UE2-2 - Statistiques et Analyse de Données 2
Fascicule d’exercices
pour les séances de travaux dirigés
Table des matières
Présentation et déroulement de l’enseignement 1
Thème 1 - Lois de probabilité, événements et probabilités conditionnelles 3
Événements . . . 3
Règles de calculs sur les probabilités . . . 3
Manipulations simples avec contexte . . . 3
Un peu de dénombrement pour calculer des probabilités . . . 3
Probabilités conditionnelles . . . 5
Indépendance d’événements . . . 7
Thème 2 - Variables aléatoires discrètes 9 Variable aléatoire - généralités . . . 9
Variable aléatoire définie à partir d’une autre . . . 10
Lois usuelles . . . 10
Variables aléatoires - divers . . . 12
Lien entre variables aléatoires discrètes . . . 13
Thème 3 - Variables aléatoires à densité 14 Variable aléatoire à densité - généralités . . . 14
Loi uniforme . . . 14
Loi exponentielle . . . 15
Thème 4 - Loi normale 16 Une seule loi normale . . . 16
Plusieurs lois normales indépendantes . . . 16
Approximation par une loi normale . . . 17
L1S2 - UE2-2 - Statistiques et Analyse de Données 2
Chargés de travaux dirigés :
Franck Piller : • E-mail : franck.piller@univ-tours.fr
• Bureau B246 (bâtiment B)
Julie Scholler : • E-mail : julie.scholler@univ-tours.fr
• Bureau B246 (bâtiment B) Objectifs :
• Favoriser l’esprit critique face à des données chiffrées issues des probabilités ;
• Mettre en place le formalisme propre aux probabilités ;
• Assimiler les concepts de variable aléatoire, d’espérance et de variance ;
• Savoir manipuler la loi normale pour calculer des probabilités, en particulier dans le cas d’approximation ;
• Maîtriser les outils de probabilités utiles à la compréhension et à la bonne utilisation des méthodes de statistiques inférentielles qui seront présentées en deuxième année.
Plan de cours :
• Introduction aux probabilités :
vocabulaire, règles de calculs, probabilités conditionnelles et indépendance.
• Variables aléatoires discrètes :
loi, espérance, variance, lien entre deux variables aléatoires, lois usuelles : Bernoulli, binomiale, uniforme, Poisson.
• Variables aléatoires à densité :
vocabulaire, espérance, variance, lois usuelles : uniforme et normale.
• Théorèmes limites et approximations :
loi des grands nombres, théorème de la limite centrée : approximation d’une loi binomiale par une loi normale, intervalle de fluctuation.
Approche pédagogique :
• 9 séances de cours magistraux de 2h ;
• 9 séances de travaux dirigés de 2h.
Les cours magistraux ont lieu le mercredi à 8h. Le mercredi 21 février, le cours magistral est remplacé par une évaluation en amphi.
Les séances de travaux dirigés commencent la semaine du 22 janvier.
Support pédagogique :
Un polycopié de cours et le fascicule de TD sont en ligne sur Celene ainsi que l’éventuel contenu projeté en CM, des annales et de futurs corrections partielles des exercices de TD.
Modalités d'évaluation :
• Session 1 : contrôle continu (coefficient 1/2) et examen terminal (coefficient 1/2) ;
• Session 2 : écrit.
Pour le contrôle continu, il y aura un contrôle écrit en amphi mercredi 21 février à 8h comptant pour la moitié de la note du contrôle continu.
Le reste de la note de contrôle continu sera constituée de l’évaluation de travaux en TD (deux travaux comptant chacun pour 20% de la note de CC) et de QCM en ligne (comptant pour 10% de la note de CC).
L’examen terminal est un écrit.
Présence :
La présence en TD est obligatoire. Deux absences sont tolérées, au-delà la validation de l’enseignement est compromise par un éventuel zéro en contrôle continu ou une mention ABI (absence injustifiée) entraînant la mention « défaillant ».
Dans tous les cas, vous devez présenter un justificatif ou une justification au chargé de TD dans les 8 jours.
Une absence non justifiée à un TD contenant une évaluation entraîne un zéro à cette évaluation.
Bibliographie :
Il s’agit de lectures complémentaires au cours et travaux dirigés :
• Statistiques et probabilités, Fredon Daniel, 519 FRE ;
• Statistique pour économistes et gestionnaires, Tribout Brigitte, 519.5 TRI ;
• Statistiques et probabilité en économie-gestion, Hurlin et Mignon (519 HUR) ;
• Lethellieux Maurice (519 LET), Probabilités - Estimation statistique en 24 fiches et Exercices de statistiques et probabilités.
Thème 1 - Lois de probabilité, événements et probabilités conditionnelles
Événements
Exercice 1.
On considère l’ensemble des couples hétérosexuels mariés ou pacsés d’une ville. On s’intéresse aux événements suivants :
• A: « la femme a plus de trente ans » ;
• B : « le mari a plus de trente ans » ;
• C : « le mari est plus jeune que la femme ».
1. Exprimer en fonction deA,B etC l’événement
« la femme a plus de trente ans mais non son mari ».
2. Décrire en langage ordinaire les événements A∩B∩C etA∪C.
Exercice 2.
On considère trois événementsE, F et Gdu même univers Ω.
Exprimer les événements suivants à l’aide deE,F etG:
1. seulE est réalisé parmi les trois ; 2. E etG sont réalisés mais pasF; 3. au moins l’un des trois est réalisé ; 4. les trois sont réalisés ;
5. aucun n’est réalisé ;
6. exactement deux des trois sont réalisés ; 7. au moins deux d’entre eux sont réalisés ; 8. au plus deux d’entre eux sont réalisés.
