P (z) = z 4 − 4z 3 − 2z 2 + 12z + 9

Premier bahelier en sienes mathématiques,

Deuxième bahelier en sienes physiques,

MaiJuin 2016

Consignes:

•

^{Répondreàdesquestionsdiérentessurdesfeuillesdistintesetnumérotées}

omportant haune vos nom et prénom . Rendre au moins une feuille

parquestion (mêmeen asd'abstention). Il estattenduquelesréponses

fourniessoient lairement justiées.

La larté,larédation etlajustiationdesréponsesfournies intervien-

nent danslaotationde l'ensemblede l'examen.

•

^{Fin del'examen à12h30}

Bon travail !

1. [3points℄Vérier (méthode auhoix) queles polynmes

P (z) = z ⁴ − 4z ³ − 2z ² + 12z + 9

et

Q(z) = z ³ − 3z + 2

sont premiersentre eux.

2. [5points℄On onsidère l'appliationlinéaire:

T : R ⁴ → R ⁴ ,







 x 1

x 2

x 3

x 4







 7→









x 2 + x 3

x 1 + x 4

x 2

2x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4









a) Dans labase anonique

(e 1 , e 2 , e 3 , e 4 )

^de

R ⁴

, représenter

T

^.

b) Dansla base

(e 1 − e 2 , e 1 + e 2 , e 3 − e 4 , e 3 + e 4 )

^de

R ⁴

, représenter

T

^.

) Donner une base du noyau de

T

^{, une base de l'imagede}

T

^.

Vérier le théorème de la dimension.

d)

T

^{est-il un} isomorphismede

R ⁴

dans lui-même? Justier votre réponse.

2. [6 points℄On onsidère lamatrie

A =









2 − α α α 2α − 2

− α − 1 α + 3 α α + 1 2 − α α − 2 α + 1 α − 2

0 0 0 α









On sait que

2

^et

3

^{sont des valeurs propres de}

A

^{(ela permet de vérier}

vos aluls).

a) A quelles onditions sur le paramètre

α ∈ C

, la matrie

A

^est-elle

diagonalisable?

b) Quand

α = 2

^,vérierque

A

^est diagonalisable,fournirune matrie inversible

S

^{telle que}

S ⁻¹ AS

^{soit diagonale et fournir également}

4. [3 points℄Soientla matrie

M

^{etl'élément}

x

^de

R ³

donnési-dessous

M =





1

2 1 3

0 ¹ ₃ 2 0 0 ¹ ₄





^et

x =



 1 2 3



 .

Pour

j ∈ { 1, 2, 3 }

^{, on onsidère la suite de réels :}

[ x ] j

^,

[M x ] j

^,

[M ² x ] j

^,

[M ³ x] j

^{, .... Montrer que ette suite possède une limite. Que vaut}

n →+∞ lim [M ⁿ x ] j ?

5. [3 points℄Soit la matrie

M =





√ 2/2 √

2/2 0

− i √

2/2 i √ 2/2 0

0 0 i



 .

VRAIFAUX (justier vosréponses)

a)

M

^{est une matrie unitaire.}

b)

M

^{est une matrie normale.}

)

M

^{est une matrie} hermitienne.

d) Il existe une base orthonormée de

C ³

formée de veteurs propres de

M

^.

e) Les valeurs propresde

M

^{sont de la forme}

e ^iθ

^ave

θ ∈ [0, 2π[

^.

f) La matrie

M

^{etla matrie}

N =





1 1 i 1 0 0

− i 0 3



