3 Formulaire des ´ equivalents usuels

Comparaison des fonctions

1 Pr´ epond´ erance, domination

1.1 D´efinitions 1.1.1 Pr´epond´erance

D´efinition. Soitf, ϕ : I Ñ R eta dansI ou une extr´emit´e de I. On suppose queϕpxq 0@xPIrtau. On dit que f estn´egligeable devant ϕ au voisinage de a (ou queϕest pr´epond´erante devantf) si et ssi il existe une application ε : I Ñ Rtelle que

#@xPI, fpxq εpxqϕpxq εpxq ÝÝÝÑ

xÑa 0 Notation. On notef !

a ϕ, ou bienf Po

apϕq, ou encorefpxq P o

xÑapϕpxqq. Remarque.

Exemple.

1.1.2 Domination

D´efinition. Soitf, ϕ : I Ñ RetadansI ou une extr´emit´e deI. On suppose queϕpxq 0@xPIrtau. On dit quef estdomin´ee par ϕ au voisinage de a (ou est un grandOde ϕ) si et ssi il existe une application

C : I Ñ R telle que #

@xPI, fpxq Cpxqϕpxq

C est born´ee sur un voisinage de a

Notation. On noterafpxq P O

xÑapϕpxqq.

Remarque.

Exemple.

1.2 Op´erations

Remarque.Il suffit de r´efl´echir et de penser en termes de quotient, comme le pr´ecise la caract´erisation suivante : 1.2.1 Caract´erisation

Th´eor`eme.

(a) fpxq P o

xÑapϕpxqq ðñ

#_f

ϕ ÝÑ

a 0

petfpaq 0 siϕpaq 0q (b) fpxq P O

xÑapϕpxqq ðñ _ϕ^f est born´ee au voisinage dea

1.2.2 Remarques

Propri´et´es imm´ediates.

(a) fpxq P o

xÑap1q ðñ fpxq ÝÝÝÑ

xÑa 0 (b) fpxq P O

xÑap1q ðñ f est born´ee au voisinage de a (c) Sifpxq P o

xÑapϕpxqq, alorsfpxq P O

xÑapϕpxqq.

1.2.3 Transitivit´e Propri´et´e. Sif Po

apgq etgPO

aphq, alorsf Po

aphq. Remarque.

1.2.4 Op´erations usuelles Somme. Sif Po

aphqetgPo

aphq, alorsf gPo

aphq.

Produit. Sif Po

aphq etg est born´ee, alorsf gPo

aphq. Sif Po

apϕq etgPO

apψq, alors f gPo

apϕψq.

1.3 Exemples classiques En 8.

lnxP o

8pxq et plnxq^β P o

8px^αq @α, β ¡0 xP o

8pe^xq et x^αP o

8pa^xq @α¡0, a¡1 En 8.

x^α P o

8px^βq ðñ α β

En 0.

x^αPo

0px^βq ðñ α¡β

2 Fonctions ´ equivalentes

2.1 ´Equivalence au voisinage d’un point

D´efinition.Soitf etgd´efinies surD,aP RdansDou une extr´emit´e deD. On suppose quef etgne s’annulent pas sur Drtau.

On dit que f est ´equivalente `a g au pointa si et ssi ^f_g^p_p^x_x^q_q ÝÝÝÑ

xÑa 1 Notation. On notef

a g oufpxq

xÑagpxq Exemple. Soitf une fonction polynˆome.

fpxq

¸n i0

a_ixⁱ a_n0

R´esulat. En particulier, on en d´eduit les ´equivalents usuels suivants : (αP Rfix´e)

e^x1

xÑ0x lnp1 xq

xÑ0x p1 xq^α1

xÑ0αx

sinx

xÑ0x tanx

xÑ0x Th´eor`eme (caract´erisation importante).

f

xÑag ðñ f g ϕavec ϕ !

xÑag.

Propri´et´e.

f

a g gpxq ÝÝÝÑ

xÑa ` +

ùñfpxq ÝÝÝÑ

xÑa `

Propri´et´e. Attention !, il est bien ´ecrit`0.

fpxq ÝÝÝÑ

xÑa ` gpxqÝÝÝÑ

xÑa `

`0 et ` 8

,/ .