Règles de calculs sur les probabilités
Exercice 3.
SoientA etB deux événements tels queP(A) = 0.6, P(B) = 0.3 et P(A∩B) = 0.1.
1. Quelle est la probabilité queA etB se réalisent simultanément ? 2. Calculer la probabilité que Aou B se réalise.
3. Calculer la probabilité que niA, niB ne se réalisent.
Exercice 4.
SoientA etB deux événements tels queP(A) = 0.7 et P(B) = 0.4.Est-ce que AetB sont incompatibles ? Exercice 5.
SoientA,B etC trois événements tels que :
P(A) = 0.6, P(A∩B) = 0.2, P(B∩C) = 0.1,P(A∩C) = 0.1 et P(A∩B∩C) = 0.05.
1. CalculerP(A∪(B∩C)) etP(A∩(B∪C)).
2. On suppose queP(B) = 0.4. Calculer P(A∩B).
Manipulations simples avec contexte
Exercice 6.
Dans un groupe de 100 personnes, on a dénombré 45 personnes possédant une tablette, 40 possédant un ordinateur portable et 25 possédant une tablette et un ordinateur portable.
On choisit au hasard une personne dans ce groupe. Quelle est la probabilité pour que la personne choisie possède au moins un des objets : tablette ou ordinateur portable ?
Exercice 7.
Dans une population, 45% des individus sont vaccinés contre la fièvre jaunes, 60% sont vaccinés contre la diphtérie, et 30% sont vaccinés contre les deux maladies.
Quelle est la probabilité, pour un individu pris au hasard, de n’être vacciné contre aucune de ces deux maladies ?
Un peu de dénombrement pour calculer des probabilités
Exercice 8.
Une association constituée de 9 étudiants et 6 étudiantes souhaite constituée un bureau de trois personnes.
1. Quel est le nombre de bureaux possibles ?
2. En choisissant un bureau au hasard, quelle est la probabilité qu’il ne soit composé que d’étudiantes ? 3. En choisissant un bureau au hasard, quelle est la probabilité qu’il soit composé de deux étudiants et une
étudiante ? Exercice 9.
En première année de licence d’économie, la chargée du cours de Statistique décide de décerner trois prix à la fin du semestre : prix d’excellence, de travail et de politesse. Elle se laisse la possibilité de décerner plus d’un prix par étudiant. La promotion est constituée de 200 étudiants.
1. Quel est le nombre de façons différentes de décerner les trois prix ?
2. En choisissant au hasard une façon de décerner les prix, quelle est la probabilité que ce soit trois étudiants différents à qui soient décernés les prix ?
3. En choisissant au hasard une façon de décerner les prix, quelle est la probabilité qu’un étudiant reçoive les trois prix ?
Exercice 10.
Dans un lot de 20 yaourts, il y en 3 qui ont dépassé la date de péremption. On extrait au hasard et simultanément 4 yaourts.
Quelle est la probabilité qu’un seul des yaourts choisis ait dépassé la date de péremption ? Exercice 11.
Un étang contient 10 poissons : 7 gardons et 3 carpes. L’eau est suffisamment trouble pour qu’on ne puisse voir l’espèce d’un poisson avant de l’avoir sorti de l’eau. On extrait au hasard successivement et avec remise 2 poissons.
Calculer la probabilité d’obtenir 2 poissons d’espèces différentes.
Exercice 12.
1. Combien y a-t-il de façon de ranger 3 livres de mathématiques à la suite sur une étagère ?
2. Sur une étagère, on place au hasard 3 livres de mathématiques, 4 livres d’économie et 2 livres d’anglais.
(a) Combien y a-t-il de possibilités de rangements tels que les livres de chaque spécialité sont regroupés ensembles ?
(b) Quelle est la probabilité que les livres de chacune des trois spécialités soient regroupés ? Exercice 13.
Une société impose l’anglais comme langue interne à toutes ses filiales. Le siège social, situé à Bruxelles, emploiepFlamands et q Wallons. Chaque matin, les employés se saluent deux par deux :
• en français lorsque les deux sont wallons ;
• en néerlandais lorsque les deux sont flamands ;
• en anglais lorsqu’il y a un Flamand et un Wallon.
1. Combien y a-t-il d’échanges en français ? 2. En déduire la relation p+q
2
!
= p
2
!
+pq+ q 2
! .
Exercice 14.
Aurélie et Nicolas jouent aux dés. Ils lancent chacun un dé et observent les chiffres sortis.
• Si la somme des dés vaut 7 ou le produit 6, Aurélie gagne.
• Si la somme des dés vaut 6 ou le produit 4, c’est Nicolas qui gagne.
• Sinon ils recommencent.
Sur qui parierez-vous ?
Probabilités conditionnelles
Exercice 15.
Dans une certaine population, il y a 45% de fumeurs et 35% de personnes atteintes de bronchite.
Sachant que parmi les fumeurs il y a 65% personnes atteintes de bronchites, calculer la probabilité pour qu’une personne atteinte de bronchite soit fumeur.
Exercice 16.
Dans un magasin d’informatique, 30% des ordinateurs en stock sont des ordinateurs portables et 70% sont des ordinateurs de bureau. 5% des ordinateurs portables sont en solde, tandis que 10% des ordinateurs de bureau sont en solde.
Si on choisit un ordinateur au hasard dans la boutique, quelle est la probabilité qu’il soit en solde (utiliser en arbre) ?
Exercice 17.
