Introduction ( Pré-requis

Pré-requis

Notes de cours de Licence de Physique de A. Colin de Verdière

Introduction (assez librement inspirée des Feynman’s Tips for Physics)

L’activité réelle de la physique est de découvrir les lois de la nature et de développer des nouveautés technologiques qui pourraient avoir des applications dans l’industrie. Cette approche physique a réellement démarré autour du 8 Mai 1686 quand Isaac Newton du Trinity College de Cambridge publie ses Principia. Il donne l’objectif de la philosophie¹ : … for the whole burden of philosophy seems to consist in this – from the phenomea of motions to investigate the forces of nature, and then from these forces of nature to demonstrate the other phenomena …

La mécanique de Newton (dite classique) a bien sur des limites d’application à la fois sur la vitesse des objets et sur leur taille.

Les vitesses doivent être petites devant la vitesse de la lumière (3 10⁸ m^-1) et la taille des objets doit être bien supérieure au rayon atomique (10^-10m). Deux autres grandes branches de la mécanique sont apparues au 20 eme siècle pour inventer la théorie de la relativité lorsque la vitesse s’approche de la vitesse de la lumière et la mécanique quantique pour les objets d’

échelle sous-atomique, efforts réalisés par Einstein d’une part et Schrodinger-Heisenberg- Dirac (et bien d’autres) d’autre part.

Les applications de la mécanique de Newton pour les objets macroscopiques suffisamment lents présentes dans les activités humaines sont énormes. Ca a commencé par la trajectoire de la pomme et des planètes mais c’est présent aujourd’hui dans le Sport, les Transports (du vélo aux fusées), l’Architecture (il ne faut pas que ca bouge !), la Musique (eh oui), les Fluides, l’Océan, l’Atmosphère (donc l’évolution du climat), l’intérieur de la Terre.

1 La philosophie a pris un sens différent aujourd’hui. Elle traite de questions existentielles pour lesquelles les lois n’existent pas encore que statistiquement les comportements des gens soient souvent assez semblables.

La 2 eme loi de Newton stocke les informations dont nous avons besoin pour calculer le mouvement d’un objet de façon très compacte :

Forces= masse x accélération

Les caractères gras indiquent que force et accélération sont des vecteurs alors que la masse est un scalaire. D’autre part l’accélération est la dérivée seconde par rapport au temps de la position (d’un objet) de sorte que la recherche de la position à partir des forces est rien moins que simple ! On peut se dire que le problème est réduit à des Maths, pour autant ce n’est pas des Maths ! La 2 eme loi est appliquée à des objets et les maths ne sont là que pour déduire par la logique ses conséquences. Il y a plein de façons de faire des erreurs de calcul de sorte que l’intuition de ce qui peut bien se passer joue un grand rôle pour garder un œil critique sur le résultat d’un calcul.

Le grand physicien Richard Feynmann (célèbre pour ses cours de Physique justement) avoue lui même que « résoudre des problèmes de physique » est très difficile a enseigner.

Comment déduire des choses nouvelles à partir de choses anciennes ? En fait cette science a un avantage considérable sur d’autres en ce sens que toutes les déductions ont pour origine la 2 eme loi (aux restrictions près ci dessus). Cette avantage n’existe pas en biologie par exemple, où les lois sont essentiellement inconnues. Feynman avoue que la seule façon d’apprendre est de résoudre personnellement de multiples exemples, une approche babylonienne (par rapport aux Grecs qui conceptualisaient et généralisaient). Ecouter les cours et les TDs ne va pas vous permettre d’apprendre à résoudre des problèmes de physique.

On va vous donner des outils mais après il faudra juste y aller avec un papier et un crayon.

Après tout vous savez déjà que l’on n’apprend pas le piano en se bornant à écouter de la musique.

Il va falloir faire la différence entre apprendre et comprendre. Apprendre des formules par coeur ne va pas vous aider car il faudrait mémoriser toutes les situations qui se présentent. En plus de la 2 eme loi, il va falloir quand même mémoriser quelques concepts importants comme la conservation de la quantité de mouvement, du moment cinétique, de l’énergie et les hypothèses qui sont derrière. Il va falloir aussi mémoriser un peu de Maths (voir plus loin).

