Information Quantique

ENSEIRB-MATMECA

Option second semestre, 2011/2012

Information Quantique

DM- Mars 2012

Partie 1 Circuits bool´eens.

On noteB:={0,1}l’ensemble des bool´eens. Les symboles·,+,⊕d´enotent, respectivement, la conjonction (alias le produit dansZ/2Z), la disjonction, le ou-exclusif (alias l’addition dansZ/2Z). Six est un bool´een, ¯xd´enote sa n´egation (i.e. 1⊕x).

On appellefonction bool´eenne(ou encore porte bool´eenne) toute application f :Bⁿ→B^m, (pour des entiersn≥1, m≥1) ; l’entiernest l’arit´e entrante, m est l’arit´e sortante de la porte. On note encore AND le produit, OR la disjonction, XOR le “ou” exclusif. COPY est la porte d’arit´e (1,2) d´efinie par :x7→(x, x). SoitP une porte bool´eenne d’arit´e (p, p) et soitnun entier n≥p. SoitA une suite strictement croissante de longueurp, d’indices entre 1 etn :A=a₁ < . . . < a_p On note P[A, n] :Bⁿ →Bⁿ l’application d´efinie par :

(x1, . . . , xn)7→(y1, . . . , yn) avec

y_ai =P_i(x_a1, x_a2, . . . , x_ap); y_j =x_j si j /∈A.

Autrement dit P[A, n] applique la porte P `a la sous-suite des bool´eens qui se trouvent aux places ´etiquet´ees par A, dans la suite 1,2, . . . , n. Donnons une d´efinition analogue pour les portes d’arit´e (1,2) ou (2,1) :

si P est d’arit´e (1,2), A=a₁ < a₂ etn≥1 alors P[A, n] :Bⁿ →Bⁿ⁺¹ est l’application d´efinie par :

(x₁, . . . , x_n)7→(y₁, . . . , y_n, y_n+1) avec

ya1 =P1(xa1); ya2 =P2(xa1); yj =xj si j∈[1, a2−1]\{a1}, ; yj =xj−1 sij > a2. si P est d’arit´e (2,1), A=a₁ < a₂ etn≥1 alors P[A, n] :Bⁿ⁺¹ →Bⁿ est

l’application d´efinie par :

(x1, . . . , xn, xn+1)7→(y1, . . . , yn)

avec

y_a1 =P₁(x_a1, x_a2); y_j =x_j sij∈[1, a₂−1]\ {a₁}, ; y_j =x_j+1 sij≥a₂. Uncircuit bool´een est une suite C de la forme

P₁[A₁, n₁]P₂[A₂, n₂]. . . P_ℓ[A_ℓ, n_ℓ]

de portes appliqu´ees `a des sous-suites d’arguments. La fonction bool´eenne calcul´ee parC est la composition d’applications :

P_ℓ[A_ℓ, n_ℓ]◦. . . P₂[A₂, n₂]◦P₁[A₁, n₁] Exemples :

Un circuit de la forme

P₁[(3,4),5]P₂[(1,2,3),4]P₃[(3,4),4]P₄[(3,4),4]

est repr´esent´e sur la figure 1.

Le circuit

P¹

P²

P³

P⁴

Figure 1 – Un circuit

COPY[(1,2),1]NOT[(1),2]AND[(1,2),2]

calcule l’application

AND[(1,2),2]◦NOT[(1),2]◦COPY[(1,2),1]

qui est l’application constante nulle B → B (voir la figure 2). Nous dirons qu’un ensemble de portes bool´ennesGestcompletsi, pour tousn, m∈N\{0}

et toute applicationf :Bⁿ→B^m, il existe un circuit bool´een form´e de portes dansG qui calcule f.

COPY

NOT

AND

Figure 2 – Un circuit concret

1- Montrer que l’ensemble de portesG₀:={NOT,OR,AND,COPY}est com- plet.

N.B. On ne demande pas une preuve tr`es pr´ecise de ce r´esultat ; on pourra invoquer des r´esutats connus en logique, par exemple.

2- On d´efinitNAND:B²→B² par

NAND(x, y) =x·y.

Montrer que l’ensemble de portesG₁:={NAND,COPY} est complet.

3- Donner des circuits sur l’ensemble de portesG1 qui calculent : - la fonction constante nulle deBdansB.

- la fonctioncNOT:B²→B² telle quecNOT(x, y) = (x, x⊕y).

