NOMBRES COMPLEXES (Partie 2)

(1)

NOMBRES COMPLEXES (Partie 2)

I. Formules de trigonométrie

1) Formules d'addition

Propriété : Soit a et b deux nombres réels quelconques. On a : (a+b)=cosacosb−¿sinasinb

cos¿

(a+b)=sinacosb+¿cosasinb sin¿

Démonstrations :

On a vu que : eî(a+^b)=eîaeîb

Soit : cos(a+b)+isin(a+b)=(cosa+isina)×(cosb+isinb)

cos(a+b)+isin(a+b)=cosacosb+icosasinb+isinacosb−sinasinb cos(a+b)+isin(a+b)=cosacosb−sinasinb+i(cosasinb+sinacosb) D’où :

cos(a+b)=cosacosb−sinasinb sin(a+b)=cosasinb+sinacosb

Remarques : En remplaçant b par −b , on a également les formules : (a−b)=cosacosb+¿sinasinb

cos¿

(a−b)=sinacosb−¿cosasinb sin¿

Méthode : Transformer à l’aide des formules d’addition acos(ωt)+bsin(ωt) en Acos(ωt+φ)

Vidéo https://youtu.be/8NdfUiLaZAc

On considère la fonction f définie sur R par : f(t)=

√

^{3 cos}⁽³^t⁾⁺^sin⁽³^t⁾ ^.

Écrire f sous la forme : f(t)=Acos(3t+ϕ), avec A et ϕ à déterminer.

On a : f(t)=

√

3 cos(3t)+1 sin(3t) . On pose : a=

√

³ ^et ^b=1

On a alors : _A₌

√

^a²⁺^b²⁼

√ ^√

³²⁺¹²⁼²

f(t)

A =

√

^{3 cos}⁽³^{t)+1 sin}⁽³^t)

2

¿

√

³

2 cos(3t)+1

2sin(3t)

¿

√

³

2 cos(3t)−

(

⁻¹2

)

^sin⁽³^t)

Ceci dans l’idée de pouvoir appliquer la formule cosacosb−sinasinb=cos(a+b)

(2)

On cherche donc ϕ , tel que : cosϕ=

√

3

2 etsinϕ=−1 2 ϕ=−π

6 convient.

Ainsi, d’après la première formule d’addition, on a : f(t)

A =cos

(

⁻6^π

)

^cos⁽³^t^)−sin

(

⁻6^π

)

^sin⁽³^t^)=cos

(

^−π6 +3t

)

Soit encore : f(t)

2 =cos

(

³^t⁻^π6

)

f(t)=2 cos

(

³^t⁻^π6

)

^.

Méthode : Calculer des valeurs de cos et sin à l'aide des formules d'addition Vidéo https://youtu.be/WcTWAazcXds

Calculer : cos5π

12 et sin5π 12

cos5π

12=cos

(

^π4+π

6

)

^sin⁵12^π=sin

(

^π4+π 6

)

¿cosπ 4cosπ

6−sinπ 4sinπ

6=sinπ 4cosπ

6+cosπ 4sin π

6

¿

√

2 2 ×

√

3

2 −

√

2 2 ×1

2=

√

2 2 ×

√

3

2 +

√

2 2 ×1

2

¿

√

⁶⁻

√

²

4 =

√

⁶⁺

√

²

4

2) Formules de duplication

Propriété : Soit a un nombre réel quelconque. On a : cos(2a)=cos²a−sin²a=2 cos²a−1=1−2 sin²a

sin(2a)=2 cosasina Démonstrations :

Cas particulier des formules d'addition dans le cas où a=b : cos(2a)=cos²a−sin²a

sin(2a)=2 cosasina

On a également : cos²a+sin²a=1 donc : cos²a−sin²a=cos²a−

(

1−cos²a

)

=2 cos²a−1 Et :

cos²a−sin²a=

(

1−sin²a

)

−sin²a=1−2 sin²a

(3)

Méthode : Calculer des valeurs de cos et sin à l'aide des formules de duplication Vidéo https://youtu.be/RPtAUl3oLco

Calculer cosπ

8 et sinπ 8 cosπ

4=cos

(

^2×^π8

)

⁼^2cos²^π8−1 Donc :

cos²π 8=1

2

(

¹^+cos^π4

)

⁼¹2

(

¹⁺

^√

2²

)

⁼²⁺4

^√

² et donc :

cosπ

8=

√

²⁺⁴

^√

²

car cosπ

8 est positif.

sin²π

8=1−cos²π

8=1−2+

√

²

4 =2−

√

²

4 et donc :

sinπ

8=

√

²⁻⁴

^√

²

car sinπ

8 est positif.

3) Formules de linéarisation

Propriété : Soit a un nombre réel quelconque. On a : cos²a=1

2+1

2cos(2a) sin²a=1

2−1

2cos(2a)

Exemples d’application : Calcul de primitives de _x_⟼_cos²_x et _x_⟼_sin²_a : x=¿1

2+1

2cos(2x) f(x)=cos²¿

a pour primitive : F(x)=1

2x+1 2×1

2sin(2x)=1 2x+1

4sin(2x) x=¿1

2−1

2cos(2x) g(x)=sin²¿

a pour primitive : G(x)=1

2x−1 2×1

2sin(2x)=1 2x−1

4sin(2x)

II. Expression complexe des transformations

(4)

Soit un point M d’affixe z associé à un point M ’ d’affixe z ’ par une transformation du plan rapporté à un repère orthonormé (O;u ,⃗ ⃗v) .

Il existe alors une fonction f de C dans C telle que f(z)=z ' .

La fonction f permet d’exprimer l’affixe z ’ de M ’ en fonction de l’affixe z de M .

Rappels sur les transformations vues en classe de 3^e :

https://www.maths-et-tiques.fr/index.php/cours-maths/niveau-troisieme#15

TRANSFORMATIO

N DÉFINITION FONCTION

ASSOCIÉE FIGURE

Translation de vecteur ⃗u (d’affixe b )

⃗M M^'=⃗u ^f(z)=z+b

Homothétie de centre O

et de rapport a (non nul)

⃗O M^'=a⃗OM ^f(z)=az

Rotation de centre O

et d’angle θ

OM ’=OM

(

^⃗O M^',⃗OM

)

=θ f(z)=e^iθz

Méthode : Interpréter géométriquement les transformations Vidéo https://youtu.be/RsOCKGgT9h4

(5)

Soit les fonctions f , g et h de C dans C , données par les expressions suivantes :

f(z)=(1−i)(1+i)z ; g(z)=z−2i ; h(z)=−e^{i π}³z .

Reconnaître la nature des transformations qui sont associées à chaque fonction.

On précisera les éléments qui caractérisent ces transformations.

- f (z)=(1−i)(1+i)z

¿

(

1²−i²

)

z

¿2z

Donc f est l’homothétie de centre O et de rapport 2.

- g(z)=z−2i

¿z+(−2i)

Donc g est la translation de vecteur ⃗u d’affixe −2i . - h(z)=−e^{i π}³z

¿(−1)× e^{i π}³z

¿e^iπ× e^{i π}³z

¿e^{iπ+i π}³z

¿eⁱ

4π 3 z

Donc h est la rotation de centre O et d’angle 4π 3 .

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