Un sondage effectué dans une région à propos de la construction d’un barrage donne les résultats suivants.
• 65% des personnes interrogées sont contre la construction de ce barrage.
• Parmi les personnes qui sont contre 70% sont des écologistes.
• Parmi les personnes favorables à la construction 20% sont écologistes.
On noteC l’événement : « la personne interrogée est contre la construction » et E l’événement « la personne interrogée est écologiste ».
1. Effectuer un arbre pondéré représentant la situation.
2. Déterminer P(C∩E) et P
C∩E. En déduire la probabilité pour qu’une personne interrogée soit écologiste.
3. On interroge une personne écologiste. Calculer la probabilité pour qu’elle soit contre la construction du barrage.
Exercice 18.
Une enquête est réalisée auprès d’une population de chômeurs de 25 à 64 ans, comportant autant d’hommes que de femmes. Parmi cette population :
• 43% sont arrivés en fin d’emploi à durée limitée ;
• 27% ont été licenciés ;
• 9% ont démissionné.
Parmi les femmes, 22.5% sont au chômage à la suite d’un licenciement, 11.3% après avoir démissionné et 45% après la fin d’un emploi à durée limitée.
1. Construire un tableau à double entrée représentant la situation.
2. On interroge une personne au chômage. Calculer la probabilité que ce soit une femme licenciée.
3. On interroge une personne au chômage ayant démissionné. Calculer la probabilité que ce soit une femme.
4. On interroge une personne au chômage arrivée en fin d’emploi à durée déterminée. Calculer la probabilité que ce soit un homme.
Exercice 19.
Les enseignants de mathématiques ne se trompent que dans 5% des cas et ceux qui ne sont pas enseignants de mathématiques se trompent dans 30% des cas. Un nouvel étudiant (ne connaissant pas les enseignants)
arrive à la faculté. Perdu il pose une question au premier enseignant croisé par hasard. Il se trouve que l’information fournie s’avère fausse.
On posem la proportion d’enseignants de mathématiques à la faculté.
1. Quelle est, en fonction dem, la probabilité que l’enseignant croisé soit un prof de maths ?
2. La proportion d’enseignant de mathématiques est de 20%. Quelle est, dans ce cadre, la probabilité que l’enseignant croisé soit un prof de maths ?
3. À partir de quelle proportion d’enseignants de mathématiques, la probabilité de la question 1 est supérieure à 60% ?
Exercice 20.
Un test a été mis au point pour le dépistage d’une maladie. Le laboratoire fabricant le test fournit les caractéristiques suivantes :
• la probabilité qu’un individu atteint par la maladie présente un test positif est 0.99 ;
• la probabilité qu’un individu non atteint par la maladie présente un test négatif est de 0.98.
On s’intéresse à une population « cible » dans laquelle on procède à un test de dépistage systématique. Un individu est choisi au au hasard dans la population cible.
On note M l’événement « l’individu choisi est malade » etT l’événement « le test de l’individu choisi est positif » et on posep=P(M).
1. Interpréter les quantités 0.99 et 0.98, données en hypothèses, en termes de probabilités conditionnelles.
2. ExprimerPT (M) en fonction dep.
3. Étude dePT(M) en fonction de p.
• On suppose que la population cible possède les symptômes de la maladie et quep= 0.7. Calculer la probabilité de PT (M).
• On suppose à présent que la maladie étudiée est rare : p= 0.005. Calculer la probabilité dePT(M).
• Le laboratoire décide de commercialiser le test siPT (M)>0.95, pour quelle valeur deple test est-il commercialisé ?
Exercice 21.
Une épidémie de grippe touche le quart d’une population. Le tiers de cette population est vacciné contre la grippe et on estime qu’un malade grippé sur dix est vacciné (les vaccins n’étant pas efficaces à 100%).
Marion affirme : « En étant vacciné, le risque d’être grippé est inférieur à un dixième ». Est-ce exact ?
Exercice 22.
À un carrefour, une étude statistique sur un feu tricolore montre que
• si le feu est vert, il y a 99% de chances que l’automobiliste passe ;
• si le feu est orange, il y a 30% de chances que l’automobiliste passe ;
• si le feu est rouge, il y a 1% de chances que l’automobiliste passe.
Le cycle du feu tricolore dure une minute répartie comme suit : le feu vert dure 25 secondes, l’orange 5 secondes et le rouge 30 secondes.
Calculer la probabilité qu’un automobiliste passe sans s’arrêter au feu tricolore.
Exercice 23 (plus dur).
On dispose de 10 pièces de monnaies numérotées de 1 à 10 telles que, pour tout entierk entre 1 et 10, lake pièce amènepile avec la probabilité k
10. On prend au hasard une pièce, on la lance et on obtient face. Quelle est la probabilité d’avoir lancé la pièce numéro 5 ?
Exercice 24.
À l’aide d’une pièce équilibrée, on déplace un jeton d’un point à un autre du quadrillage ci-contre de la façon suivante :
• la position initiale est enO;
• si pile sort, on déplace le jeton d’une case vers la droite ;
• si face sort, on déplace le jeton d’une cases vers le haut.
On procède selon cette règle pour quatre déplacements successifs du jeton.
1. Déterminer le nombre de trajets possibles.
2. Quelle est la probabilité pour que le jeton arrive enA? enB? enI? 3. Calculer la probabilité que le jeton arrive enI sachant qu’il est passé par J.
4. Calculer la probabilité, pour un jeton arrivé en I, qu’il soit passé par C. • O B•
C• J•
•I
A•
Exercice 25.