Comprendre, ça va vouloir dire être capable de résumer en parlant pourquoi le système étudié se comporte ainsi, de confirmer ou d’infirmer l’intuition initiale. Ca implique un effort pour expliquer la situation physique en jeu en se détachant des formules mathématiques. Mais le gain permet de comprendre d’un coup que tout un tas de problèmes sont similaires.

Vous avez vu en Terminales que la position verticale x(t) d’un objet (avec un axe x vers le bas) d’une craie lancée avec une vitesse verticale v0 en x=0 s’écrit :

x = ½ g t² + v0 t

Si v0<0, au début la craie monte mais la gravité vers le bas prends le dessus et au bout d’un peu de temps, la craie a des vitesses vers le bas qui augmentent comme t. On s’aperçoit que l’on va se prendre la craie sur la figure et ce n’est pas un problème très intéressant en pratique ! Ca ne sert à rien de mémoriser cette formule car elle est très facile à retrouver à partir de la 2 eme loi (faites le). Une application plus intéressante concerne le saut en hauteur.

Comment la hauteur maximale dépend t’elle de v0 linéairement, quadratiquement, ou autre?

Intuitivement on dirait linéairement, si je cours deux fois plus vite je saute deux fois plus haut mais c’est faux. En fait je vais sauter quatre fois plus haut…

Vecteurs Définition

Le vecteur que l’on rencontre immédiatement est le vecteur position. La distance d=AB est un élément pour savoir aller de A à B mais c’est insuffisant car les points possibles sont sur un cercle de centre A et de rayon d. On a aussi besoin de la direction dans laquelle aller. Pour ca on choisit une direction arbitraire comme référence (en rouge) et l’angle φ entre la droite AB et la droite de référence nous donne cette direction. Le vecteur en bleu à droite est entièrement défini dans l’espace par sa longueur d et sa direction, l’angle φ. Si on le déplace par translation dans l’espace, il garde la même longueur et la même orientation, c’est donc le même vecteur. On dit que les vecteurs sont invariants par translation. Ca nous permet de les déplacer comme on veut par translation. Les vecteurs mauve et vert sont identiques au vecteur bleu. On les représente par des symboles surmontés d’une flèche ou soulignés par un tiret ou encore en caractère gras (le choix ici). Le vecteur ci dessus s’écrira :

a = AB

En Physique il y a aussi pas mal de quantités qui n’ont pas de direction, la masse, le temps, l’énergie par exemple. On les appelle des scalaires pour les différencier des vecteurs.

Addition des vecteurs

La propriété la plus importante des vecteurs est l’addition. Imaginons que nous allions de A à B puis de B à C par deux déplacements successifs représentés par les vecteurs en noir. On peut aller aussi directement de A à C avec le vecteur rouge et c’est lui que l’on va appeler vecteur somme. On écrit :

s = a + b

On sait dessiner s soit en mettant les vecteurs à la queue leu leu soit en prenant la diagonale du parallélogramme (voir figure).

A

B

angle φ

On sait dessiner s et maintenant tout le reste consiste à trouver comment calculer s.

Imaginons que a et b soient perpendiculaires. La longueur de |a| = 3 (on dit aussi le module) et celle de |b| = 4. Le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle donne |s| = 5 ≠ |a| + |b|.

On n’additionne pas les longueurs des vecteurs pour trouver la longueur de la somme. Après on utilise les sin et cos pour trouver l’angle du vecteur rouge avec les noirs. Si les vecteurs ne sont pas perpendiculaires (ou parallèles) on est bien ennuyé. On va voir plus loin la solution très élégante de Descartes, solution qui a de fait remplacé la géométrie par le calcul et dont les 50 dernières années ont confirmé l’étonnante portée avec le développement des PC.

Propriétés

Il est assez facile de voir que la définition de la somme entraîne les propriétés suivantes : (i) commutativité : a+b = b+a

(ii) associativité : (a+b)+c = a+(b+c)

 L’ordre des opérations n’a aucune importance.

La multiplication par un scalaire : r= k a, si k>0, le vecteur r a la même direction que a mais une direction opposée si k<0. Le module est juste : |r|=|k|.|r|

A

B

C s

a

b

si k=-1 on définit le vecteur opposé –b comme le vecteur de même longueur que b mais de direction opposée. La situation est la suivante :

Cet aller-retour définit le vecteur nul : b + (-b) = 0 et nous permet de voir comment faire des soustractions. Supposons que l’on veuille trouver la différence d = a – b. Ceci se re-écrit d = a + (– b) qui est une addition que l’on sait faire :

En additionnant le vecteur bleu a et le vecteur vert –b, on trouve le vecteur différence d en rouge. Si on considère le parallélogramme construit sur a et b, on voit que la somme s est construite sur l’une des diagonales et que la différence d est construite sur l’autre diagonale.

