MPSIA Relations de comparaison lyc´ee Chaptal
II Relation d’´ equivalence
II.1 D´ efinition
D´efinition 2.1 On dit que f est´equivalente `a g en a sif(x)−g(x) = o
x→a(g(x)). On note alorsf(x) ∼
x→ag(x).
Ecrire les traductions quantifi´´ ees de cette d´efinition (casa∈R, a= +∞eta=−∞.) Proposition 2.2 Sif =g+het sih(x) = o
x→a(g), alors f(x) ∼
x→ag(x).
Proposition 2.3 Il y a ´equivalence entre les ´enonc´es : (i) f(x) ∼
x→ag(x);
(ii) Il existe une fonctionm telle que – au voisinage dea,f(x) =m(x)g(x); – lim
x→am(x) = 0.
Preuve : Comme pour les autres relations de comparaison, on remarque que sur un voisinage de a, on a g(x) = 0 ⇒ f(x) = g(x) = 0. On d´efinit alors sur ce voisinage m(x) =
f(x)/g(x) sig(x)6= 0
1 sig(x) = 0 , et on v´erifie que cette fonction convient.
Corollaire 2.4 Dans le cas o`u g ne s’annule pas au voisinage dea, il y a ´equivalence entre les ´enonc´es : (i) f(x) ∼
x→ag(x); (ii) lim
x→a
f(x) g(x) = 1.
Proposition 2.5 La relation « ∼
x→a »est une relation d’´equivalence sur l’ensemble des fonctions d´efinies au voisinage de a.
Preuve : Cela r´esulte facilement de la proposition 2.3.
Exemples : 1. SiP =
n
X
k=p
akXk avecp6n∈N,ap6= 0 etan6= 0, alors P(x) ∼
x→±∞anxn et P(x) ∼
x→0apxp. 2. Pourp∈N∗,xp−ap ∼
x→apap−1(x−a).
Proposition 2.6 On suppose quef(x) ∼
x→ag(x).
1. Si lim
x→ag(x) =`∈R, alors lim
x→af(x) =`.
2. Sig(x)>0 au voisinage dea, alors f(x)>0 au voisinage dea.
3. Sig(x)6= 0 au voisinage dea, alors f(x)6= 0 au voisinage dea.
Preuve : cela r´esulte encore de 2.3 puisque simtend vers 1 ena, alors au voisinage dea, m(x)>1/2>0.
Remarques
1. ´Ecrire«f(x) ∼
x→ag(x)»signifie que f s’annule sur tout un voisinage dea. C’est donc une situation tr`es rare et g´en´eralement, une telle ´ecriture traduit un calcul faux.
2. Lorsqu’on ´ecrit un ´equivalent, seul un terme significatif `a du sens :ex ∼
x→01 +x, mais aussiex ∼
x→01 + 7x ou encoreex ∼
x→01 +p
|x|.
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II.2 Op´ erations
Proposition 2.7 1. Sif1(x) ∼
x→ag1(x)etf2(x) ∼
x→ag2(x), alors f1(x)f2(x) ∼
x→ag1(x)g2(x).
2. Sif(x) ∼
x→ag(x)et sig ne s’annule pas au voisinage dea, alors 1 f(x) ∼
x→a
1 g(x). Preuve : encore une fois, il suffit d’appliquer 2.3.
Remarque ATTENTION : les ´equivalents de s’additionnent pas !
( C’est souvent ainsi que l’on obtient un ´equivalent nul (et donc quasi-certainement faux).)
II.3 Obtention d’´ equivalents
Proposition 2.8 Sif est d´erivable en aet sif0(a)6= 0, alors f(x)−f(a) ∼
x→af0(a)(x−a).
Preuve : Si f est d´erivable en a, alors lim
x→a
f(x)−f(x)
x−a =f0(a) et donc si f0(a)6= 0, lim
x→a
f(x)−f(x)
f0(a)(x−a) = 1 et on applique le corollaire 2.4.
Exemples : 1. ex−1 ∼
x→0x; 2. ln(1 +x) ∼
x→0x; 3. (1 +x)α−1 ∼
x→0αx; 4. sin(x) ∼
x→0x;
5. tan(x) ∼
x→0x; 6. arcsin(x) ∼
x→0x; 7. arctan(x) ∼
x→0x; 8. sh(x) ∼
x→0x;
9. th(x) ∼
x→0x; 10. argsh(x) ∼
x→0x; 11. argth(x) ∼
x→0x.
Dans certains cas o`uf0(a) = 0, on peut utiliser la formule de Taylor-Young. On obtient ainsi par exemple : 1. cos(x)−1 ∼
x→0−x2 2 ; 2. ch(x)−1 ∼
x→0
x2 2 ;
3. ((1 +x)α−1−αx) ∼
x→0α(α−1)x2 2 .
II.4 Substitution
En g´en´eral, on ne par par composer les ´equivalents : sif(x) ∼
x→ag(x), il n’y a a priori aucune raison pour queh(f(x)) ∼
x→ah(g(x)).
(Sous certaines conditions, on peut cependant, dans des cas particuliers, prouver des r´esultats de ce genre.). Exemples :
1. Ena= +∞, prendref :x7→x+ 1,g:x7→xet h= exp ; 2. Ena= 0+, prendref :x7→ln(x),g:x7→ln(x) + 3 eth= exp ; 3. Un exemple de condition favorable : d´emontrer que si lim
x→a(f(x)−g(x)) = 0, alors exp(f(x)) ∼
x→aexp(g(x)).
En revanche, on pourra substituer une fonction dans un ´equivalent : Proposition 2.9 Silim
t→bu(t) =aet sif(x) ∼
x→ag(x), alors f(u(t)) ∼
t→bg(u(t)).
Preuve : `a nouveau, on utilise la proposition 2.3 et la composition des limites.
II.5 Exemples de calculs de limites
D´eterminer les limites suivantes : 1. lim
x→0
esin(x)−1
x ;
2. lim
x→0
ln(cos(x)) (arcsin(x))2;
3. lim
x→0(1 + sin(x))1/x; 4. lim
n→+∞
h
ln(1 +e−n2)i1/n
;
5. lim
x→0
xln(1 +x) arctan(x) tan(x);
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