Universit´e Joseph Fourier - L3 - Topologie 2016-2017
Contrˆ ole continu 3
8 d´ ecembre 2016 - 2 heures
La qualit´e de la r´edaction sera particuli`erement importante pour la notation.
Exercice 1. Soit
A={exp(in−expn), n∈Z} ⊂C∼R2.
1. Montrer que {exp(in), n ∈ Z} est dense dans C le cercle unit´e. On pourra reproduire la d´emonstration faite en cours ou bien admettre le r´esultat suivant : pour tout−1≤a < b≤1, il existen∈N, tel quea <cosn < b.
2. D´eterminer ¯A⊂(R2, us).
Exercice 2. Soitf : (X,T)→(Y,T0), une application continue entre deux espaces topologiques non vides. On suppose queY est s´epar´e.
1. Montrer que les singletons deY sont des ferm´es.
2. SiT est la topologie grossi`ere, que peut-on dire def? 3. Sif est injective, montrer queX est s´epar´e.
4. Sif est surjective, avec card(Y)≥2,X est-il toujours s´epar´e ?
Exercice 3. Soitf :X→Y continue. SiX est connexe par arc, a-t-onf(X) connexe par arc ?
Exercice 4. Soit cercle unit´eC dans R2, X ⊂C un ensemble non vide et fini de points deC, et C0 =C\X.
1. C0 est-il compact ? 2. Est-il connexe ?
Exercice 6. SoitA={M ∈M(n,R), |detM| ≤1}, etM(n,R) muni de la topologie usuelle.
1. Aest-il connexe ? 2. Aest-il un ferm´e deE? 3. Aest-il un ouvert deE? 4. Aest-il compact ?
Exercice 7. Soit E = C0([0,1],[−1,1]) ´equip´e de la topologie induite par la norme k · k∞, et A={f ∈E,∃a∈[0,1], f(a) = 0}.
1. Aest-il un ferm´e pour la topologie induite ? 2. D´eterminer B={f ∈E,∃(fn)n ∈AN, fn→n f}.
3. Aest-il un compact deE? 4. Aest-il connexe ?
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