Il faut se rappeler que la flèche de d coïncide avec la flèche de a (et pas celle de b). On s’aperçoit comme pour les nombres qu’on peut bouger un vecteur d’un coté du signe = à l’autre en changeant son signe, de sorte que : a = b + d

Les composantes d’un vecteur

Pour l’instant nous n’avons fait que dessiner mais l’introduction des composantes va nous permettre de calculer facilement la somme de deux vecteurs quelconques.

-b b

a

d b

-b

O x

y

a

O x

y

A

ax

ay

On choisit un repère orthonormé Oxy. On déplace le vecteur a en rouge jusqu'à mettre sa queue en O. Les composantes du vecteur a sont simplement les coordonnées (ax, ay) du point A, l’extrémité de la flèche du vecteur a. On peut maintenant définir deux vecteurs unitaires i selon Ox de composantes (1,0) et j selon Oy de composantes (0,1) en vert sur la figure.

On voit tout de suite d’après les règles précédentes que : a = ax i +ay j

On dit que i et j forment une base du plan. N’importe quel vecteur du plan s’écrit sous cette forme et la décomposition en composantes (ax, ay) est unique. L’expression ci dessus est une combinaison linéaire des deux vecteurs i et j et elle est unique. On va alors écrire pour se simplifier l’écriture que :

!

a = a_x a_y

"

# $ %

&

'

un vecteur est défini par deux nombres dans le plan. La généralisation dans l’espace implique la prise en compte de 3 nombres.

Le lien entre composantes et géométrie

La figure suivante précise le lien entre géométrie et composantes : j

i ax i

ay j a

ax

ay

a θ

Sur la figure ax et ay apparaissent ainsi comme les projections orthogonales de a sur les axes Ox et Oy respectivement. On a alors dans le triangle rectangle :

ax = |a| cos θ ay = |a| sin θ et donc :

!

|a| = (a_x²+a_y²)^{1/ 2} tan θ = ay/ax

Ces relations permettent de passer de la longueur et de l’orientation d’un vecteur aux composantes et réciproquement.

L’addition des vecteurs via les composantes

A nouveau un dessin permet de trouver la relation cherchée.

Si s = a + b, on voit immédiatement que la composante selon x de s est juste la somme des composantes ax de a et bx de b. C’est évidemment pareil sur Oy. De sorte qu’on peut écrire la somme de deux vecteurs comme la somme des composantes :

!

s_x s_y

"

# $ %

&

' = a_x+b_x

a_y+b_y

"

# $ %

&

'

Si ouvrez les Principia, vous verrez que l’approche de Newton est essentiellement géométrique et on est très handicapé aujourd’hui pour suivre ses raisonnements. On peut dire que cette introduction si simple des composantes par Descartes est une des clés qui a débloqué la mécanique de l’emprise de la géométrie et ouvert la voie au calcul direct.

a b

s

Les vecteurs et les lois de la Physique

Un vecteur va désigner une force, un déplacement, une vitesse et est donc quelque chose de bien défini dans l’espace. En revanche le choix du repère Oxy est lui complètement arbitraire de sorte que si on change de repère, les composantes du vecteur vont changer. Les composantes changent mais le vecteur reste le même. C’est la raison profonde pour laquelle on écrit les lois de la mécanique sous forme vectorielle car sous cette forme elles sont indépendantes du choix des repères. Evidemment pour calculer on sera obligé de projeter les équations sur les axes d’un repère. Mais on a une complète liberté sur le choix du repère pour se simplifier au maximum le reste du travail.

Le produit scalaire

Il existe deux façons de multiplier des vecteurs. La première est le produit scalaire. Pour deux vecteurs a et b le produit scalaire est défini comme :

a.b=|a| |b| cos φ

où φ est l’angle entre a et b. On l’appelle scalaire car c’est un nombre.

Mais en regardant le dessin ci dessus, la projection de b sur a est b cos φ est de sorte qu’on peut aussi écrire :

a . b = a . projection (b sur a) mais évidemment aussi : a . b = b . projection (a sur b).

On voit tout de suite que le produit scalaire est nul si les deux vecteurs sont perpendiculaires.