La fédération française de cardiologie affiche l’information ci-dessous dans une campagne de presse.
1. Pourquoi l’information donnée permet-elle de penser que fumer augmente le risque d’infarctus ?
2. On prélève au hasard une personne dans la population des moins de 45 ans. On noteI l’événement « la personne prélevée a été victime d’un infarctus » etF l’événement « la personne prélevée est fumeuse ».
(a) Quelle est des deux égalités suivantes, celle qui traduit le fait que « 80 % des victimes d’infarctus avant 45 ans sont des fumeurs » :PF(I) = 0.8 ou PI(F) = 0.8 ?
(b) Calculer la probabilitéPI
F.
3. On peut estimer qu’en France, parmi les moins de 45 ans, il y a environ 40 % de fumeurs.
(a) Quelle probabilité peut s’interpréter comme le risque d’in- farctus pour un fumeur parmi les deux suivantesPI(F) ou PF(I) ?
(b) Montrer quePF(I) = 2P(I).
(c) Montrer que le risque d’infarctus est six fois plus élevé chez les fumeurs de moins de 45 ans que chez les non-fumeurs de moins de 45 ans.
Indépendance d'événements
Exercice 26.
SoientA etB deux événements tels queP(A) = 0.2 et P(A∪B) = 0.5 1. On suppose queA etB sont incompatibles. CalculerP(B).
2. On suppose queA etB sont indépendants. Calculer P(B).
Exercice 27.
On considère deux groupes d’étudiantsG1 etG2. La probabilité qu’un étudiant choisi au hasard dansG1 soit une fille est 0.3. La probabilité qu’un étudiant choisi au hasard dans G2 soit une fille est de 0.4.
Si l’on choisit au hasard un étudiant dans chacun des deux groupes, quelle est la probabilité de choisir deux filles ?
Exercice 28.
Arnold et Maud ont décidé de partir en croisière ensemble au départ de Miami mais ils n’habitent pas au même endroit (Londres et Paris). Ils ont chacun réservé un vol arrivant à Miami environ 1h30 avant le départ du bateau. Leur agent de voyage leur a annoncé que le vol d’Arnold a 80% de chance d’arriver de telle façon qu’il puisse rejoindre son bateau et celui de Maud 90%.
1. Pensez-vous que le fait que l’avion d’Arnold soit à l’heure et que celui de Maud soit à l’heure sont deux événements indépendants ?
2. Que ce soit réaliste ou non, on suppose que ces événements sont indépendants. Quelle est la probabilité qu’Arnold et Maud arrivent tous les deux à l’heure pour leur croisière ?
3. Quelle est la probabilité qu’un des deux fasse la croisière tout seul ? Exercice 29.
On lance 2 dés cubiques équilibrés. On s’intéresse aux numéros affichés. On considère les événements suivants :
• A: « le numéro du premier dé est impair » ;
• B : « le numéro du deuxième dé est impair » ;
• C : « la somme des deux numéros est impaire ».
1. Est-ce queA,B etC sont indépendants deux à deux ? 2. Est-ce queA,B etC sont mutuellement indépendants ?
Thème 2 - Variables aléatoires discrètes
Variable aléatoire - généralités
Exercice 30.
Soita un réel.
On considère le lancer d’un dé pipé dont la loi est donnée par le tableau suivant :
k 1 2 3 4 5 6
P(X=k) a 2a 3a 3a 2a a 1. À quelle(s) condition(s) surace tableau définit une loi de probabilité ? 2. Calculer l’espérance et la variance deX.
Exercice 31.
SoitX une variable aléatoire telle queX(Ω) ={3,4,5,6} et P(X = 3) =P(X= 4), P(X <5) = 1
3,etP(X >5) = 1 2. 1. Déterminer la loi deX.
2. Représenter graphiquement la loi de probabilité deX.
3. Représenter graphiquement la fonction de répartition deX.
Exercice 32.
SoitX la variable aléatoire dont la fonction de répartition est représentée ci-dessous :
−1 0 1 2 3 4 0.25
0.5 0.75 1
x p
Calculer l’espérance et la variance deX.
Exercice 33.
À la roulette on peut miser sur un numéro de 0 à 36. Si le numéro misé sort, le joueur récupère sa mise plus 35 fois celle-ci ; sinon il perd sa mise.
Marc mise 10 euros sur le 15. On noteGla variable aléatoire donnant le gain algébrique de Marc.
1. Quelles sont les valeurs prises par G ? Donner la loi de G.
2. Calculer l’espérance deG. Le jeu est-il équitable ? Calculer la variance de G.
3. Exprimer l’espérance pour une misex quelconque. Commenter.
4. Quelle doit être la règle du gain pour que le jeu soit équitable ?
Exercice 34.
Caroline souhaite proposer un jeu de dés à Lise : elle lui propose de lancer deux dés cubiques équilibrés.
1. Jeu initial.
• Si les deux dés affichent le même numéro, alors elle perd 10 euros.
• Si les deux dés affichent deux numéros de parités différentes, elle perd 5 euros.
• Dans les autres cas, il gagne 15 euros.
SoitX la variable aléatoire représentant l’argent qu’il lui reste après avoir joué.
(a) Déterminer la loi deX.
(b) Lise devrait-elle accepter de participer au jeu ?
2. Recherche d’un jeu équilibré. Soientx etα deux réels strictement positifs.
• Si les deux dés affichent le même numéro, alors elle perd 2x euros.
• Si les deux dés affichent deux numéros de parités différentes, elle perdx euros.
• Dans les autres cas, il gagne αxeuros.