4- Pour chacun des ensembles de portes ci-dessous, d´eterminer s’il est com- plet :

{OR,AND,COPY},{NOT,OR,COPY},{NOT,AND,COPY}, {NOT,⊕,COPY},{NAND},{NOT,AND,OR},

Aide : on pourra consid´erer les sous-ensembles des fonctions bool´eennes croissantes, des fonctions affines, etc ... et observer que certaines portes stabilisent ces sous-ensembles.

Partie 2

Circuits bool´eens r´eversibles.

Une porte bool´eenne P, d’arit´e (n, m) est dite r´eversible ssi n = m et P est une bijection deBⁿdans lui-mˆeme. On appelle circuit bool´een r´eversible tout circuit bool´een qui n’utilise que des portes r´eversibles.

1- On poseSWAP(x, y) = (y, x). Quelles sont les applications Bⁿ→Bⁿ cal- culables par des circuits sur l’ensemble de portes{SWAP}?

2- V´erifier quecNOT, vue comme application de F²₂ dansF²₂ (iciF₂ d´enote le corps `a 2 ´el´ements, (Z/2Z,⊕,·)) est un automorphisme d’espace vecto- riel. Quelles sont les applications Bⁿ → Bⁿ calculables par des circuits sur

l’ensemble de portes{SWAP,cNOT}?

3- On appelle automorphisme affine deFⁿ₂ dans lui-mˆeme, toute application de la forme :

−

→x 7→(M−→x)⊕ −→x₀

o`uM ∈M_n,n(F₂) est une matrice inversible et−→x₀∈M_n,1(F₂) est un vecteur fixe.

3.1 Monter que tout application calcul´ee par un circuit sur l’ensemble de portes{SWAP,NOT,cNOT}est un automorphisme affine.

3.2 Quelles sont les applications Bⁿ → Bⁿ calculables par des circuits sur l’ensemble de portes{SWAP,NOT,cNOT}?

4- Montrer que l’application TOF : (x, y, z) 7→ (x, y, z ⊕yz) ( la porte de toffoli) n’est pas un automorphisme affine ; en d´eduire que TOF n’est pas calculable par un circuit sur{SWAP,NOT,cNOT}.

On dit que f : Bⁿ → Bⁿ est calculable, “avec variables auxiliaires”, sur l’ensemble de portes (r´eversibles)Gssi il existe un circuitC `an+mentr´ees (et sorties) tel que : pour tout−→x ∈Bⁿ

C(−→x ,0^m) = (f(−→x),0^m)

Autrement dit, le circuit C se sert des m derni`eres places pour calculer, mais ne prend aucune donn´ee, ni ne retourne aucun r´esultat, dans ces m places “auxiliaires”. La fin de cette partie consiste `a montrer que les portes {SWAP,NOT,TOF} suffisent pour calculer, avec des variables auxiliaires, toutesles bijections de Bⁿ dans lui-mˆeme.

Pour toute application f :Bⁿ→B^m, on note f_⊕:B^n+m→B^n+m l’applica- tion :

(−→x ,−→y)7→(−→x ,−→y ⊕f(−→x)).

Soitf :Bⁿ→B^m une application calcul´ee par un circuitC sur un ensemble de portes bool´eennesG.

5- 5.1 Montrer que l’on peut construire,`a partir deC, un circuit r´eversible C^′, avec Lentr´ees, n’utilisant que des portes de

{P_⊕|P ∈ G} ∪ {SWAP,cNOT} de fa¸con que,

∀−→x ∈Bⁿ, C^′(−→x ,0^L−n) = (f(−→x), g(−→x))

o`u g : Bⁿ → B^L−m. Intuitivement , C^′ calcule f r´eversiblement, mais avec production du “d´echet”g(−→x).

5.2 Que peut-on dire de la taille (i.e nombre de portes) deC^′ par rapport `a la taille deC?

5.3 Que peut-on dire de l’arit´e deC^′ par rapport `a l’arit´e de C et la taille de C?

6- 6.1 Montrer quef_⊕est calcul´ee par un circuit r´eversibleC^′′, avec variables auxiliaires, n’utilisant que des portes de

{P_⊕|P ∈ G} ∪ {SWAP,cNOT} 6.2 Estimer la taille deC^′′.

7- Montrer que l’ensemble de portes{SWAP,NOT,TOF}permet de calculer, avec des variables auxiliaires, toutes les bijectionsBⁿ→Bⁿ.

Partie 3 Circuits quantiques.

