Table des matières
1 LOGIQUE ... 2
1.1 IMPLICATION ET EQUIVALENCE 2 1.2 THEOREME, RECIPROQUE, CONTRAPOSEE ET PROPRIETE 2 1.3 CAR, DONC : CAUSES ET CONSEQUENCES 3 1.4 ET,OU 4 2 NOMBRES... 5
2.1 OPERATIONS DE BASE 5 2.2 ÉCRITURE D’UN ENSEMBLE, INTERVALLES 6 2.2.1 ENSEMBLE DISCRET ... 6
2.2.2 INTERVALLE ... 6
2.2.3 OPERATIONS :INTERSECTION ET REUNION ... 6
2.2.4 LES ENSEMBLES DE « TOUS » LES NOMBRES ... 7
2.2.5 NOTATIONS DES ENSEMBLES DE NOMBRES POSITIFS, NEGATIFS, NON NULS : ... 8
1 Logique
1.1 Implication et équivalence
Activité
Soit deux événements A et B : A « obtenir mon bac avec mention TB » B « avoir une bourse au mérite » Que signifient les écritures :
A ⇒ B ? Si on obtient une mention TB, alors on aura une bourse au mérite.
B ⇒ A ? Si on a obtenu une bourse au mérite, alors on avait eu une mention TB.
A ⇔ B ? On aura une bourse au mérite si, et seulement si, on a une mention TB.
A ⇒ B ? Si on n’a pas de mention TB, alors on n’aura pas de bourse au mérite.
B ⇒ A ? Si on n’a pas eu de bourse au mérite, c’est qu’on n’a pas eu une mention TB.
Lorsque l'événement A entraîne dans tous les cas l'événement B, on dit qu'il y a implication de A vers B, et on note A ⇒ B
On rédigera cela de la manière suivante : si A, alors B.
Si j’obtiens mon Bac avec mention TB, alors j’aurai une bourse au mérite.
Dire qu'il y a équivalence entre A et B, c'est dire qu'il y a implication de A vers B et implication de B vers A.
On note : A ⇔ B.
On rédigera cela de la manière suivante : A équivaut à B ou A « si et seulement si » B J’aurai une bourse au mérite, ssi j’obtiens mon bac avec mention TB
Attention : A implique B ne signifie pas B implique A : si la mention TB déclenche forcément la bourse au mérite, cette dernière peut éventuellement être obtenue selon d’autres critères !
Imaginons que ce soit le cas (d’autres critères peuvent faire obtenir une bourse au mérite). Dans ce cas, quelles sont les affirmations vraies, parmi les cinq rédigées au-dessus ?
A ⇒ B : vraie ; B ⇒ A : fausse ; A ⇔ B : fausse ; A ⇒ B : fausse ; B ⇒ A : vraie
1.2 Théorème, réciproque, contraposée et propriété
Théorème : énoncé (démontré) de forme [A implique B] (ou : si A, alors B) : A ⇒ B Réciproque de A implique B : B implique A B ⇒ A
La réciproque d’une implication n’est pas toujours vraie ! Contraposée de A implique B : non B implique non A B ⇒ A
La contraposée d’une implication est toujours vraie !
Propriété : A équivaut à B (ou A ssi B) : A implique B et B implique A A ⇔ B propriété = un théorème et sa réciproque sont vrais
Exemple : propriété de Pythagore
Théorème : Si un triangle est rectangle, alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés
Si ABC est rectangle en A , alors BC² = AB² + AC² A ⇒ B
condition conclusion
Réciproque : Si le carré du plus grand côté d’un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle
Si BC² = AB² + AC² , alors ABC est rectangle en A B ⇒ A
condition conclusion
Contraposée : Si, dans un triangle, le carré de l’hypoténuse n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle n’est pas rectangle B ⇒ A
1.3 Car, donc : causes et conséquences
Supposons qu’un événement A ait pour conséquence l’événement B.
On peut écrire [A, donc B], ou encore [B, car A]… ce qui revient à dire [Si A, alors B]
A est une cause de B, A est une condition suffisante pour que B soit vraie.
Nb : A n’est pas forcément nécessaire pour l’obtention de B !