Déterminer la valeur deα afin que le jeu soit équilibré pour toute valeur de x.
Variable aléatoire définie à partir d'une autre
Exercice 35.
Soientp∈]0 ; 1[ etX une variable aléatoire dont la loi est donnée par : P(X=−1) = p
2,P(X= 0) = 1−p etP(X = 1) = p
2.Déterminer la loi deX2. Exercice 36.
SoitX une variable aléatoire définie par :P(X=−1) = 1
2,P(X = 0) =P(X= 1) = 1
8 etP(X = 2) = 1 4. 1. CalculerP(|X|= 1) etP(X2−3X+ 2 = 0).
2. CalculerE(X), V(X) et σX. 3. CalculerE
X 2 +X
. 4. On poseY = X+ 1
2 .
(a) Exprimer l’espérance de Y en fonction de celle de X.
(b) En déduire la valeur de l’espérance de Y. (c) Puis donner la variance de Y.
Lois usuelles
Exercice 37.
SoitX une variable aléatoire suivant la loiU({1,2,3}).
1. CalculerP(X 62), P(1< X62) etP(X >2).
2. Calculer l’espérance, la variance et l’écart type deX.
Exercice 38.
Une entreprise pharmaceutique décide de faire des économies sur les tarifs d’affranchissements des courriers publicitaires à envoyer aux clients. Pour cela, elle décide d’affranchir, au hasard, une proportion de 3 lettres sur 5 au tarif urgent, les autres au tarif normal.
1. Quatre lettres sont envoyées dans un cabinet médical de quatre médecins.
Quelle est la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux reçoit une lettre au tarif urgent ? Qu’exactement 2 médecins sur les quatre reçoivent une lettre au tarif urgent ?
2. SoitX la variable aléatoire correspondant au nombre de lettres affranchies au tarif urgent parmi 10 lettres. Quelle est sa loi de probabilité ? Son espérance ? Sa variance ?
Exercice 39.
Lors d’une soirée, on décide de jouer aux fléchettes. Pour chaque fléchette, on atteint la cible avec probabilité 0.6. On considère que chaque lancer de fléchette est indépendant des autres lancers.
1. Premier jeu : on lance 8 fléchettes et on s’intéresse à la variable aléatoireX représentant le nombre de fléchettes ayant atteint la cible
(a) Quelles sont les valeurs possibles deX?
(b) Justifier que X suit une loi binomiale et donner les paramètres de la loi binomiale suivie par X.
(c) Quelle est la probabilité que la cible ne soit pas atteinte ?
(d) Quelle est la probabilité que la cible soit atteinte au moins 6 fois ?
2. Deuxième jeu : on lance des fléchettes jusqu’à atteindre la cible une première fois et on s’intéresse à la variable aléatoireY correspondant au nombre de lancers avant d’atteindre la cible pour la première fois.
(a) Quelles sont les valeurs possibles deY ? (b) Déterminer P(Y = 1) etP(Y = 2).
(c) Quelle est la loi deY ?
(d) Quelle est l’espérance du nombre de lancers avant d’atteindre la cible ? Exercice 40.
Soientp∈]0 ; 1[ etn∈N∗.
Un standardiste donnen appels téléphoniques différents. À chaque appel, la probabilité qu’il parvienne à joindre son correspondant est p. Après cette première série d’essais, il tente le lendemain de rappeler les correspondants qu’il n’avait pas réussi à joindre. Les hypothèses sur ses chances de réussite sont les mêmes.
SoitX la variable aléatoire égale au nombre de personnes jointes l’un ou l’autre des jours.
1. Calculer la probabilité qu’un correspondant soit joint l’un ou l’autre des 2 jours.
2. Déterminer la loi deX, ainsi que son espérance, sa variance et son écart type.
Exercice 41.
Le nombreX de désintégrations d’une substance radioactive durant un intervalle de temps 7.5 secondes suit une loi de Poisson de paramètre 3.87.
1. Quel est le nombre moyen de désintégrations durant un intervalle de temps de 7.5 secondes ? Calculer l’écart type correspondant.
2. Déterminer la probabilité qu’il n’y ait aucune désintégration durant un intervalle de temps de 7.5 secondes.
3. Quelle est la probabilité qu’il y ait entre 3 et 5 désintégrations durant un intervalle de temps de 7.5 secondes ?
Exercice 42.
Mario et Laly partent à la cueillette des champignons.
1. Mario ne sait pas faire la différence entre un champignon comestible et un champignon toxique. On estime que la proportion de champignons toxiques se trouvant dans les bois s’élève à 0.7.
(a) Mario ramasse 6 champignons au hasard. Calculer la probabilité qu’il ramasse exactement 4 champi- gnons toxiques.
(b) Mario invite Laly à une cueillette. Laly connaît bien les champignons ; en moyenne sur 10 champignons qu’elle ramasse, 9 sont comestibles. Ce jour-là, elle ramasse 4 champignons et Mario en ramasse 3.
Calculer la probabilité que tous les champignons soient comestibles.
2. Laly cueille en moyenne 12 champignons de l’heure. On suppose que le nombre de champignons qu’elle cueille suit une loi de Poisson.
(a) Calculer la probabilité qu’elle ramasse exactement 8 champignons en une heure.
(b) Calculer la probabilité qu’elle ramasse au moins un champignon en 20 minutes.
Exercice 43.
Durant la seconde guerre mondiale, le sud de Londres a été bombardé continuellement pour un total de 537 impacts de bombes. On divise cette partie de Londres en 576 zones de 25 hectares chacun et on noteN la variable aléatoire représentant le nombre d’impact dans une zone. On suppose que N suit une loi de Poisson.