/-ùñf

a g

Propri´et´e. Sif

a g, alorsf etg ont le mˆeme signe au voisinage dea.

2.2 Op´erations sur les fonctions ´equivalentes 2.2.1 Inverse

Proposition. Sif

a g alors ¹_f

a 1 g.

(On sait d´ej`a par d´efinition quef etg ne s’annulent pas.)

2.2.2 Produit

Proposition. Sif₁

a g₁ etf₂

a g₂ alorsf₁f₂

a g₁g₂. Exemple. fpxq sinxpe^x1q

xÑ0x² Cons´equence. Sif

a g alors@nP N, fⁿ

a gⁿ Exemple.

2.2.3 Logarithme

Proposition. Si les trois hypoth`eses suivantes sont v´erifi´ees,

(a) f

a g

(b) f etg sont strictement positives au voisinage dea (c) g admet une limite en adiff´erente de 1

alors lnpfpxqq

xÑalnpgpxqq Remarque.

2.2.4 Exponentielle

Attention. On peut avoirf

a gmais pas e^f

a e^g. Exemple. fpxq x² x etgpxq x².

R´esultat. e^f

a e^g ðñ fpxq gpxq ÝÝÝÑ

xÑa 0

2.2.5 Somme

Attention. On peut avoirf1

a g1 etf2

a g2 mais pasf1 f2

a g1 g2. Exemple. f₁pxq ₁^x_x,f₂pxq _x2^x1,g₁pxq x,g₂pxq x x³ eta0.

R´esultat. Sif g ϕavec ϕPo

apgq,

alors f

a g.

Exemple. Soithpxq sinx 1cosx. Donner un ´equivalent en 0.

Remarque. On trouve d’autres r´esultats dans les livres.

Lorsque l’on manipule des sommes, on a int´erˆet `a faire plutˆot des DL.

2.2.6 Changement de variable Th´eor`eme.

Soit ϕd´efinie surD, etaP R. Soit f etg deux fonctions d´efinies sur D¹ tel queϕpDq €D¹.

Sif

b g etϕpxq ÝÝÝÑ

xÑa bP R, alorsf ϕ

a gϕ

Exemple.

2.3 ´Equivalents et recherche de limites Exemple. Limite en 0 de pe^x1qtan²x

xp1cosxq Exemple. Limite en 1 de lnpsin^π₂xq

px1q² Exemple. Limite en 0 de lnp1 x²q

cos 3xe^x Exemple. Limite en 0 de e^sinxe^tanx sinxtanx

3 Formulaire des ´ equivalents usuels

3.1 ´Equivalents provenant de la d´efinition de la d´eriv´ee Propri´et´e.Sif est d´erivable enaet sif¹paq 0, alors fpxq fpaq

xa ÝÝÝÑ

xÑa f¹paq, doncfpxqfpaq

xÑaf¹paqpxaq On en d´eduit les ´equivalents suivants : (αP Rfix´e)

e^x1

xÑ0x lnp1 xq

xÑ0x p1 xq^α1

xÑ0αx

sinx

xÑ0x shx

xÑ0x Arcsinx

xÑ0x

tanx

xÑ0x thx

xÑ0x Arctanx

xÑ0x

cosx

xÑ01 chx

xÑ01 Argshx

xÑ0x

3.2 Autres ´equivalents classiques trigonom´etriques

Remarque. 1cosx2 sin^2x₂ etchx12sh^2x₂. On en d´eduit :

1cosx

xÑ0

x²

2 chx1

xÑ0

x² 2

3.3 Polynˆomes et fractions rationnelles

R´esultats. Tout polynˆome non nul est ´equivalent en 8 et8 `a son terme de plus haut degr´e.

Tout polynˆome non nul est ´equivalent en 0 `a son terme de plus bas degr´e.

Toute fraction rationnelle non nulle est ´equivalente en 8et8au quotient de ses termes de plus haut degr´e.

Toute fraction rationnelle non nulle est ´equivalente en 0 au quotient de ses termes de plus bas degr´e.

Exemple.

x⁵3x² 7x

xÑ07x x⁵3x² 7x

xÑ8x⁵ x³x

x⁴ x 1

xÑ 8

1 x

2x⁴x² x x²1

xÑ0x

3.4 Cas des recherches d’´equivalents ailleurs qu’en 0 et 8

M´ethode. La plupart des ´equivalents usuels sont donn´es en 0. On s’y ram`ene par un changement de variable.

