q s laformequadratique déniesur R 3 par

Examen du 27/05/10 (Durée : 2h)

Calulatrie et douments interdits

Exerie 1.

Soit

s

^{un réel etsoit}

q s

^laformequadratique déniesur

R ³

par

q s (x 1 , x 2 , x 3 ) = x ² 1 + 2x 1 x 2 + 2x ² 2 + 4x 2 x 3 + sx ² 3

On note

b s (x, y)

^{laforme polaire de}

q s

^.

1)Si

x = (x 1 , x 2 , x 3 )

^et

y = (y 1 , y 2 , y 3 )

^,expliiter

b s (x, y)

^.

2) Réduire par la méthode de Gauss

q s

^{en arrés de formes linéaires} linéairement indépendantes.

3) En déduire la signature de

q s

^{suivant les valeurs de}

s

^{, puis le rang de}

q s

^{. Pour}

quelles valeurs de

s

^,

b s

^{dénit-elle un produit salaire sur}

R ³

? Pour quelles valeurs de

s

^{,la forme}

q s

^{est-elle non dégénérée ?}

ON SUPPOSEMAINTENANT QUE

s = 0

^.

4)Donnerunebaseorthogonalepourlaformebilinéaire

b 0 (x, y)

^{(enutilisantlaques-}

tion 2).

5)Ononsidère

e 0 = (1, 1, 0)

^,

e 1 = (0, 1, 1)

^et

e 2 = (1, 0, 1)

^{. Démontrerque}

(e 0 , e 1 , e 2 )

formeune base de

R ³

. Donner l'expression de

b 0

^{dans ette base.}

Exerie 2.

Soit

E

^{l'espaevetoriel des polynmes àoeientsréels.}

1a) Soit

P ∈ E

^telque

Z 1

0

P (t) ² dt = 0

^{. On pose}

h(x) = Z x

0

P (t) ² dt

^{. Démontrer que}

pour tout

x ∈ [0, 1]

^,

h(x) = 0

^{. En déduireque}

P

^{est lepolynmenul.}

1b) On pose si

P

^,

Q ∈ E

^,

b(P, Q) = Z 1

0

P (t)Q(t)dt

^{. Vérier que}

b

^{est une forme}

bilinéairesymétriquesur

E

^{,puis dénitun produitsalairesur}

E

^{(On pourrautiliser}

e qui préède).

2) Soit

F

^{le sous-espae de}

E

^{formé des polynmes de degré au plus}

2

^{. Pour tout}

j ∈ N

, on note

e j

^{le polynme qui à}

x

^assoie

e j (x) = x ^j

^{. On notera par abus de}

language

b

^{la restrition de}

b

^à

F

^.

2a) Donner la matrie de

b

^{dans la base (}

e 0

^,

e 1

^,

e 2

^{) de}

F

^{. Quel est le rang de ette}

matrie?

2b) Construire une base orthonormée (pour

b

^{) de}

F

^{à partir de}

e 0

^,

e 1

^et

e 2

^.

2) Donner la projetion orthogonale de

e 3

^sur

F

^.

2d) En déduirel'expression de l'unique polynme

P 0 ∈ F

^{telque pour tout}

P ∈ F

^,

Z 1

0

(P 0 (x) − e 3 (x)) ² dx ≤ Z 1

0

(P (x) − e 3 (x)) ² dx

(A justier ave soin).

3)Soit

H

^{l'ensemble des polynmes}

P

^de

F

^{tels que}

P ^′ (0) = 0

^.

3a) Démontrer que

H

^{est un espae vetoriel de dimension}

2

^{dont on} déterminera une base.

3b)Quelleestladimensionde l'orthogonalde

H

^pour

b

^{(Préiseravesoinlerésultat}

de ours utilisé) ? Déterminerl'orthogonal de

H

^.

Exerie 3.

1) Soit

f : R → R

une fontion ontiuue par moreaux,

2π

-périodique. Donner la dénition des oeients de Fourier

a n (f )

^,

b n (f)

^et

c n (f )

^{. Donner (en les démon-}

trant) l'expression des

a n (f )

^et

b n (f)

⁽

n ∈ N

) en fontion des

c n (f )

⁽

n ∈ Z

).

2)Soit

f : R → R

une fontion

2π

-périodique, impairetelle que

f(t) = t

^si

0 ≤ t < π/2

^et

f (t) = π − t

^si

π/2 ≤ t ≤ π

^.

2a) Traer le graphede

f

^{sur l'intervalle}

[ − 2π, 2π]

^.

2b) Calulerles oeients de Fourier

a n (f )

^et

b n (f)

^de

f

^.

2) Démontrer que pour

t ∈ R

,

f(t) = X +∞

p=0

4( − 1) ^p

π(2p + 1) ² sin((2p + 1)t)

(On énonera ave soin les résultats du ours utilisés). En déduire la valeur de

X +∞

p=0

1 (2p + 1) ²

^.

2d)Caluler

1 2π

Z 2π 0

f(t) ² dt

^{. Rappelerlarelationentre e nombreetles}

a n (f)

^,

b n (f )

(Identité de Parseval). Endéduire lavaleur de

X +∞

p=0

1

(2p + 1) ⁴

^.