1. Calculer le nombrem d’impacts moyen par zone.
2. On suppose queN ∼ P(m).
Calculer le nombre de zones ayant reçu 0, 1, 2, 3, 4 et plus de 5 impacts. Les bombardements étaient-ils ciblés sur des zones spécifiques ou étaient-ils fait à l’aveugle ?
3. Les données réelles sont reproduites dans le tableau suivant. Y a-t-il concordance avec les résultats précédentes ?
Nombre d’impacts 0 1 2 3 4 >5 Nombre de zones 229 211 99 35 7 1
Variables aléatoires - divers
Exercice 44.
Un étudiant rentre d’une soirée. Il dispose den>2 clés dont une seule ouvre la porte de son domicile, mais il ne sait plus laquelle.
1. La soirée a été un peu arrosée, et, après chaque essai, l’étudiant remet la clé dans le trousseau. On note X la variable aléatoire égale au nombre d’essais nécessaires pour trouver la bonne clé.
(a) Quelle est la loi deX?
(b) Quel est le nombre moyen d’essais pour trouver la bonne clé ?
2. L’étudiant est en fait accompagné d’un ami, qui n’a pas bu. Cet ami élimine donc après chaque essai infructueux la clé qui n’a pas convenu. On noteY la variable aléatoire égale au nombre d’essais nécessaires pour trouver la bonne clé.
(a) Quelles valeurs peut prendre Y? (b) Déterminer P(Y = 1), P(Y = 2).
(c) On noteEi l’événement « on fait au moins iessais et le i-ème ne convient pas » et Si l’événement
« on fait au moinsiessais et le i-ème convient ».
Déterminer, pour 26i6n, les probabilités conditionnelles
P(Ei |E1∩E2∩ · · · ∩Ei−1) et P(Si |E1∩E2∩ · · · ∩Ei−1).
(d) En remarquant que l’événementY =k est égal à Sk∩Ek−1∩ · · · ∩E1, déterminer la loi de Y. (e) Quel est, dans cette situation, le nombre moyen d’essais nécessaires pour trouver la bonne clé.
Exercice 45.
Une entreprise souhaite recruter un cadre. npersonnes se présentent pour le poste. Chacune d’entre elles passe à tour de rôle un test, et la première qui réussit le test est engagée. La probabilité de réussir le test est p∈]0,1[. On définit la variable aléatoireX par X=k si lek-ième candidat qui réussit le test est engagé, et X=n+ 1 si personne n’est engagé.
1. Déterminer la loi deX.
2. Pourx6= 1, exprimer
n
X
k=0
xk en fonction de xet sans symbole somme.
3. En dérivant la formule donnant
n
X
k=0
xk, exprimer
n
X
k=1
kxk−1 pourx6= 1.
4. En déduire l’espérance deX.
5. Quelle est la valeur minimale dep pour avoir plus d’une chance sur deux de recruter l’un des candidats ?
Exercice 46 (Extrait du CC 2014).
Un jeu consiste à trouver une des 3 pièces cachées chacune sous un des 6 gobelets présentés devant soi (2 pièces ne peuvent être sous le même gobelet). On pose X la variable aléatoire qui compte le nombre de gobelets retournés avant de trouver une des trois pièces.
1. Quelles sont les valeurs prises parX? 2. Décrire la situation à l’aide d’un arbre.
3. Donner la loi deX.
4. En moyenne combien faut-il d’essai pour trouver une pièce ?
Lien entre variables aléatoires discrètes
Exercice 47.
Soientaun nombre réel et X etY deux variables aléatoires telles que l’on ait : HH
HH HH Y
X 0 1 2
0 3
2a2 a 0.1
1 0.1 0.1 0.2
1. Déterminer l’unique valeur de apossible et calculerP({X61} ∩ {Y 61}).
2. Calculer V(X+Y) et V(X−Y).
Exercice 48.
SoitX une variable aléatoire telle que : i -2 -1 0 1 2 P(X =i) 1
6 1 4
1 6
1 4
1 6 On poseY =X2.
1. Déterminer la loi de (X, Y).
2. Déterminer la loi de Y.
3. Quelle est la covariance deX et deY ? 4. Est-ce que X etY sont indépendantes ? Exercice 49.
Une urne contient 4 jetons numérotés de 1 à 4. On tire au hasard et simultanément 2 jetons de l’urne. On noteX la variable aléatoire égale au plus petit numéro et Y la variable aléatoire égale au plus grand numéro.
1. Déterminer les lois deX, de Y et de (X, Y).
2. Est-ce queX etY sont indépendants ?
3. Quelle est la covariance deX et deY ?
Exercice 50.
On distribue au hasardnchapeaux appartenant à npersonnes. On se propose de calculer le nombre moyen de personnes retrouvant leur chapeau. Les personnes étant numérotées 1,2, . . .,n, on considère les variables aléatoires Xi pouri= 1,· · · , ndéfinies par :
Xi =
(1 si la personneiretrouve son chapeau 0 sinon
1. Que représente la variable aléatoireX=X1+· · ·+Xn? 2. Calculer les probabilitésP(Xi = 1).
3. Calculer l’espérance deX et commenter le résultat obtenu.
4. X1 etX2 sont-ils indépendants ? Que vaut leur covariance ?
Thème 3 - Variables aléatoires à densité
Variable aléatoire à densité - généralités
Exercice 1.