Si A est une condition nécessaire pour que B soit vraie, on pourra écrire : B implique A
En effet, si A n’était pas vraie, alors B ne pourrait pas l’être : non A implique non B, et par contraposée : B implique A.
EXERCICES
Exercice 1. Soit l'événement A : le triangle PQR a deux côtés de même mesure.
Soit l'événement B : le triangle PQR est équilatéral.
a. L'implication peut-elle se faire dans les deux sens ? b. Ecrivez l'énoncé qui vous paraît correct.
Exercice 2. Soit l'événement A : le triangle PQR est rectangle en Q.
Soit l'événement B : QP² + QR² = PR².
a. L'implication peut-elle se faire dans les deux sens ? b. Ecrivez l'énoncé qui vous paraît correct.
Exercice 3. Les sœurs Smith ont fait les déclarations suivantes :
Lucy : « Si la couverture est dans la voiture, alors elle n’est pas dans le garage. » Sally : « Si la couverture n’est pas dans la voiture, alors elle est dans le garage. » Vera : « Si la couverture est dans la voiture, alors elle est dans le garage. »
Cherry : « Si la couverture n’est pas dans la voiture, alors elle n’est pas dans le garage. »
Il se trouve que la voiture est dans le garage, ainsi que la couverture. Sachant cela, qui a dit la vérité ? Exercice 4. Soit l'événement A : Cet animal veut chasser une souris
Soit l'événement B : Cet animal est un chat
De plus, on a l'information suivante : "Tous les chats chassent les souris".
a. Quelle implication peut-on faire ici entre les événements A et B ? b. La réciproque de cette implication est-elle vraie ?
c. La contraposée de cette implication est-elle vraie ?
Exercice 5. Sur un plan P, on définit un cercle C de centre O et de rayon 5 cm. Ce cercle est donc l'ensemble de tous les points M de ce plan tels que OM = 5 cm.
Soit l'événement A : Le point F est à 5 cm du point O.
1.4 ET, OU
Activité
Il existe une classe de 20 élèves dans laquelle tous font de l'anglais ou de l'allemand.
Parmi eux, 6 font de l'anglais et de l'allemand.
Cet énoncé vous paraît-il correct ?
Que pouvez-vous en conclure sur la signification du mot "ou" ? ET : symbole ∧ OU : symbole ∨
en mathématiques, le OU est toujours inclusif : A ou B signifie l’un ou l’autre ou les deux.
La locution « et/ou » n’a donc pas lieu d’être ici.
Pour exprimer un ou exclusif (A ou B, mais pas les deux à la fois), on écrira : soit A, soit B.
EXERCICES
Exercice 6. Soit les événements : A : « Théo aime jouer au tennis » B : « Théo aime courir » Traduire les phrases suivantes à l’aide des propositions A et B et des symboles mathématiques 1. Théo aime jouer au tennis et courir
2. si Théo aime jouer au tennis alors il aime courir 3. Théo n’aime ni courir ni jouer au tennis
4. Théo aime courir mais il n’aime pas jouer au tennis 5. Théo aime jouer au tennis si et seulement si il aime courir 6. Théo aime courir ou jouer au tennis
7. Théo aime soit courir, soit jouer au tennis
Exercice 7. Dans chaque cas, écrivez l'ensemble auquel appartient forcément x : a. x < 2 ET x > 0 c. x ∈ [3 ; 15] ET x ∈ [12 ; 22]
b. x > 10 OU x est négatif d. x ∈ [3 ; 15] OU x ∈ [12 ; 22]
2 Nombres
2.1 Opérations de base
Nombre : notion fondamentale des mathématiques qui permet de compter, de classer des objets ou de mesurer des grandeurs, mais qui ne peut faire l’objet d’une définition stricte.
Nombre entier naturel, entier relatif, rationnel, irrationnel, etc.
Chiffre : chacun des caractères servant à représenter les nombres.
Nos chiffres, en « base 10 », sont 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Calcul : [du latin calculus, caillou] : mise en œuvre des règles élémentaires d’opérations (addition, soustraction, multiplication, division) sur les nombres
La somme est le résultat d’une addition ; quelle est la somme de a et b ?
La différence est le résultat d’une soustraction ; quelle est la différence de a et b ?