Pour trouver un ´equivalent defpxqau voisinage deα, on cherche un ´equivalent defpα hqau voisinage de 0.

Exemple. On cherche un ´equivalent def : xÞÑ x³ 2x

x² x6 au voisinage de 2.

3.5 Les fonctions Arccos et Argch Etude.´ PuisqueArccosxÝÝÝÑ

xÑ 1 0, on a (analogue pourArgch) :

Arccosx

xÑ 1sinpArccosxq a

1x² a

p1xqp1 xq

xÑ 1

?2?

1x

ou encore, avec le changement de variable x1h,hÑ

¡ 0 :

Arccosp1hq

hÑ

¡0

?2h

4 Notion de d´ eveloppement limit´ e en 0

Revoir le chapitre du d´ebut d’ann´ee. En particulier :

cosx1x²

2! o

xÑ0px³q sinxxx³

3! o

xÑ0px⁴q

e^x 1 x x²

2!

x³

3! o

xÑ0px³q lnp1 xq xx²

2 x³

3 o

xÑ0px³q

?1 x1 x

2 1

8x² o

xÑ0px²q p1 xq^α1 αx αpα1q

2 x² o

xÑ0px²q

Utilisationdes´equivalents 16.1

´ Etudierleslimitesdesexpressionssuivantes: x 1e1 paqp1cosxqen0pbqpsinpaxqsinpaxqqen0 x12x 1 2x¹1xx22xpcqpcosxsinxqen0pdqen0 21xx πx2 peqp1xqtanen1pfqx 2

1 x1en1 pgqx? x a x? xen1et8phq lnp1xq lnx

xlnx en8 piq x x1xpx1q pjqaxba x2mxp xpp 0q (Auxbornesdudomaineded´efinitionpourlesdeuxderni`eres.)compa- raison_1.tex 16.2Soitfpxqxln 1ln11 x lnx

(a)D´emontrerquefpxq1 lnxauvoisinagede8; (b)End´eduirelalimiteen8de: efpxq 1lnx (c)Soitgpxq lnpx1q lnx

x 1 lnx. Calculerlalimiteen8degpxq. comparaison_2.tex

16.3D´eterminerleslimitesdesfonctionssuivantes: paqxÞÝÑ? xZ 1 x^ en0,8 pbqxÞÝÑa x21px1qen8 pcqxÞÝÑxb x? x1b x3a x21en8 pdqxÞÝÑ1cos3x sin2 2xen0 peqxÞÝÑlnpx3 4q lnp3x2qen8 pfqxÞÝÑsin1 x e¹ x1en0et8 pgqxÞÝÑx3 21px1q3 2 px21q³ 2en1 phqxÞÝÑplnxqlnpexq ene piqxÞÝÑ sinπx 2x1x2 en8 comparaison_3.tex 16.4Soit0 a betfpxq ax bx 2

1 x . (a)Calculerleslimitesdefpxqen8et8. (b)Soitupxq1 2 ax 1 x

bx 1 x

. Calculerlalimitedeupxqen0.D´emontrerque1xupxq ax bx 2. (c)Soitvpxq1 xln ax bx 2

. Donnerun´equivalentdevauvoisinagedez´ero.End´eduirela limiteen0defpxq. comparaison_4.tex

16.5Soitf:xÞÝÑ

n¸ k0akxk n¸ k0bkxk. Donnerlesconditionsportantsurlescoefficientspourquefsoitn´e- gligeabledevantxÞÑx2 auvoisinagede8.comparaison_5.tex Autres 16.6D´eterminerlalimiteen0de: 2 sin2 x1 1cosx comparaison_8.tex

16.7D´eterminerlalimiteenπ 2`agauchede: p1sinxq

sinx lnpcosxq comparaison_9.tex 16.8D´eterminerun´equivalenten8de: f:xÞÑ lnp1xq lnx

x 1 comparaison_10.tex 16.9

sin2x ´ Etudierlalimiteen0de.comparaison_11.tex sin3x 16.10

32 x2x11 ´ Etudierlalimiteen8desin.comparaison_12.tex 24x3x2x