Dans chacun des cas suivants dire si la fonction f est une densité pour une loi de probabilité surI. 1. f :x7→2−x, avec I = [0 ; 3] ;
2. f :x7→3x2, avec I = [0 ; 1] ;
3. f :x7→ 1
3, avec I = [2 ; 4] ; 4. f :x7→x−1, avecI = [0 ; 1 +√
3].
Exercice 2.
Déterminer le réel k pour que la fonction f soit une densité pour une loi de probabilité sur I, puis, si la variable aléatoire X a pour densité f, calculerP(26X 63).
1. f :x7→k, avec I = [1 ; 9] ; 2. f :t7→kt2, avec I = [0 ; 3] ;
3. f :t7→kt, avec I = [2 ; 4] ; 4. f :x7→ k
x, avec I = [1 ;e2].
Exercice 3.
SoitX une variable aléatoire dont la fonction de densité estf(x) =
(c(1−x2) si −16x61 ;
0 sinon.
1. Calculer la valeur dec.
2. Quelle est la fonction de répartition deX?
3. CalculerP(X = 0), P(−16X <0), P(−0.5< X <0.5) etP(X60).
Exercice 4.
La fonction de densité deX, variable aléatoire représentant la durée de vie en heures d’un certain composant électronique, est donnée par :
f(x) =
c
x2 si 106x620 ; 0 sinon.
1. Calculer la valeur dec.
2. Calculer la durée de vie moyenne d’un composant.
3. Quelle est la fonction de répartition deX?
4. Quelle est la probabilité qu’un composant fonctionne pendant plus de 15 heures ?
5. Quelle est la probabilité que, parmi six composants, au moins trois fonctionnent pendant plus de 15 heures ? Quelle hypothèse doit-on faire ?
Exercice 5.
On considère un réel a, tel quea >1, et la fonction f définie sur l’intervalle [1 ; +∞[ parf(t) = 3 2t2. 1. Déterminer le réelapour quef soit une densité de probabilité sur l’intervalle [1 ;a].
2. Soit X une variable aléatoire à densité de densité f. Calculer P(X > 2), puis P[X>1.5](X > 2). Les événements [X>1.5] et [X >2] sont-ils indépendants ?
3. On veut définir une loi de probabilité sur l’intervalle [1 ; +∞[ par une fonctiong:t7→ k
t2, oùk∈]0 ; +∞[.
(a) Démontrer que g est une densité pour une loi de probabilité sur [1 ; +∞[ si et seulement sik= 1.
(b) On suppose que k= 1. SoitY une variable aléatoire à densité de densitég Calculer P(16Y 64) ; en déduireP(Y >4).
Loi uniforme
Exercice 6.
SoitX une variable aléatoire de loiU([0 ; 1]).
1. Calculer les probabilités suivantes :P(X>4), P(X61) etP
X = 1 2
.
2. Calculer les probabilités suivantes :P
X < 1 2
, P
X> 1
4
etP 1
4 6X6 2 3
. 3. Montrer queP
X−2
3 2
> 1 16
!
= 1 2. Exercice 7.
Un concert débute à 20h précises. Claude n’est pas la précision même. On estime que l’heure H de son arrivée à l’auditorium est une variable aléatoire uniformément répartie entre 19h45 et 20h10.
1. Quelle est la probabilité que Claude puisse entendre le premier morceau de musique interprété dans ce concert ?
2. Nathalie est déjà arrivée, mais elle est inquiète. Il est 19h55 et Claude n’est toujours pas arrivé. Quelle est la probabilité que Claude puisse entendre le premier morceau de musique interprété dans ce concert ?
Loi exponentielle
Exercice 8.
On s’intéresse au bon fonctionnement d’un nouveau parking souterrain. On note X la variable aléatoire représentant le temps d’attente, en minute, entre le moment où la voiture se présente à l’entrée du parking souterrain et le moment où elle franchit la barrière d’entrée. La variable aléatoireX suit une loi exponentielle de paramètreλ. On a observé le fonctionnement du parking pendant les premières semaines d’activité et on a constaté que le temps moyen d’attente est de 2 min.
1. Exprimer l’espérance deX en fonction de λ. En déduire, au vu des observations, une valeur appropriée pourλ.
2. Une voiture se présente à l’entrée du parking. Quelle est la probabilité qu’elle mette moins d’une minute trente pour franchir la barrière ?
3. Une voiture attend à l’entrée du parking depuis une minute. Quelle est la probabilité qu’elle franchisse la barrière dans la minute suivante ?
Exercice 9.
SoitX une variable aléatoire dont la fonction de densité est f(x) =
(e−x si x>0 ; 0 sinon.
1. Calculer la fonction de répartition deX.
2. Calculer la fonction de répartition deY = ln(X).
3. En déduire une densité deY.
Thème 4 - Loi normale
Une seule loi normale
Exercice 1 (Lecture de la table de la loi normale).
1. Une variable aléatoireZ suit la loi normale centrée réduite N(0,1). Calculer à l’aide de la table de la loi normale centrée réduite les probabilités suivantes :P(Z >2), P(Z <−1) etP(−1.5< Z <1.5). 2. Une variable aléatoire X suit la loi normale N (3,2). Calculer à l’aide de la table de la loi normale
centrée réduite les probabilités suivantes :P(X <4),P(X >1) etP(1< X <4).
Exercice 2.
Dans un supermarché, le montantX des achats réglés par carte bancaire (payé par le client lors du passage en caisse) suit approximativement une loi normale d’espérance 25eet d’écart type 10e.
1. Quelle est la variable centrée réduite associée àX? 2. Calculer la probabilité que X soit inférieur à 30e.
3. Calculer la probabilité que X soit compris entre 20eet 30 e.
4. Dans quel intervalle (de centre 25)X a-t-il 95% de chances d’être situé ? 5. Quel est le montant qui ne sera dépassé que dans 10% des cas ?