Le produit est le résultat d’une multiplication (que l’on pourra noter × ou
.
) ; quel est le produit de a et b ?Le quotient, ou rapport, ou taux, est le résultat d’une division ; quel est le quotient de a et b ?
Opposé d’un nombre :
L’opposé de A est le nombre, noté –A, tel que A + (–A) = 0.
l’opposé de 3 est –3, celui de –3 est 3 0 est l’élément neutre de l’addition.
Dans l’antiquité, il était impossible de concevoir que deux nombres, alors considérés comme exprimant des quantités d’objets, additionnés puissent donner un résultat nul. Les entiers
« positifs » étaient tout simplement « naturels », et ces opposés ne l’étaient pas. Ils n’avaient pas de légitimité concrète.
Il a fallu attendre que la géométrie devienne analytique (Descartes) pour que ces nombres
« négatifs » prennent leur sens : repérer des points sur un plan, une carte, requiert une origine, et un point peut se trouver à gauche ou à droite de celle-ci. Les nombres ont alors exprimé autre chose que des quantités ou des longueurs : des déplacements (+ vers la droite, – vers la gauche).
Additionner un nombre négatif est alors devenu naturellement « soustraire ». A + (–B) peut se noter A – B. (définition de la soustraction)
Inverse d’un nombre :
L’inverse de A est le nombre, noté A-1, tel que A × A-1 = 1.
L’inverse de 5 est 0,2. L’inverse de 0,2 est 5.
1 est l’élément neutre de la multiplication.
Multiplier un nombre A par l’inverse d’un nombre B est appelé « diviser A par B » et A×B-1 se notera A B. B
1 est une fraction de l’unité, une portion, une part de 1, lorsque B est un entier supérieur ou égal à 1.
Par extension, A
se nomme fraction… puisque c’est une fraction de A.
2.2.1 Ensemble discret
• L’ensemble des entiers compris strictement entre −4 et 3 contient −3 , −2 , −1, 0, 1 et 2.
C’est un ensemble discret. On l’écrit entre accolades : { −3 ; −2 ; −1; 0 ;1; 2} .
2.2.2 Intervalle
• L’ensemble des réels compris strictement entre −4 et 3 contient une infinité de nombres.
C’est un intervalle, un ensemble continu. On le note entre crochets : ] −4 ; 3[ .
x∈
]
−4 ; 3[
signifie −4 < x < 3 .De même, écrire les inégalités traduisant les intervalles donnés :
Le symbole ∞ (le lemniscate) désigne l’infini. Ce n’est pas un nombre ; il ne peut pas figurer dans une inégalité.
2.2.3 Opérations : Intersection et réunion
∩ est le symbole de l’intersection.
• [ −4 ; 3 ] ∩ [−1 ; 4 ] est l’ensemble des réels qui appartiennent à la fois à [ −4 ; 3 ] et à [−1 ; 4 ]
• Aucun réel n’appartient à la fois à [−4 ;1] et à [2 ;4]
[−4 ; 1] ∩ [2 ; 4] est l’ensemble vide noté ∅
∪ est le symbole de la réunion : on l’utilise pour regrouper plusieurs intervalles.
• [−4 ; 0] ∪ [2 ; 4] est l’ensemble des réels qui appartiennent à [−4 ; 0] ou à [2 ; 4]
• La réunion de deux intervalles se réduit parfois à un seul intervalle.
2.2.4 Les ensembles de « tous » les nombres entiers naturels ℕ entiers positifs, y compris zéro.
utilisés dès l'antiquité pour compter des objets et mesurer des quantités.
Exemples : 0 ; 3 ; 125 sont des entiers naturels.
On peut écrire : 3 ∈ ℕ (le symbole ∈ signifie « appartient à » ) entiers relatifs ℤ ensemble des entiers positifs ou négatifs, y compris zéro.
Tout rentier naturel est un entier relatif : ℕ est inclus dans ℤ : ℕ⊂ℤ Exemples : −2 ; −1258 ; 3 ; 0 ; 1200 sont des entiers relatifs.
