MPSIA 2012/2013
Programme de colles de math´ematiques, semaine 24 (du lundi 22 au vendredi 26 avril)
lyc´ee Chaptal
Int´ egration sur un segment Fonctions ` a valeurs complexes Fractions rationnelles
D´efinition, op´erations sur les fractions rationnelles. Identification entre fractions et fonctions rationnelles. Repr´esentant irr´eductible, unitaire.
Degr´e d’une fraction rationnelle, partie enti`ere.
Racines et pˆoles d’une fraction rationnelle. Ordre de multiplicit´e, partie polaire relative `a un pˆole.
D´ecomposition d’une fraction rationnelle en ´el´ements simples : existence et unicit´e.
Calcul des coefficients dans le cas de pˆoles d’ordre 1 ou 2. Valeur du coefficient li´e
`
a (X−α)1 r dans le cas d’un pˆole d’ordrer.
Exemples de d´ecomposition et d’astuces de calcul des coefficients (utilisation de la parit´e ´eventuelle, de la limite dexF(x), valeurs en des points remarquables...).
Calculs pratiques de primitives
1. Polynˆome-exponentielle
– D´eriv´ee et primitive de t7→eat poura∈C.
– Primitive d’une fonction polynˆome-exponentielle : t7→P(t)eat o`u P ∈C[X] et a∈C.
2. Fractions rationnelles
– Primitive dex7→(x−a)n pour a∈C. attention aux intervalles et au casn= 1!
– Primitive dex7→ αx+β
ax2+bx+c dans le casα, β, a, b, c∈Ret b2−4ac <0.
3. Polynˆomes et fractions rationnelles encosetsin:changement de variables possibles suivant les parit´e des puissances pour les polynˆomes, r`egles de Bioche pour les fractions rationnelles, changementt= tan(x/2).
4. Fonctions usuelles :revoir les d´eriv´ees et les primitives de toutes les fonctions usuelles vues au d´ebut de l’ann´ee.
Questions de cours
Q1. Si P est un polynˆome, d´ecomposition en ´el´ements simples de P0 P. Q2. D´ecomposition en ´el´ements simples deF(X) = X5+ 1
X(X−1)2.
Q3. D´ecomposition en ´el´ements simples deF(X) = X2 (X2+X+X)2. Q4. Calcul d’une primitive def :t7→ 1
x−1 +i. Q5. Calcul de
Z 1
0
x+ 1 x2+x+ 1 dx.
Q6. D´eterminer une primitive dex7→ x4 x3−1. Q7. Donner la forme de
Z x
?
eatP(t) dt sia ∈C et P ∈ C[X] et en d´eduire une m´ethode pratique de calcul.
A venir : espaces vectoriels euclidiens.`
