S G
X
i i i
i
K
K
K K R C
K
F
F F
F
F
L
L
H ´ EOR ` EME
6 0
1
1 1
1 1 1 1 2
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
=
. ( ) ( ) <
)
( ) ( )
( ) ( )
.
λ. , λ .
λ λ
λ ( ) ,
( ) ( )
λ >
. ( )
φ( ) ( ( ))
φ( ) φ( ) φ( )
.
( ) ( )
( )
∈ ≤ ≤
=
⊕ = ⊕ =
⊕ ∪ ⊕
⊕ ⊂ ⊕ ⊕ ⊂ ⊕
⊕
⊕ ∪ ⊕
⊕ ∪ ⊕
= ⊕ ∩
= + ∈ ∈ ∈
= = = =
= − ∈ ⊕
⊕ ∪ ⊕
∩ = { }
∩ = { }
=
⊕ = ⊕ =
= ∼
= ∈
∈ = =
⊕ = ⊕ =
− = − ;
= = − =
S n
S S S S S
S n
S F S G E
S n E
S F S G
S F S G S G S G
S G
S F S G
S F S G E
S S e x S F
x h e h S f F
h f x
e f h S F
S F S G
S G
S G S S S
S n
S F S G E
Soit E un -espace de Banach ( ou ). Si p et q sont deux projections dans E de mˆeme rang fini, alors p q et il existe un polynˆome t a t a E , de degr´e inf´erieur ou
´egal `a 6, tel que t P pour tout t dans , p et q .
Preuve. S E
S K er p S K er q E
r S K er p
p r r p
pr p r p r p r
est non vide car il contient le sous-espace nul. On a dim pour tout dans ; il existe alors tel que dim dim pour tout dans . Si dim , alors:
Supposons que dim , il existe alors e dans tel que e n’appartient
pas `a . En effet:
– ou bien: (ou et on prend dans ce
cas e tel que e n’appartient pas `a .
– ou bien: n’est pas un espace vectoriel et dans ce
cas est contenu strictement dans .
Consid´erons . Soit dans ; on a alors
o`u et
Si 0, alors 0 et par suite 0. Supposons que est non nul, on a alors
1
ce qui contredit le fait que e n’appartient pas `a ; donc est forc´ement nul. D’o`u 0 . On montre de la mˆeme fac¸on que 0 . est donc un ´el´ement de tel que dim dim , ce qui est absurde. Donc n´ecessairement dim et alors
T 3.6.
0 1
D’apr`es le lemme 3-5, il existe un sous-espace de tel que
Soit la projection sur parall`element `a . On a alors:
1 1
d’o`u , et par suite 0.
L
L
n n
EMME
K N
K
K
1 1 1 1
2
1 2 2 2 1 1 1 2 2
2 1 2 1 2 1 1 2 1
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2
2 1 2 1 2 1 2
1 2
( ) ( ) ( ) .
( )
( ) ( ) ( ).
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ).
( )( )( ) ( )( ).
φ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
φ( ) φ( ) φ( )
( )
/ / ( )
( )
.
= + + − = +
= = − =
= + − + − = + −
− = − = =
= − =
= + − + − = + −
= + − + − + − + − + −
= + − + − + − + − + −
∈ = =
∈
= { ∈ = } = { ∈ − = }
−
= ⊕ = ⊕
⊕ =
4. Connexions polynomiales entre les projections dans l’alg`ebre des op´erateurs born´es sur un espace de Hilbert s´eparable.
r r p p p r r p p
r S K er q
r r r r r r r r
r r r r r r r r r
r q q r r q r
qr q q r
q q r r r q r r q
q q r r r r p p r r r q
t t q r t r r t r p p t r r t r q
t P t p q
Remarque n
P E
K p P r angp n K p P r ang p n
H
H p p
Soit H un -espace de Hilbert s´eparable et soient F et G deux sous-espaces ferm´es orthogonaux de dimension et de codimension infinies dans H . Alors il existe un sous-espace ferm´e S de H tel que:
H F S G S
Preuve. F G H
Donc:
1 1 1
Soit la projection sur parall`element `a . On a:
D’une part: , et alors 0. D’o`u:
1 1 1
D’autre part 1 1 0; ce qui entraine que: ,
et par suite 0; d’o`u:
1 1 1
On a alors:
1 1 1 1 1
Si on pose:
[1 ][1 ][1 ] [1 ][1 ]
on a: pour tout dans , 0 et 1 .
3.7. Pour tout on a les deux composantes connexes suivantes de l’ensemble des projections de :
et 1
Nous nous int´eressons dans ce paragraphe aux projections de
( ´etant un -espace de Hilbert s´eparable) telles que et 1 sont de rang infini.
L 4.1.
Supposons que .
N
2 2
2 2
1
1 1
1
X X
X P
X X
X X X X
X X
N N
N N
N N
N N
N N
N N
∈ ∈
∈
∈
∈ ∈
∈ ∈
∈ ∈
∈ ∈
⊥ ⊥
n n n n
n n n
n n n n n
n
n n n
n n n
n
n n n
n
n n n
n
n n
n n
n
n n n
n n
n n
n n
n
n n n
n
n n n
( ) ( )
( )
( ) ( )
α β ( ),
α < β <
(α β ) β .