On appelleporte quantiquetoute application unitaireU : (C²)^⊗n→(C²)^⊗n, l’entier n ≥ 1 est l’arit´e de la porte. On notera simplement B l’espace de HilbertC². Une porte d’arit´enagit donc sur un syt`eme de n q-bits.

Soit n≥1, soitU une porte quantique d’arit´ep≤net soitA une suite strictement croissante de longueurp, d’indices entre 1 etn:A=a₁ < . . . <

a_p. On note U[A, n] :B^⊗n→ B^⊗n, l’application unitaire d´efinie par :

|x₁, . . . , x_ni 7→(U

x_a1, x_a2, . . . , x_ap )⊗

x_b1, x_b2, . . . , x_bq

o`u b₁ < b₂ < . . . < b_q est la suite croissante des entiers de [1, n]\A. Un circuit quantique est une suiteC de la forme

P₁[A₁, n]P₂[A₂, n]. . . P_ℓ[A_ℓ, n]

de portes appliqu´ees `a des sous-suites d’arguments. La transformation uni- taire calcul´ee parC est la composition d’applications :

U_C =P_ℓ[A_ℓ, n]◦. . . P₂[A₂, n]◦P₁[A₁, n]

Comme dans un mˆeme circuit toutes les applications unitaires portent sur le mˆeme espace de HilbertB^⊗n, l’entiern(le nombre de q-bits) sera souvent omis.

On dit que la transformation unitaire U :B^⊗n→ B^⊗n est calcul´ee, avec m variables auxilaires, par un circuit quantiqueC, si pour tout−→x ∈Bⁿ,

UC(|−→xi ⊗ |0^mi) = (U|−→xi)⊗ |0^mi.

1- Soitf :Bⁿ→Bⁿune bijection.

1.1- Montrer que l’application lin´eaire ˆf :B^⊗n→ B^⊗n telle que : fˆ|x₁, . . . , x_ni=|f(x₁, . . . , x_n)i

est une transformation unitaire.

On note ainsi SWAPˆ ,NOTˆ ,TOFˆ les portes quantiques associ´es aux portes bool´eennes r´eversibles correspondantes.

1.2- Montrer que, ˆf est calcul´ee par un circuit quantique, avec variables auxiliaires, sur les portesSWAPˆ ,NOTˆ ,TOFˆ .

On d´efinit, pour 1 ≤ k ≤ n et tout op´erateur unitaire U sur B^⊗n−k, l’op´erateur Λ^k(U) surB^⊗n par :

Λ^k(U)|x₁, . . . , x_ni= |x₁, . . . , x_ki ⊗ |x_k+1, . . . , x_ni si x₁x₂· · ·x_k= 0

= |x₁, . . . , x_ki ⊗U|x_k+1, . . . , x_ni si x₁x₂· · ·x_k= 1 2- Montrer que Λ^k(U) est calcul´ee par un circuit quantique sur l’ensemble de portes{SWAPˆ ,NOTˆ ,TOFˆ ,Λ¹(U)}.

3- SoitM ≥2 et U une matrice unitaire de dimension (M, M) (on ne sup- pose pas, ici que M est une puissance de 2). On note |1i,|2i, . . . ,|Mi la base canonique de l’espaceM_M,1(C) (i.e.|ii a toutes ses coordonn´ees nulles sauf lai`eme, qui vaut 1).

3.1 Montrer que, il existe des op´erateurs unitairesV₁, V₂, . . . , V_M−1 sur C^M tels que :

V₁·V₂· · ·V_M−1U|1i=|1i

et chaque V_i laisse invariant, point par point, le sous-espace engendr´e par {|ji |1≤j≤M, j6=i, j6=i+ 1}.

3.2 En d´eduire, par r´ecurrence, qu’il existe des op´erateurs unitairesV₁, . . . , V_M(M−1)/2 surC^M tels que :

V₁·V₂· · ·V_M(M−1)/2·U = I_M

et, pour chaque i ∈ [1, M(M −1)/2], il existe un entier s_i ∈ [1, M −1]

tel que V_i laisse invariant, point par point, le sous-espace engendr´e par {|ji |1≤j≤M, j6=s_i, j6=s_i+ 1}.

4- Revenons au cas d’un op´erateur unitaireU sur B^⊗n.