Il permet également d’écrire les composantes d’un vecteur en fonction d’un produit scalaire avec les vecteurs unitaires : ax = a . i et ay = a . j

Autres propriétés :

(i) commutativité : a . b = b . a

(ii) distributivité par rapport à l’addition : a . (b + c) = a . b + b . c

Cette dernière relation permet d’exprimer le produit scalaire avec les composantes des vecteurs :

a . b = (ax i +ay j).( bx i +by j) soit en développant :

a . b = axbx + ayby en utilisant le fait que i et j ont un module unité et sont perpendiculaires. Si on connaît les vecteurs par leurs composantes, on peut ainsi utiliser le produit scalaire pour trouver l’angle entre deux vecteurs.

a b

φ

Mécanique Physique (S2) 1ère partie – page 9

Il existe un autre produit entre deux vecteurs, le produit vectoriel. On en besoin en physique pour discuter des mouvements de rotations d’un objet. Maintenant si l’orientation d’un objet dans l’espace n’a l’air d’avoir aucune importance dans le problème qu’on se pose, on peut s’en passer pour l’instant.

Dérivées Définition

On a dessiné en vert la tangente à la courbe d’équation y=f(x) au point P (x0, y0) où y0=f(x0).

L’équation de cette tangente est de la forme :

y-y0=m(x-x0)

La droite passe par P et m qui est la pente de la tangente désigne la dérivée de la fonction en x0. Comment la calculer ?

Soient P et Q deux points de la courbe (la droite sécante PQ est indiquée en rouge sur la figure). ∆x est l’accroissement de x et ∆y l’accroissement de y qui est aussi ∆f. La pente de cette sécante PQ est donc ∆f / ∆x et lorsque Q tend vers P tout en gardant P fixe, cette pente tend vers m :

!

m=lim_"x#0 "f

"x Mais comme ∆f=f(x0+∆x)-f(x0), on peut aussi écrire :

!

m=f'(x₀)=lim_"x#0f(x₀+"x)$f(x₀)

"x qui donne la définition de la dérivée de f en x0. On l’écrit f’(x0).

Au voisinage du point P la variation de f est à peu près : ∆f ≈ f’(x0) ∆x. Si on appelle dx la limite infinitésimale lorsque ∆x tend vers 0, ceci devient une égalité df = f’(x0) dx. Dans la notation de Leibniz la dérivée s’écrit aussi:

f'(x₀)= df dx

x0 x0+∆x

y0

y0+∆y

P

Q

le rapport de deux quantités infinitésimales, une notation très utile car elle permet de manipuler des infinitésimaux comme des nombres ordinaires.

Exemple : f(x)=x²

!

"f

"x =(x₀+ "x)²#x²

"x =2x₀+ "x et lorsque ∆x0, la dérivée en x0 est juste 2x0.

On voit bien que le calcul direct des dérivées reste lourd et ça vaut le coup d’apprendre par cœur quelques dérivées (on peut apprendre des maths par cœur comme les tables de multiplication mais pas de la physique !).

Tableau des dérivées

fonction f(x) dérivée f’(x)

u(x) + v(x) u’ +v’

c u(x), c=cste c u’

xⁿ , n est un réel (pas seulement un entier) n x^n-1 1/x (n=-1, dans la ligne ci dessus) -1/x²

√x (n=1/2, 2 lignes au dessus) 1/2√x

[f(u(x))], fonction composée (df/du).du/dx = f’(u) u’(x) uⁿ avec u fonction de x : u(x) n u^n-1 u’

ln(x) 1/x

ln(u) u’/u

e^x e^x

e^u u’e^u

uv avec u(x) et v(x) u’v+uv’

u/v (u’v-uv’)/v²

cos(x) -sin(x)

sin(x) cos(x)

Primitive

!

f(x) dx

" fonction f(x)

Remarque :

Ce tableau peut évidemment se lire aussi de droite à gauche (avec la primitive à gauche de la fonction à droite)- voir ci dessous.

Intégrales Définition

Le but du jeu ici est de calculer l’aire sous la courbe comprise entre les droites x=a et x=b et l’axe x (y=0). Cette aire donne l’intégrale définie entre la limite basse x=a et la limite haute x=b :

!