Exercice 3.
Sur une ligne de train, une enquête a permis de révéler que le retard (algébrique) du train en minutes peut être modélisé par une variable aléatoireX suivant une loi normale de paramètresµetσ.
Des observations ont permis d’établir queP(X <7)'0.8413 et que E(X)'5.
1. Quelle est la probabilité que ce train arrive avec moins de 3 minutes de retard ? 2. Déterminer les paramètres de la loi suivie parX.
3. Quelle est la probabilité que le retard soit supérieur à 8 minutes ?
4. Sachant que le retard est supérieur à 3 minutes, quelle est la probabilité qu’il soit supérieur à 5 minutes ? Exercice 4.
Une chaîne de supermarchés, spécialisée dans la vente de matériel de bricolage, vend des sacs aux clients pour le transport de leurs achats.
On noteX la variable aléatoire qui indique le nombre de sacs vendus dans une journée. On admet queX suit la loi N(1190 ; 130).
Chaque sac est vendu 3.80e. La marge réalisée sur la vente d’un sac représente 20% de son prix de vente. Tout sac défectueux est remplacé gratuitement. La chaîne de supermarchés évalue ses pertes totales journalières sur la vente des sacs (remplacements, vols, etc.) à 150e.
Le profit journalier réalisé sur la vente des sacs, en euros, est représenté par une variable aléatoire Y. 1. ExprimerY en fonction de X.
2. Déterminer la loi suivie parY ainsi que ses paramètres.
3. Le directeur commercial affirme qu’il y au moins 70% de chances que la chaîne de supermarchés réalise plus de 700ede profit journalier sur la vente des sacs. A-t-il raison ?
Plusieurs lois normales indépendantes
Exercice 5.
Magalie voyage souvent par avion et dernièrement elle ne prend plus beaucoup de marge afin d’arriver à l’aéroport à temps. Elle part de chez elle 45 min avant le dernier appel. La durée de son trajet de la porte de son appartement au parking de l’aéroport suit une loi normale d’espérance 25 minutes et d’écart-type 3 minutes. De sa place de parking, elle doit prendre une navette, passer la sécurité et se rendre à la porte d’embarquement. Le temps pour faire cela suit une loi normale d’espérance 15 minutes et d’écart-type 4 minutes. Le temps pour arriver à l’aéroport et le temps dans l’aéroport sont indépendants.
Quelle est la probabilité que Magalie manque son avion ?
Exercice 6.
Paul et Susie nagent chaque semaine sur 2 km. Le temps de parcours de Paul suit une loi normale d’espérance 37 minutes et d’écart-type 1 minute. Le temps de parcours de Susie suit une loi normale d’espérance 34 minutes et d’écart-type 2 minutes.
Une semaine donnée, en supposant leurs temps indépendants entre eux, quelle est la probabilité que Paul aille plus vite que Susie ?
Exercice 7.
Un compte bancaire pour les dépenses courantes d’une société est crédité de 1000 euros. Il y anpersonnes qui ont une carte de crédit sur ce compte. Durant un mois, les dépenses d’un titulaire pris au hasard suit une loi normaleN (75 ; 16).
1. Donner un intervalle de fluctuation à 96% pour la dépense totale faite à partir du compte s’il y a 9 personnes qui utilise ce compte.
2. Quel est le nombre maximum nde personnes qui peuvent avoir une carte sur le compte, pour que le risque de découvert soit inférieur à 2.5% à la fin du mois ?
3. En fait, le solde initial du compte en début de mois est une variable aléatoireZ de loi N (1000 ; 100).
Reprendre la question précédente.
Approximation par une loi normale
Exercice 8.
120 personnes se font rembourser par une compagnie d’assurance. La somme versée à chacun est en moyenne 50 euros, avec un écart type de 30 euros. On suppose que ces sommes sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées.
Déterminer la probabilité pour que 6500 euros suffisent à effectuer tous les remboursements.
Exercice 9.
Une usine produit des ampoules électriques, dont 2% présentent des défectuosités. Pour contrôler la qualité de la production, on prélève au hasard un échantillon denampoules. On supposera que la production est assez importante pour que l’on puisse considérer que les tirages sont indépendants. SoitX le nombre d’ampoules défectueuses dans un échantillon.
1. Quelle est la loi deX? Justifier.
2. Lors d’une opération de maintenance approfondie, on décide d’effectuer un sondage de taillen= 800.
On noteZ la variable permettant de réaliser une approximation deX.
(a) Quelle loi suit Z? Déterminer le (ou les) paramètre(s) deZ.
(b) Déterminer une valeur approchée deP(X625).
3. Quelle est la taille n minimale de notre échantillon d’ampoules afin de pouvoir utiliser la méthode précédente ?
Exercice 10.
Un médicament contre les allergies est efficace sur 70% des patients qui l’utilisent. Le médicament est donné à 200 patients. On noteY le nombre de patients pour lesquels le traitement est efficace.
1. Quelle est l’espérance et l’écart type deY ?
2. Utiliser une approximation par la loi normale pour calculer la probabilité qu’il y ait plus de 130 patients pour lesquels le médicament est efficace.
3. Donner un encadrement du nombre de patients pour lesquels le traitement est efficace qui soit valable pour 95% des échantillons de taille 200.
4. En déduire n encadrement de la proportion de patients pour lesquels le traitement est efficace qui soit valable pour 95% des échantillons de taille 200.