4.1 En appliquant la question 3, `a l’op´erateur U⁻¹, avecM = 2ⁿ, montrer queU est calcul´e par un circuit quantique sur l’ensemble des ˆf (f bijection

de Bⁿdans lui-mˆeme) union l’ensemble {Λⁿ⁻¹(V_i)|i∈[1, M(M−1)/2]}.

4.2 Montrer queU est calcul´e par un circuit (avec variables auxiliaires) sur l’ensemble de portes{SWAPˆ ,NOTˆ ,TOFˆ } ∪ {Λ¹(U)|U ∈U(2)}.

Nous dirons qu’un ensemble de portes quantiquesG est completsi, pour tous n ∈ N et toute transformation unitaire U : B^⊗n → B^⊗n, il existe un circuit quantique form´e de portes dans G, avec variables auxiliaires, qui calculeU.

5- Montrer que

{SWAPˆ ,NOTˆ ,TOFˆ } ∪ {Λ¹(U)|U ∈U(2)}

est complet.

Partie 4

G´en´erateurs topologiques de SU(2).

SoitGun sous-groupe deGL_N(C) (pour un entierN ≥1). On rappelle que la norme d’un ´el´ement h∈M_N,N(C) est d´efinie par

khk= sup

|vi∈CN

k|vik=1

{kh|vi k}.

Le groupeG, muni de la distance : d(g, g^′) =kg−g^′k, est un espace m´etrique complet et le produitG×G→Gest continu (pour cette m´etrique).

Soit

G ⊆G.

On d´efinit alors le sous-monoide engendr´e parG : hGi:={g₁g₂· · ·g_ℓ |ℓ∈N, g_i ∈ G}

et le sous-monoideferm´eengendr´e parG : hGi

qui est l’adh´erence topologique dehGi. Ce qui revient `a dire que , pour tout g∈G,

g∈ hGi ⇔[∀ε >0,∃ℓ∈N,∃g₁, g₂, . . . g_ℓ∈ G,d(g, g₁g₂· · ·g_ℓ)< ε].

On rappelle les notations :H= √¹ 2

1 1

1 −1

et pour toutϕ∈R S(ϕ) =

1 0

0 e^iϕ

, R(ϕ) =

e^iϕ 0

0 e^−iϕ

, D(ϕ) =

e^iϕ 0

0 e^iϕ

.

1- Montrer que si (|0i,|1i),(|ui,|vi) sont deux bases orthonorm´ees de B, alors il existe des r´eelsϕ, ψ tels que

S(ϕ)HS(ψ)H|0i ∼ |ui (voir l’exercice 8 du polycopi´e).

En d´eduire que

S(ϕ)HS(ψ)H|1i ∼ |vi

2- En d´eduire que siU ∈SU(2), alors il existe des r´eelsα, β, γ tels que : R(α)HR(β)HR(γ) =U

On consid`ere les matrices R₁=

_3+4i

5 0

0 ³⁻₅⁴ⁱ

, R₋₁ = _3−4i

5 0

0 ³⁺⁴ⁱ₅

.

3- Montrer qu’il existeα₁∈Rtel queR₁=R(α₁) et R₋₁ =R(−α₁).

4- Montrer que ^α_π¹ ∈/ Q.

5- En d´eduire que le sous-groupe {n α^.₁|n ∈ Z} de R/2πZ est dense dans R/2πZ.

6- Montrer quehR₁, R₋₁i={R(ϕ)|ϕ∈R}.

7- Montrer quehiH, R1, R₋1i=SU(2).

On d´efinit les matrices D₁ =

_3+4i

5 0

0 ³⁺⁴ⁱ₅

, D₋₁ = _3−4i

5 0

0 ³⁻₅⁴ⁱ

.

8- Montrer quehiH, R₁, R₋₁, D₁, D₋₁i=U(2).

Partie 5

Ensembles de portes quantiques topologiquement complets.

Nous dirons qu’un ensemble de portes quantiques G est topologiquement completsi, pour tousn∈N\{0}et toute transformation unitaireU :B^⊗n→ B^⊗n, il existe une suite de circuits (Ci)i∈N, avecmvariables auxiliaires, telle que

ilim→∞U_Ci =U 1- Montrer que

{SWAPˆ ,NOTˆ ,TOFˆ } ∪ {Λ¹(H),Λ¹(R₁),Λ¹(R₋₁),Λ¹(D₁),Λ¹(D₋₁),} est topologiquement complet.

**2- Pouvez-vous trouver des sous-ensembles stricts de l’ensembleG donn´e

`

a la question 1, qui restent topologiquement complets ?