I= f(x)dx

a b

"

et f(x) est ici ce qu’on appelle l’intégrand. Pour calculer cette aire on procede en 3 etapes : (i) on divise l’aire en petits rectangles

(ii) on additionne les petits rectangles

(iii) on cherche la limite du résultat quand la largeur des rectangles tend vers 0.

a b

Ici j’ai dessiné les rectangles en prenant la valeur de f(x) a droite de l’intervalle, mais on aurait pu prendre la valeur a gauche ou n’importe quelle valeur intermediaire. On forme alors la somme de Riemann :

!

S= f(x_i

i=1 n

" )#x

Ensuite on fait tendre la largeur ∆x des rectangles vers 0 (n∞). Si S tend vers une limite unique I celle ci définit l’intégrale cherchée. L’existence de cette limite est garantie pour un intervalle [a b] fini et la continuité de la fonction f.

Exemple : f(x)=x² et

!

I= x²

0 b

" dx. On définit n rectangles de base b/n et de hauteur (b/n)², (2b/n)², … (nb/n)². Ici on a pris la valeur de f(x) a droite. On voit que :

!

S_n =b n

b n

"

# $ %

&

'

2

+ 2b n

"

# $ %

&

'

2

+... nb n

"

# $ %

&

' ( 2

)

* *

+ , - -

S_n = b n

"

# $ %

&

'

3

1+2²+3²+...+n²

[ ]

mais i²

i=1 n

. =1

6n(n+1)(2n+1) S_n =b³

6 (1+1 n)(2+1

n) I=lim_n/0S_n =b³

3

Faut il passer par ces sommes de Riemann pour calculer les intégrales ? Heureusement non ! Théorème n^o 1 du calcul différentiel

!

Si F'=f, alors f(x)dx=F(b)"F(a)

a b

#

Un résultat exceptionnel car si on revient à notre exemple précédent, f(x)=x², alors F(x)=x³/3 et

!

x²

0 b

" dx=b³/3, une vraiment belle économie ! Sa preuve est donnée plus loin.

Primitives (ou encore intégrale indéfinie) L’intégrale indéfinie est

!

G(x)="g(x)dx avec G'=g. Cette définition donne G à une constante près.

Exemple : "x^adx= x^a+1

a+1+C, avec a# $1

Autre chose : Si deux dérivées sont égales F’=G’ alors F=G+C, les fonctions diffèrent par une constante arbitraire. On peut calculer les primitives en se servant du tableau des dérivées précédent mais il existe deux autres méthodes que nous ne détaillerons pas ici, le changement

de variable et l’intégration par parties qui permettent de calculer bien d’autres primitives de fonctions qui ne sont pas dans le tableau. Notez qu’ il existe des primitives qui donnent aussi lieu à des fonctions qui n’existaient pas auparavant. De nouvelles fonctions apparaissent comme le log par exemple :

Exemple le cas précédent avec a=-1 :

!

dx

" x =ln(x)+C Théorème n^o 2 du calcul différentiel

Si f(x) est continue et

!

G(x)= f(t)dt avec a<t<x alors G'=f(x)

a x

"

De fait G est la solution de l’équation différentielle y’=f(x) avec la condition au limite y(a)=0.

Preuve du théorème 2 :

G(x) est l’aire sous la courbe bleue d’équation y=f(x) comprise entre a et x. Le changement d’aire lorsque x passe de x à x+∆x est juste : ∆G≈f(x)∆x soit quand ∆x 0 : G’=f

Ceci permet d’apporter une preuve du théorème 1 lorsque f est continue (le cas habituel en physique car la nature a horreur du vide). Rappelons que le point de départ est F’=f et appelons à nouveau

!

G(x)= f(t)dt

a x

" . Par le théorème 2 on sait que G’=f mais alors G’=F’ ce

qui entraîne F(x) = G(x) + C.

Alors :

F(b)-F(a) = G(b)+C-[G(a)+C] = G(b)-G(a) =

!

f(t)dt

a b

" et le tour est joué !

Conclusion

Ces notes ont été écrites dans l’esprit d’un kit de survie. C’est le minimum nécessaire pour survivre à un cours d’introduction de Physique même si vous ne continuez pas dans cette voie. Pour mettre en perspective, rappelons qu’il a quand même fallu 3000 ans pour en rassembler les éléments et on peut donc y passer un peu de temps.

Armé de ce kit et de la 2 eme loi de Newton, on peut vraiment explorer un très grand territoire.

a x x+∆x

G(x) )