β α
.
α β , α < β <
(α β ) β ( ) .
.
.
.( )
( ) ( )
+
= √ +
⊕ = ⊕ = ∈ ∩
= = +
| | ∞ | | ∞
− = ∈ ∩
= =
∩ = { }
= + | | ∞ | | ∞;
= − + + ∈ +
= ⊕
= ⊕
⊕
⊕
⊕ = ⊕ = ⊕ ∗∗
= ⊕ ⊕ ⊕ ⊕
f g F G
S H f g
e f g e
S
S F S G H x S F
x f f g
f g F G
n n
S F
x H
x f g
x f f g F S
H F S
H S G
F G H
S F G
S F S G F G
S S F G F G F G
H
Soient et des bases orthonorm´ees de et respec- tivement.
Soit le sous-espace ferm´e de engendr´e par .
Si on pose 1
2 , alors est une base orthonorm´ee de .
Montrons que . Soit , on a:
avec et ; ce qui entraine que:
D’o`u: 0 pour tout et par suite 0 por tout dans . Donc:
0 Soit dans , on a:
avec et
d’o`u:
Donc:
On montre de la mˆeme fac¸on que
Supposons maintenant que est un sous-espace de . Il existe un sous-espace de tel que:
Soit , o`u est l’orthogonal de
dans .
X K
K
K
L
L
L
L
F F
F
i i i
i
∗ ∗ ⊥
∗ ⊥ ∗
∗ ∗ ⊥
∗
=
⊥
ROPOSITION
H ´ EOR ` EME
1 1 1
1
1 1
1 1 1
1
5 0
1
1 1 1 1
2
2 2 2 2 2
2 2 1 1 1 2 2
2 2
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) .
( )
φ( ) ( ( ))
φ( ) φ( )
φ( )
( ) ( ) ( ).
( ) ( ) ( ).
φ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
φ( )
( ) )
θ ( )
, v ( ) v
θ ( v)( ) ( )( v) ( v) ( )( v).
⊕ = ⊕ =
∈ ∩ ∈ = + ∈ ∈ ⊕
= − ∈ ⊕ ∩ ⊕ ; =
= ∈ ∩ ∩ = { }
∈ = + ∈ ⊕ ∈ ⊕
∗∗ = + ∈ ∈
= + + ∈ +
= ⊕
∼ = ∈
∈ ∈ =
=
⊕ = ⊕ =
= + − + − = + −
= + − + − = + −
= + − + − + − + − + −
⊂ ⊂
= = =
= + + − − = + − −
Montrons que .
Soit , alors et o`u et .
D’o`u: ce qui entraine que 0 et
. Donc 0 .
Soit , alors o`u et .
D’apr`es , on a: o`u et .
D’o`u:
On montre de la mˆeme fac¸on que .
P 4.2.
1
D’apr`es le lemme 4-1, il existe un sous-espace ferm´e de tel
que . Soit la projection sur parall`element
`a . On a:
1 1 1
Soit la projection sur parall`element `a . On a:
1 1 1
Si on pose:
[1 ][1 ] [1 ][1 ][1 ]
Alors est un polyn ˆome v´erifiant les propri´et´es requises.
T 4.3.
Soit la projection orthogonale sur . D’apr`es le lemme
3-3, il existe dans tels que: 0, 0 et
1 1 1 1 1 1 1
S F S G H
x S F x F x x x x S x F G
x x x F G F G x
x x S F S F
x H x y y y F G y F G
y y y y S y F
x y y y S F
H S G
Soit H un -espace de Hilbert s´eparable.
Soint p et q deux projections de E telles que Imp, Kerp, Imq et Kerq sont de dimension infinie et Imp et Imq (ou Kerp et Kerq) sont orthogonaux.
Alors p q et il existe un polynˆome t a t , a E , de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 5, tel que t P pour tout t , o p
et q .
Preuve. S H
I mp S I mq S H r I mp
S
r p r p r p p r p
r I mq S
q r q r q r r q r
t t r q t r r p t r p t r r t q r
t
Soit H un -espace de Hilbert s´eparable. Soit p et q deux projections dans E telles que Imp, Kerp, Imq et Kerq sont de dimension infinie et I mq I mp (ou K er q K er p . Alors il existe un polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 9 connectant p et q dans P .
Preuve. I mp
u H u up
u p u p u
eme
13
41
15 39
64
11
2 2 1 1 1 1 2 2
1
2 2 1 1
1 1 2 2
⊕ = ⊕ =
= + − + − + − + − + − + −
= + − + − + − + −
− + − + − + −
θ
( )( )( θ )θ( θ)( )( )
θ
φ( ) ( ) ( ) (θ ) v
v ( θ) ( ) ( ) .
φ( )
S H S I mq S I m H
q r q r r r r r r q r
r I m S
t t r q t r r t r t p tu
t t r t r r t q r
t
Pervenuto il 14 ottobre 1998, in forma modificata il 9 marzo 1999.