−2∈ℤ mais −2∉ℕ ( le symbole ∉ signifie « n’appartient pas à » ).
décimaux ⅅ Ce sont les nombres qui peuvent s'écrire comme quotient d'un entier relatif par une puissance d'exposant positif de 10 :
Un nombre est décimal s'il peut s'écrire a/10n, a appartenant à ℤ et n à ℕ. Exemples : 34,8 (= 348/10) ; −0,65 (= −65/100) ; 2 (= 2/1) sont des nombres décimaux.
Tout nombre relatif est un nombre décimal , donc ℤ est inclus dans ⅅ
Rationnels ℚ [ratio : rapport, division, fraction] ensemble des nombres qui sont fractions de deux entiers.
Les décimales des rationnels, lorsqu’elles sont en nombre infini, ont la propriété d’être périodiques à partir d’un certain rang : une même séquence de chiffres se répète indéfiniment :
9/7 = 1, 285714 285714 285714 28...(la suite est infinie)
Irrationnels ℚ ensemble des nombres qui ne sont pas rationnels. √2 n'est pas rationnel (cherchez la preuve !), π ou e non plus (ne cherchez pas).
Réels ℝ ensemble des rationnels et des irrationnels, autrement dit tous les nombres simples existants.
Exemples : 3 ; – 27 ; 18,26 ; 5 ; 9 ; 3 ; π sont des réels.
Inclusion des ensembles :
2.2.5 Notations des ensembles de nombres positifs, négatifs, non nuls :
* On utilise l’étoile en exposant pour signifier qu’on retire zéro.
Ensemble des réels, sauf zéro : ℝ*… qui s’écrit aussi par des intervalles : ℝ*= −∞
]
; 0[ ]
∪ 0 ;+ ∞[
* On utilise les signes + ou – en indice pour ne citer que les nombres positifs ou négatifs.
Ensemble des réels positifs : ℝ+ … qui s’écrit aussi par des intervalles : ℝ+ =
[
0 ;+ ∞[
Ensemble des réels strictement négatifs : ℝ*− … qui s’écrit aussi par des intervalles : ℝ*−= −∞
]
; 0[
* Plus d’une variable : produit d’intervalles Ensemble des couples de réels : ℝ ℝ× =ℝ2
Ensemble des couples (x, y) tels que x est positif et y est non nul : ℝ+×ℝ* et ainsi de suite…
EXERCICES
Exercice 8. Ecrire les ensembles suivants sous forme symbolique, en utilisant soit des accolades, soit des crochets.
a. I est l’ensemble des réels strictement compris entre 2,1 et 10,03 b. J est l’ensemble des entiers naturels compris entre 2,1 et 10,03 c. K est l’ensemble des entiers naturels pairs compris entre 2,1 et 10,03 d. L est l’ensemble des réels inférieurs ou égaux à 25
8
e. M est l’ensemble des entiers naturels inférieurs ou égaux à 25 8
Exercice 9. Différentes manières de s’exprimer. Compléter le tableau suivant :
inégalités intervalle représentation graphique
-2 ≤ x ≤ 3
x ∈ ]-∞ ; 4]
-12 -6
x ≥ -2
x ∈ ]3 ; +∞[
Exercice 10. Choisir la bonne réponse (A, B, C ou D). On pourra s’aider d’un schéma pour répondre.
1) On considère les intervalles I = ]1 ; +∞[ et J = ]-∞ ; 3,5].
A B C D
I ∩ J [1 ; 3,5] ]-∞ ; +∞ [ ]1 ; 3,5] ∅
I ∪ J [1 ; 3,5] ]-∞ ; +∞ [ ]1 ; 3,5] [3,5 ; +∞ [
2) On considère les intervalles I = [-π ; π] et J = [-3,2 ; 3,1].
A B C D
I ∩ J [-3,2 ; 3,1] [-π ; π] [-3,2 ; π] [-π ; 3,1]
I ∪ J [-3,2 ; 3,1] [-π ; π] [-3,2 ; π] [-π ; 3,1]
Exercice 11. QCM
1) Lesquels sont entre –3 et –2 ? a. –2,5 b. –3,5 c. –1,5 d. –2,6 e. –3,01
2) Si N est négatif, alors : a. N < –N b. N > –N c. N < 0 d. N > 0 e. –(–N) < 0
