S´ EANCE 11 : CALCUL D’INT´ EGRATION

S´ EANCE 11 : CALCUL D’INT´ EGRATION

11.1. Le cas de dimension 1

Th´eor`eme 11.1. — SoientI un intervalle ferm´e et born´e dansRetf une fonction surI. On ´etendf en une fonction surRen prenantf(t) = 0pourt∈R\I. Sif est int´egrable au sens de Riemann, alors elle est int´egrable au sens du cours, etR

f(t) dt co¨ıncide `a l’int´egrale au sens de Riemann de f sur I.

D´emonstration. — L’int´egrabilit´e def au sens de Riemann entraˆıne que sup

g∈L¹_sim(R) g6f

Z

g(x) dx= inf

h∈L¹_sim(R) h>f

Z

h(x) dx∈R,

qui implique l’int´egrabilit´e au sens du cours et l’´egalit´e entre les int´egrales aux deux sens.

11.2. Fonctions n´egligeable

Soitf une fonctions dansL¹(R^d). On dit quef est n´egligeable si Z

R^d

|f(x)|dx= 0.

On dit qu’un sous-ensemble A de R^d est n´egligeable si 1lA est born´ee par une fonc- tion n´egligeable. D’apr`es le th´eor`eme 9.9, une somme d´enombrable de fonctions n´egligeables est encore n´egligeable, et donc une r´eunion d´enombrable d’ensembles n´egligeables est encore n´egligeable.

Exemple 11.2. — Un point dansR^dest n´egligeable car il s’´ecrit comme l’intersection d´enombrable des pav´es dont le volume tend vers 0. Donc tout sous-ensemble d´enombrable deR^d est n´egligeable.

46 S ´EANCE 11 : CALCUL D’INT ´EGRATION

Lemme 11.3. — Un ensemble A est n´egligeable si et seulement si 1lA est dans L¹(R^d)et siR

1l_A= 0.

D´emonstration. — La n´ecessit´e est sans doute vraie. Montrons la suffisance. La condition 1lA est dansL¹(R^d) etR

1lA= 0 montre qu’il existe une suite d´ecroissante de fonctions (hn)n>0 dans L¹_sim(R^d)↑ qui domine 1lA et telle que R

hn tend vers 0 lorsque n→+∞. Le th´eor`eme de convergence domin´ee implique alors que la limite desh_nest une fonction int´egrable et d’int´egrale 0. Cette fonction domine aussi 1l_A. Proposition 11.4. — Soit f une fonction dansL¹(R^d). Sif est n´egligeable, alors l’ensemble {x∈R^d|f(x)6= 0}est n´egligeable.

D´emonstration. — Si la fonctionf est n´egligeable, il en est de mˆeme de|f|. On peut alors supposer quef est positive. Pour tout entiern>1, on note

An={x∈R^d|f(x)>n⁻¹}.

On a donc

{x∈R^d|f(x)6= 0}= [

n>1

An.

Il suffit alors de montrer que chaqueAn est n´egligeable. Pour toutn, on a f > 1

n1lA_n, et donc

06 1 n

Z 1lAn6

Z f = 0.

Par le lemme pr´ec´edent, on obtient que An est n´egligeable. Le r´esultat est ainsi d´emontr´e.

D´efinition 11.5. — Soientf etgdeux fonctions surR^d. Si elle ne diff`erent que sur un sous-ensemble n´egligeable et sif est int´egrable, on d´efinit R

g commeR

f. Cette d´efinition ne d´epend pas du choix def.

11.3. Th´eor`eme de Fubini

Th´eor`eme 11.6 (Fubini). — Soientpetndeux entiers>1. Sif est une fonction positive surR^p+n qui est dansM(L¹_sim(R^p+n)), alors pour toutx∈R^p on af(x,·)∈ M(L¹_sim(Rⁿ))et la fonction

x7−→

Z

Rⁿ

f(x, y) dy est dans M(L¹_sim(R^p)). De plus, on a

Z

R^p+n

f(x, y) d(x, y) = Z

R^p

Z

Rⁿ

f(x, y) dydx.

11.4. CHANGEMENT DE VARAIBLES 47

Th´eor`eme 11.7. — Soientpetndeux entiers>1, etf une fonction surR^p+n qui est dans M(L¹_sim(R^p+n)). Si

Z

R^p

Z

Rⁿ

|f(x, y)|dydx <+∞,

alors la fonction f est int´egrable, l’ensemble des x ∈ R^p tels que f(x,·) n’est pas int´egrable est n´egligeable, et on a

Z

R^p+n

f(x, y) d(x, y) = Z

R^p

Z

Rⁿ

f(x, y) dydx.

On peut appliquer le th´eor`eme de Fubini `a ´etudier la graphe d’une fonction con- tinue.

Soitf une fonction surR^d−1. On appellegraphe def la partie {(x, f(x))|x∈R^d−1}

deR^d, not´e comme Γf.

Proposition 11.8. — Soitf une fonction continue surR^d−1. Alors le graphe def est un sous-ensemble n´egligeable.

D´emonstration. — La graphe d’une fonction continue est un sous-ensemble ferm´e car il est l’image r´eciproque de la diagnoale⊂R×Rde l’application

X×R−→R×R, (x, t)7−→(f(x), t).

Donc 1l_Γf est une fonction positive dans M(L¹_sim(R^d)). Par le th´eor`eme de Fubini,

on a Z

R^d

1lΓ_f(x, t) d(x, t) = Z

R^d−1

Z

{t=f(x)}

1lΓ_f(x, t) dtdx= 0

puisque {f(x)} est un ensemble n´egligeable dansR. Le r´esultat est donc d´emontr´e.

11.4. Changement de varaibles

Th´eor`eme 11.9. — SoientU etV deux sous-ensembles ouverts de R^d, etϕ:U → V une bijection. On suppose queϕ etϕ⁻¹ sont tous les deux de classe C¹. Sif est une fonction positive sur V qui est la restriction d’une fonction dans M(L¹_sim(R^d)), alors on a

Z

V

f(y) dy= Z

U

f(ϕ(x))|d´etJϕ(x)|dx.